PRESENTATION DES DONNEES DE L’ETUDE : DESCRIPTION, VALIDITE, ANALYSE
4.4. Résolution et estimation des paramètres
L’équation de base du modèle trois états, en référence à (3.27), s’écrit aussi :
1 1
( ) t ( )
Q t =αeµ −q R t (3.29)
avec : 0 1 0
0 ( 0)(
q q
1) µλ α µ
µ λ µ λ µ
= +
+ + +λ (3.30)
Il s’agit, à partir de cette équation et des données dont nous disposons, de déterminer pour chaque secteur de l’étude les paramètres µ, λ0 et λ1 ainsi que les grandeurs et indispensables à la reconstitution du débit. Le calcul de ces cinq paramètres peut s’appuyer
q0 q1
sur les valeurs de débit de fuite mesurées Q t( ) et sur les données de réparation cumulées
1( )
R t et R t2( ).
Il s’avère impossible de déterminer directement par le calcul sous SAS ces cinq paramètres.
Des problèmes de convergence importants sont à signaler, les procédures utilisées ne permettent en effet pas de distinguer correctement les différents paramètres composant le terme α . Sur certains secteurs le calage du modèle est impossible, sur d’autres les valeurs des paramètres calculées sont inexploitables.
4.4.1. Suppression de degrés de liberté pour les paramètres du modèle
4.4.1.1. Choix de q0 à fixer hors du modèle
Pour contourner et dépasser l’obstacle évoqué, nous avons choisi de fixer a priori la valeur du débit unitaire associé aux fuites diffuses q0. Pourquoi ce paramètre plutôt qu’un autre ?
Les durées de vie moyennes des fuites diffuses et non repérées sont des grandeurs sur lesquelles nous ne disposons d’aucune information. Ce modèle novateur doit justement nous permettre de les déterminer, afin de mieux connaître la nature de ces fuites. Il ne semble donc pas judicieux de figer les paramètres λ0 et λ1 à des valeurs dont on ne sait si elles sont proches ou non de la réalité. Ce serait se priver d’une possibilité de connaissance issue du modèle.
Le paramètre µ détermine, au travers du processus de Yule, le nombre de fuites de chaque nature sur le secteur. C’est probablement la grandeur principale dans ce modèle. La fixer ne laisserait par la suite que peu de liberté aux autres paramètres qui en découlent nécessairement.
Il ne reste plus alors que les deux débits unitaires moyens et . Nous supposons que la part des fuites non repérées est prépondérante dans le débit de fuite par rapport à la part des fuites diffuses. Il nous semble dès lors qu’une erreur initiale sur aurait plus d’impact sur le débit global qu’une erreur sur , paramètre qui s’impose donc comme celui à fixer de préférence. Une étude de sensibilité sur ce paramètre nous confortera par la suite dans notre choix de fixer a priori.
q0 q1
q1
q0
q0
Le fait de considérer comme une donnée n’est cependant encore pas suffisant pour assurer une convergence convenable du modèle et nous devons procéder à de nouvelles restrictions sur un autre paramètre.
q0
4.4.1.2. Contraintes sur le taux d’apparition des fuites diffuses µ Le taux d’apparition des fuites µ est un paramètre primordial dans ce modèle que nous ne voulons pas fixer arbitrairement. Cependant, nous disposons d’informations à son égard.
Ce paramètre a déjà été calculé lors de la mise en place du modèle d’apparition des fuites sur lequel s’appuie en partie le modèle trois états. Il caractérisait certes la naissance commune des fuites diffuses et des fuites non repérées, mais nous pouvons supposer que les valeurs de µ calculées alors sont proches de celles qui caractérisent le modèle trois états. Le nombre de fuites réellement présentes à t est forcément différent, de par les processus d’élimination ou de transformation, mais le taux d’apparition est certainement assez voisin. Nous proposons donc de choisir la valeur de µ dans l’intervalle
[
0, 01; 0, 25]
qui englobe les variations de µ observées pour le modèle d’apparition des fuites. Il ne s’agit pas simplement de borner les variations de µ, mais d’explorer de manière discrète cet intervalle. Pour la programmation, la valeur de µ est incrémentée selon un pas à définir.A chaque itération de calcul, les valeurs de q0 et µ sont connues. Le choix final d’une valeur de µ, pour estimer le reste des paramètres, est expliqué par la suite.
4.4.2. Calcul des paramètres α et q1
Les paramètres α (voir équation (3.30)) et peuvent maintenant être déterminés à partir de l’équation générale du modèle (3.29). Une procédure de régression programmée sous SAS, dont la qualité d’ajustement est caractérisée par le coefficient de détermination
q1
12
R , est appliquée.
Comme le montre la relation qui les lie tous les trois, la simple connaissance de α ne permet pas de déterminer les paramètres λ0 et λ1 que nous cherchons à connaître.
Afin de pouvoir dissocier ces paramètres, nous utilisons la donnée disponible relative au nombre de réparations par semaine faisant suite à des détections visuelles.
