Résultats de l’identification paramétrique sur le titane

Le modèle de comportement choisi pour modéliser le titane est celui de Rasmussen. Le module d’élasticité ayant été identifié précédemment, les paramètres du modèle à éva- luer sont donc la limite conventionnelle d’élasticité σ0,2, le coefficient d’écrouissage de la

première partie du modèle n, la contrainte représentative de la deuxième partie du mo- dèle σu et le coefficient d’écrouissage de la deuxième partie du modèle m. Le coefficient

de Poisson utilisé pour la modélisation a été pris égal à 0,33. Le modèle de comportement choisi pour modéliser le titane est celui de Rasmussen. Le module d’élasticité ayant été identifié précédemment, les paramètres du modèle à évaluer sont donc la limite conven- tionnelle d’élasticité σ0,2, le coefficient d’écrouissage de la première partie du modèle n, la

contrainte représentative de la deuxième partie du modèle σu et le coefficient d’écrouis-

sage de la deuxième partie du modèle m. Le coefficient de Poisson utilisé pour la modéli- sation a été pris égal à 0,33.

Les valeurs initiales et finales de la fonction objectif ainsi que le nombre d’itérations de l’algorithme de Levenberg-Marquardt nécessaires pour parvenir à la valeur finale sont présentés dans le tableauIII.4 - k. Comme pour les autres matériaux, la valeur initiale cor- respond à la valeur minimale de la fonction objectif en utilisant la méthode de Monte- Carlo. On remarque que les valeurs finales des fonctions objectifs pour les deux types de poinçons sont relativement proches.

Les figures III.4 - 29a et III.4 - 29bmontrent les courbes d’indentation expérimentales et simulées pour les deux types de poinçons. Dans le cas du poinçon Brinell, les courbes expérimentales et simulées se superposent très bien. Ce n’est pas le cas pour le poinçon Vickers, pour lequel la courbe simulée suit la courbe expérimentale tant que la profondeur

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 50 100 150 200 250 300 350 Profondeur de pénétration (mm) Cha rg e ( N) Courbe expérimentale Simulation Monte-Carlo Simulation Levenberg-Marquardt

(a) Courbes de chargement-déchargement expé-

rimentale et simulées à partir des meilleurs ré- sultats obtenus par la méthode de Monte-Carlo et par l’algorithme de Levenberg-Marquardt pour

un poinçon Brinell. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 50 100 150 200 250 300 350 Profondeur de pénétration (mm) Cha rg e ( N) Courbe expérimentale Simulation Monte-carlo Simulation Levenberg-Marquardt

(b) Courbes de chargement-déchargement expé-

rimentale et simulées à partir des meilleurs ré- sultats obtenus par la méthode de Monte-Carlo et par l’algorithme de Levenberg-Marquardt pour

un poinçon Vickers. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Déformation vraie

Con

tr

ai

n

te

vr

ai

e

(MP

a)

Courbe de traction expérimentale (direction longitudinale) Courbe expérimentale (direction transverse)

Courbe expérimentale (direction 45°)

Modèle de Rasmussen modifié (Poinçon Brinell) Modèle de Rasmussen modifié (Poinçon Vickers)

(c) Courbes de traction expérimentale et construites à partir des modèles de Ramberg-Osgood identifiés

pour les deux types de poinçon.

FIGUREIII.4 - 29 – Résultats des résolutions inverses des problèmes d’identification du modèle de comportement du titane à partir d’essais d’indentation Brinell et Vickers.

III.4. IDENTIFICATION DES PARAMÈTRES DES MODÈLES DE COMPORTEMENT À PARTIR DES ESSAIS D’INDENTATION INSTRUMENTÉE

Nombre d’itéra- tions Fonction objectif initiale Fonction objectif finale σ0,2 MPa σu MPa n m Poinçon Brinell 29 7,9 10 1 _{1,6 10} 1 _{173 370 9,6 2,57} Poinçon Vickers 18 1,74 8,9 10 1 _{297 407 28,8 1,5} Traction L 212 359 8,5 1,4 Traction T 191 376 7,1 1,3 Traction 45 ˚ 196 361 7,5 1,2

TABLEIII.4 - k – Résultats des résolutions inverses des problèmes d’identification du modèle

de comportement du titane à partir d’essais d’indentation Brinell et Vickers en comparaison avec les résultats de l’identification à partir des essais de traction. Afin de pouvoir comparer les

différentes valeurs de σu, une contrainte ultime du modèle de Rasmussen modifié εuunique de

0,25 est considérée.

de pénétration est inférieure à 0,65 mm, les deux courbes divergent ensuite et la courbe simulée se trouve nettement au dessus de la courbe expérimentale.

