Chapitre 3 Développement d’un outil de caractérisation des propriétés élasto-
III.4 Identification des paramètres des modèles de comportement à partir des es-
III.4.1 Présentation de la méthode d’identification
La méthode s’appuie sur la résolution du problème inverse d’identification des para- mètres du modèle de comportement du matériau évalué à partir de l’essai d’indentation instrumentée. Les entrées et les paramètres nécessaires à la résolution de ce problème in- verse sont les courbes de chargement directement extraites de l’essai, le modèle de com- portement choisi pour le matériau à évaluer associé à un jeu de paramètres initiaux et le modèle éléments finis de l’essai.
III.4.1.1 Paramètres à évaluer
Le modèle de Ramberg-Osgood et le modèle de Rasmussen modifié que nous avons choisis pour représenter les matériaux à évaluer sont des modèles élasto-plastiques com- portant respectivement 4 et 7 paramètres indépendants. Ces deux modèles possèdent pour paramètre le module d’élasticité du matériau à évaluer. Comme cela a été évoqué dans le chapitre1, il peut être déterminé avec une précision suffisante en utilisant la pente à la décharge. Les paramètres à évaluer par l’identification paramétrique sont donc au nombre de 3 pour le modèle de Ramberg-Osgood et de 7 pour le modèle de Rasmussen. Lors d’un essai d’indentation, la courbe de déchargement est principalement régie par l’élasticité du matériau. Nous n’avons donc pris en compte que la courbe de chargement comme entrée de l’identification paramétrique.
Le modèle de Ramberg-Osgood et le modèle de Rasmussen écrits dans le cadre gé- néral (paramètres α et σr), plutôt qu’en utilisant la limite conventionnelle d’élasticité σc,
σr (MPa) n m σu
Min Max Min Max Min Max Min Max
Ramberg-Osgood 10 350 1,1 60
Rasmussen 10 350 1,1 60 1,1 3 20 850
TABLEIII.4 - h– Bornes des paramètres des modèles de Ramberg-Osgood et Rasmussen modi-
fié pour l’identification des modèles de comportement à partir d’essais d’indentation.
sont surjectifs. En effet pour un même modèle de comportement, tous les autres para- mètres des modèles étant identiques, il existe une infinité de couples (α, σr) qui donne-
ront le même résultat. Dans ce cas, la solution du problème inverse d’identification n’est pas unique. Afin d’assurer l’unicité de la solution, nous utilisons les modèles de Ramberg- Osgood et de Rasmussen écrits dans le cas d’une limite conventionnelle d’élasticité.
Dans le modèle de Rasmussen, les paramètres σu et εu représentent respectivement la
contrainte ultime et la déformation qui y est associée. Pour un essai de traction, ces va- leurs sont directement lues sur la courbe contrainte-déformation. Il est cependant impos- sible d’évaluer une contrainte ultime pour des matériaux ductiles par un essai d’indenta- tion. Dans le problème inverse d’identification, nous choisissons de considérer le couple (εu, σu) comme un couple contrainte-déformation représentatif du matériau. De la même
manière que pour les paramètres α et σr, il existe une infinité de couples (εu, σu) qui don-
neront le même comportement, tous les autres paramètres étant les mêmes, et il n’existe donc pas de solution unique au problème inverse d’identification. Afin d’assurer l’unicité de la solution, nous choisissons arbitrairement de prendre εu = 0,25. Cela revient à dire
que nous prenons σucomme étant la contrainte pour une déformation totale égale à 25 %.
Les bornes des différents paramètres des modèles de Ramberg-Osgood ont été choisies pour permettre la description des matériaux rencontrés dans cette étude. Ces bornes sont données pour les deux modèles dans le tableauIII.4 - h.