Rappelons que la dernière équation du système différentiel traduisant l’équilibre dynamique entre les différentes catégories de fuites, équation (3.24), se présentait sous la forme :
2( ) 1 1( ) 2( )
dN t =λN t dt r t dt=
En combinant cette équation avec l’expression littérale de (équation(3.26)), nous obtenons :
1( ) N t
0
2 1
0 1
( ) ( )( )
r t dt λ µλ e dtµt
µ λ µ λ
= + + (3.31)
Puis, en intégrant simplement cette équation entre t0 et t, il vient :
0
0
0
0
2 2 1
0 1
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
t
t t t
t t
r u du R t e e
e e
µ µ
µ µ
λ λ
µ λ µ λ
β
= = −
+ +
= −
∫
(3.32)
avec 0 1
0 1
( )( )
β λ λ
µ λ µ λ
= + + (3.33)
La variable R t2( ) et le paramètre µ étant connus pour chaque étape de calcul, le paramètre β est obtenu simplement par une procédure de régression prédéfinie sous SAS, dont le coefficient de détermination est R22.
Ainsi, nous disposons à présent de deux relations, la première exprimant α , la seconde β, qui permettent d’accéder aux paramètres λ0 et λ1 que nous recherchons. Il suffit pour cela de résoudre un système simple de deux équations à deux inconnues.
Les risques instantanés liés aux fuites diffuses et aux fuites non repérées, qui donnent également accès aux durées de vie moyennes de ces fuites par passage aux inverses, s’écrivent sous la forme :
0 1 0
1 1
1 0
1
0 1
q q
q q
q q
q q
α β λ µ
α β
λ µβ
α β
= − −
− +
= −
− +
(3.34)
4.4.3. Bilan pour l’estimation des paramètres et contraintes associées
Les paramètres dans leur intégralité, pour la formulation de base, sont ainsi potentiellement déterminés à partir des relations précédentes. La convergence du modèle n’en est pas encore pour autant assurée. Nous savons juste qu’à partir des résultats que retournera le programme développé sous SAS, nous aurons accès aux paramètres physiques du modèle trois états.
Après avoir préalablement fixé une valeur de , sans quoi le modèle n’offre aucun résultat, les trois étapes distinctes résumées ci-dessous aboutissent au calcul de λ
q0
0 et λ1 :
- pour un µ donné, pris dans un intervalle issu du modèle d’apparition des fuites présenté dans le chapitre 2, nous calculons les paramètres q1 et α, ce qui conduit au coefficient de détermination R12, puis le paramètreβ, dont le calcul est caractérisé par le coefficient de déterminationR22 ;
- nous conservons la valeur de µ qui, au final, maximise le produit R12 R22 et conduit au respect de certaines contraintes physiques imposées, contraintes évoquées à la suite de ce bilan ;
- λ0 et λ1 résultent enfin de la combinaison des paramètres α et β associés au µ optimal.
Les contraintes évoquées en titre sont nécessaires pour imposer au modèle de fournir des résultats physiquement acceptables. Bien évidemment, le calage des paramètres est alors rendu impossible dans certains cas, mais rien ne sert d’avoir un modèle garantissant un jeu de paramètres sur tous les secteurs de l’étude s’il n’a aucune application faute de sens.
Nous savons que les paramètres µ, λ0 et λ1 doivent nécessairement être positifs, caractérisant respectivement un taux d’apparition et des inverses de durées de vie moyennes.
De même, une contrainte évidente consiste à imposer une valeur de , pour que la nature des fuites soit respectée (par définition la fuite diffuse est indétectable alors que la fuite non repérée est détectable).
q1>q0
Nous voulons donc :
0 1
0
1 1
q q 0
q q
α β λ µ
α β
= − − >
− + et 1 1 0
0 1
q q 0
q q
λ µβ
α β
= − >
− +
Pour λ0, numérateur et dénominateur doivent nécessairement être de même signe.
Si nous supposons la positivité de ces deux membres, alors :
0 1 1 1
q −qβ α> > −q qβ
La relation d’ordre entre et contredit l’hypothèse de positivité émise, nous devons donc considérer la négativité de chacun des membres. Celle-ci implique alors une contrainte réalisable :
q0 q1
1 1 0 1
q −qβ α> >q −qβ
Une contrainte supplémentaire déduite de la relation précédente est d’imposer 0
1
q
β < q car α est nécessairement positif.
Concernant λ1 maintenant, le numérateur est positif, par définition. Il faudra donc veiller à ce
que 0
1α q
β >
− .
Les contraintes résultantes et appliquées par la suite dans la programmation du modèle sont :
0
0 1
1
, ,
1
q q q
q q1 q0 q1
α β β α β
β > > − >
− > −
A celles-ci vient s’ajouter une contrainte sur la durée de vie moyenne des fuites diffuses,
0 0
d = 1λ , qui ne doit pas dépasser l’âge moyen du secteur, pour que le comportement asymptotique utilisé soit valable, comme nous l’avons expliqué au paragraphe 4.3.2.1.
Enfin, et ceci est le résultat d’essais préalables, une hypothèse sur la relation d’ordre entre l’âge moyen d’une fuite diffuse et l’âge moyen d’une fuite non repérée doit être formulée.
Nous avons évoqué, toujours au paragraphe 4.3.2.1, la prédisposition naturelle à imaginer qu’une fuite diffuse perdure plus longtemps qu’une fuite non repérée. C’est effectivement bien la condition que nous devons imposer.
La contrainte associée pour l’évaluation correcte des paramètres s’écrit :
0 1
0 1
1 1
d = λ >d = λ .
La construction du modèle est achevée et toutes les précautions ont été prises pour lui donner du sens et en faciliter le calage. Nous en présentons maintenant les premiers résultats.