Modèles de comportement

Afin de modéliser l’évolution de la contrainte en fonction de la déformation appliquée dans le domaine élasto-plastique, plusieurs modèles de comportement existent. Les es- sais préliminaires décrits dans le chapitre3ont montré que deux modèles parmi d’autres permettent de décrire complètement le comportement élasto-plastique des trois maté- riaux utilisés au cours de l’étude : il s’agit du modèle de Ramberg-Osgood et du modèle de Rasmussen.

I.2.4.1 Modèle de Ramberg-Osgood

Ce modèle a été développé en 1943 par W. Ramberg et W.R. Osgood. Il s’agit d’un mo- dèle à quatre paramètres qui découle directement de la proportionnalité du seuil de plasti- cité avec la racine carrée de la densité de dislocations évoquée précédemment. Ce modèle permet d’exprimer la déformation comme une fonction de la contrainte [Ramberg 43] :

ε = σ E + α σr E  σ σr n (I.2.7)

où E représente le module d’élasticité initial du matériau, σr est une contrainte de réfé-

rence rendant compte de la limite d’élasticité du matériau, n est le coefficient d’écrouis- sage et α permet d’adapter le niveau de déformation à partir duquel apparaît la déforma- tion plastique.

La plupart des matériaux ne présente pas une limite d’élasticité mesurable de manière précise. Ainsi, elle est conventionnellement définie comme étant la contrainte atteinte pour une déformation plastique de 0,2 %. Dans ce cas, elle est appelée limite convention- nelle d’élasticité et est notée σ0,2. Le modèle de Ramberg-Osgood, dans le cas particulier

de l’utilisation de cette limite conventionnelle d’élasticité , ne présente plus que trois pa- ramètres indépendants et s’écrit alors :

ε = σ E + 0,002  σ σ0,2 n (I.2.8)

contrainte σ0,2soit égale à 0,002 de la manière suivante :

α = 0,002 E σ0,2

(I.2.9)

L’intérêt du modèle de Ramberg-Osgood est de permettre une description fine et conti- nue de la transition élasto-plastique. Cependant, il n’est pas adapté à la description de cer- tains matériaux qui présentent une forte déformation à rupture et un écrouissage linéaire

[Rasmussen 03].

I.2.4.2 Modèle de Rasmussen

Un modèle de comportement intéressant est celui développé par K.J.R. Rasmussen. Il est basé sur le découplage de la modélisation des petites et des grandes déformations, comme illustré en figureI.2 - 2a. Les petites déformations sont décrites par le modèle de Ramberg-Osgood pour une limite conventionnelle d’élasticité à 0,2 % alors que les grandes déformations sont décrites par une équation supplémentaire. Il s’agit d’un modèle à 6 pa- ramètres indépendants qui s’écrit sous la forme [Rasmussen 03] :

ε =            σ E + 0,002  σ σ0,2 n si σ σ0,2 σ σ0,2 E0,2 + εu  σ σ0,2 σu σ0,2 m + ε0,2 si σ > σ0,2 (I.2.10)

Les paramètres de ce modèle sont : E qui correspond au module d’élasticité, σ0,2qui est la

limite d’élasticité mesurée de manière conventionnelle à 0,2 % de déformation, n le coeffi- cient d’écrouissage de la première partie de la courbe et σuet εuqui sont respectivement la

contrainte maximale et la déformation associée. Les coefficients calculés à partir des pa- ramètres précédents sont : E0,2 qui permet d’assurer la continuité de la dérivée lors de la

transition, m qui représente la courbure de la deuxième partie du modèle et ε0,2qui est la

déformation atteinte pour une contrainte égale à σ0,2. Tant que la contrainte est inférieure

à σ0,2, le modèle de Rasmussen est identique au modèle de Ramberg-Osgood écrite dans

le cas particulier d’une limite conventionnelle d’élasticité.