Le tableauIII.4 - kprésente les valeurs des paramètres du modèle de Rasmussen modi- fié identifiées à partir des deux types de poinçon et celles issues de l’identification à partir des essais de traction uni-axiale. Comme pour l’aluminium et le cuivre, la limite conven- tionnelle d’élasticité σ0,2 a été calculée pour les résultats issus des essais de traction afin

de pouvoir la comparée avec le résultat de l’identification à partir de l’essai d’indentation. De même, la contrainte ultime σu du modèle identifié à partir de l’essai de traction a été

calculée pour une déformation ultime εuégale à 0,25. Les courbes de traction construites à

partir du modèle de Rasmussen pour les deux poinçons sont comparées aux courbes expé- rimentales issues des essais de traction macroscopiques pour les trois directions d’éprou- vette sur la figureIII.4 - 29c.

Poinçon Brinell

Les paramètres du modèle de Rasmussen identifiés reproduisent bien le comportement du matériau pour les déformations supérieures à 3 %. Une légère surévaluation du pa- ramètre m se traduit par un écrouissage moins linéaire que celui des courbes issues des essais de traction. La transition élasto-plastique moins rapide que celle de la courbe de traction expérimentale est induite par une surévaluation du coefficient n associée à une sous évaluation de la limite conventionnelle d’élasticité σc.

L’écart relatif faite sur la contrainte pour une déformation de 20 % est de 3 % par rap- port au sens Ti-L et Ti-45 et est inférieure à 1 % par rapport au sens Ti-45. Les écarts re- latifs moyens pour les directions d’éprouvettes Ti-L, Ti-T et Ti-45 valent respectivement 3,9 %, 2,2 % et 4,5 %. Il semblerait donc que le comportement identifié à partir de l’essai de l’essai d’indentation soit plus proche de celui des éprouvettes usinées dans la direction

transverse longue par rapport à la direction de laminage. Le temps nécessaire pour réaliser l’identification est de 29 heures.

Poinçon Vickers

Le modèle de Rasmussen identifié à partir de l’essai Vickers donne une courbe décalée des courbes expérimentales de traction vers les valeurs supérieures de contraintes. Ce com- portement traduit une bonne détermination des coefficients n et m mais une surévalua- tion des valeurs de σcet σu.

L’écart relatif faite sur la contrainte pour une déformation de 20 % est de 15 % par rap- port à la direction Ti-L et Ti-45 et est égale à 11 % par rapport à la direction Ti-T. Les écart relatifs moyens pour les directions Ti-L, Ti-T et Ti-45 valent respectivement 16,3 %, 16,1 % et 19,8 %. Le coefficient d’écrouissage semble plus proche de celui des éprouvette Ti-L et Ti-45 que de celui des éprouvettes Ti-T, malgré un écart relatif pour cette dernière direc- tion moins importante. Le temps nécessaire pour réaliser l’identification est de 3 heures.

Les résultats de l’identification paramétrique de modèle de comportement à partir des essais d’indentation instrumentée sur les trois matériaux met en évidence plusieurs points intéressants :

— pour les trois matériaux, la différence entre la courbe expérimentale d’indentation et la courbe simulé à partir des paramètres optimaux est globalement faible mais est plus importante pour l’essai Vickers que pour l’essai Brinell,

— l’écart relatif moyen entre les modèles identifiés à partir des essais d’indentation par rapport au courbes expérimentales sont, pour tous les matériaux, plus faibles pour l’essai Brinell que pour l’essai Vickers,

— excepté pour le titane, les coefficients d’écrouissage identifiés à partir des essais Brinell sont plus proches de ceux mesurés par traction que ceux identifiés à partir des essais Vickers.