III.4.1.2 Paramètres initiaux
Comme le montre la figureIII.3 - 22, la procédure d’identification nécessite de choisir un jeu de paramètres initiaux. Si le problème ne présente pas de minima locaux et qu’il n’est pas fortement non-linéaire, le choix du jeu initial de paramètres n’a pas d’influence significative sur la résolution du problème. Cependant, dans notre cas, le problème inverse d’identification présente des minima locaux. Comme nous utilisons un algorithme de des- cente sensible à ce type de problème, il est nécessaire de choisir les valeurs initiales des paramètres au plus proche des valeurs que nous nous attendons à trouver. Dans l’optique de développer un outil de caractérisation robuste ne nécessitant pas une expérience im- portante à priori du comportement du matériau, nous avons mis au point une procédure
III.4. IDENTIFICATION DES PARAMÈTRES DES MODÈLES DE COMPORTEMENT À PARTIR DES ESSAIS D’INDENTATION INSTRUMENTÉE
permettant de déterminer un jeu initial de paramètres relativement proche du minimum global avant de lancer la procédure d’identification.
Cette procédure est basée sur la recherche par une méthode aléatoire stochastique de type Monte-Carlo d’un jeu de paramètres se rapprochant du minimum global. Des jeux de paramètres sont tirés au hasard dans l’espace de recherche défini et la fonction objectif est calculée de la même manière que pour la procédure d’identification. Cette méthode a déjà été utilisée avec succès pour l’identification de modèles de comportement en grandes déformations [Sattouf 03]. Le nombre de tirages est défini arbitrairement en fonction du nombre de paramètres à évaluer. Plusieurs itérations nous ont conduits à fixer le nombre de tirages à réaliser à 2i, où i représente le nombre de paramètres à évaluer. Nous avons
aussi défini un nombre minimum de tirages égal à 16 si le nombre de paramètres à évaluer est inférieur à 4.
III.4.1.3 Modèle éléments finis et définition de la fonction objectif
Les modèles utilisés pour calculer la réponse numérique du système sont ceux décrits
enIII.1.3. La pénétration maximale du poinçon dans la matière est directement mesurée
sur la courbe de chargement en fonction de la pénétration du poinçon. Pour les deux mo- dèles, le poinçon est piloté en déplacement jusqu’à la profondeur maximale de pénétra- tion expérimentale. La courbe de chargement est enregistrée à la fin de la simulation. Les valeurs expérimentales et numériques sont ramenées sur une même base de déplacement pour pouvoir construire le vecteur écart e. Les données expérimentales et numériques uti- lisées pour construire le vecteur écart sont :
— l’écart normé entre la courbe expérimentale Pexpet la courbe simulée PEF pondéré
d’un poids ωe,
— l’écart normé entre la charge maximale expérimentale Pexp
max et la charge maximale
simulée PEF
maxpondéré d’un poids ωm.
Pour un vecteur de paramètres à identifier x, le vecteur écart e(x) est construit de la manière suivante : e(x) = a1(x), . . . , ai(x), . . . , an(x), b1(x), . . . , bi(x), . . . , bn(x) (III.4.1) où : ai(x) = ωe PEF i (x) P exp i Piexp bi(x) = ωm PEF maxi(x) P exp maxi Pmaxexp
La fonction objectif J(x) est la norme euclidienne du vecteur écart :
J(x) = e (III.4.2)
La rugosité de l’éprouvette, la présence d’un écrouissage superficiel et les défauts de pointe peuvent avoir une influence importante sur les premiers stades du chargement. Afin de la limiter, les 10 premiers pour cent de la courbe de chargement ne sont pas pris en compte dans le calcul de la fonction objectif. À la charge maximale, ces effets de surface ont beaucoup moins d’impact et le volume de matière sollicitée est plus important, ce qui limite la dispersion sur ces mesures. C’est pourquoi nous utilisons l’écart entre les charges maximales en plus de l’écart entre les courbes pour construire la fonction objectif.
Les critères de convergence que nous avons choisis pour arrêter l’algorithme de Levenberg-Marquardt sont les suivants :
— la valeur de la fonction objectif est inférieure à 1 10 4,
— l’évolution de la valeur de la fonction objectif entre deux itérations est inférieure à 1 10 4.