Lorsque la contrainte est supérieure à la limite d’élasticité conventionnelle, la relation prend la forme d’une transformation linéaire de l’équation de Ramberg-Osgood initiale écrite dans un deuxième repère comme montré dans la figureI.2 - 2b[Rasmussen 03] :

¯ ε = σ¯ E0,2 + ¯εup  ¯σ ¯ σu m (I.2.11)

I.2. RAPPEL DES PRINCIPAUX PARAMÈTRES MÉCANIQUES ܧ଴ǡଶ ܧ଴ ߝ଴ǡଶ ߪ଴ǡଶ 0,002 ߝ ߪ (a) ߝ଴ǡଶ ߪ଴ǡଶ ߝ ߪ ߪҧ ߝҧ ߝ௨ǡ ߪ௨ (b)

FIGUREI.2 - 2 – Représentation graphique du modèle de Rasmussen mettant en évidence les

différents paramètres(a)et le changement de repère permettant d’écrire la deuxième partie du

modèle(b). calculées comme : ¯ ε = ε ε0,2 (I.2.12) ¯ σ = σ σ0,2 (I.2.13)

Un changement de repère permet d’écrire la contrainte ultime transformée ¯σuen fonc-

tion de la contrainte ultime σuet de la limite conventionnelle d’élasticité σ0,2:

¯

σu = σu σ0,2 (I.2.14)

et la déformation plastique ultime transformée ¯εup s’écrit en fonction de la déformation

mesurée correspondante à la contrainte ultime σu, de la déformation équivalente à la li-

mite d’élasticité ε0,2et de la déformation élastique atteinte, soit :

¯

εup = εu ε0,2

σu

E (I.2.15)

Rasmussen fait l’hypothèse que pour des matériaux présentant des déformations à rupture importante, la déformation ultime transformée peut être remplacée par la défor- mation ultime [Rasmussen 03] :

¯

εup εu (I.2.16)

Ainsi, par rapport au modèle de Ramberg-Osgood pour une limite d’élasticité conven- tionnelle, deux paramètres supplémentaires sont alors nécessaires pour décrire le com- portement mécanique du matériau :

— la contrainte ultime σu,

— la déformation ultime εu.

Les autres paramètres sont calculés comme suit :

— le module E0,2 représente la pente initiale de la deuxième partie de la courbe. Afin

d’assurer la continuité entre les deux parties, E0,2 est calculé à partir de l’équation

I.2.8comme étant dσ/dεσ=σ0,2 et vaut :

E0,2 =

E 1 + 0,002n E

σ0,2

(I.2.17)

— la déformation ε0,2 correspond à la déformation atteinte lorsque la contrainte est

égale à la limite conventionnelle d’élasticité σ0,2et est égale à :

ε0,2 = 0,002 +

σ0,2

E (I.2.18)

— Rasmussen obtient l’exposant m par itérations successives en utilisant des courbes d’essais de traction effectués sur des aciers inoxydables. La valeur de m ne dépend que de la contrainte ultime σu et de la limite conventionnelle d’élasticité σ0,2. Elle

s’exprime par [Rasmussen 03] :

m = 1 + 3,5σ0,2 σu

(I.2.19)

Bien que permettant une description plus précise que le modèle de Ramberg-Osgood pour les matériaux présentant une ductilité importante, le modèle de Rasmussen présente plusieurs inconvénients :

— seule la limite conventionnelle d’élasticité est considérée. Contrairement au modèle de Ramberg-Osgood, le coefficient α qui permet d’adapter le niveau de déformation à partir duquel apparaît la déformation plastique est perdu,

— une approximation est faite dans le modèle pour les matériaux fortement ductiles (équationI.2.16), approximation qui n’est totalement justifiée par l’auteur que pour les aciers inoxydables. De plus, cette écriture fait que pour une contrainte σu, la dé-

formation est différente de εu,

— l’identification de l’exposant m en utilisant la formule proposée par Rasmussen (équationI.2.19) n’a été vérifiée que dans le cadre de la caractérisation d’aciers in- oxydables et n’est pas validée pour les autres classes de matériaux.

Deux modèles de comportement ont été présentés qui permettent de caractériser le comportement mécanique élastique et plastique de matériaux métalliques. Afin de calcu-

I.3. OUTILS DE CARACTÉRISATION DES COUCHES MINCES

ler les paramètres des modèles de comportements présentés précédemment, il est néces- saire de mettre en œuvre des techniques de caractérisation permettant de déterminer le comportement mécanique du matériau à partir de la réponse d’une structure.