PRESENTATION DES DONNEES DE L’ETUDE : DESCRIPTION, VALIDITE, ANALYSE
3. M ODELE D ’ APPARITION DES FUITES
3.4. Extensions du modèle d’apparition des fuites
entre les débits des fuites sur branchement et des fuites sur conduite. Une telle variation pourrait expliquer les écarts observés sur la valeur de modélisée, puisque, selon les secteurs, la prépondérance de l’un ou l’autre des deux types de fuites influerait sur le débit unitaire calculé. Cependant, il est difficile d’établir un lien entre la valeur de et la densité de branchements par exemple. La droite de régression (Figure 21) présente un coefficient de détermination
Qu
Qu
R2 très faible. Toutefois, nous pouvons noter que, si lien il y a, la valeur du débit unitaire Qu semble diminuer effectivement avec la densité de branchements.
y = -0 .0 0 79 x + 1.54 3 9 R2 = 0 .0 6 71
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50
0 50 100 150 200
de nsité de branche me nts (nb.km-1)
Qu (m3.h-1) secteur
régression linéaire
Figure 21. Valeurs de Qu en fonction de la densité de branchements pour le modèle d’apparition des fuites.
Les deux membres de cette équation caractérisent respectivement les canalisations (grandeurs et paramètres avec l’indice c) et les branchements (indice b). La multiplication par deux du nombre des paramètres a eu pour effet de rendre impossible le calage du modèle.
La convergence a été rétablie sur une grande partie des secteurs en ne considérant plus qu’un seul paramètre µ pour les deux types de fuite et un seul paramètre c0.
Dans ce cas, l’hypothèse est faite que les fuites apparaissent selon une même loi sur les différents organes du réseau mais aussi qu’elles sont réparées ou se transforment dans des proportions égales. Ce dernier point, pour la partie réparation, se justifie en invoquant le fait que lors d’une opération de recherche de fuites on ne cible pas précisément les branchements ou les conduites. Elles sont donc repérées dans des proportions identiques à leur présence effective, d’où l’unicité de c0.
L’équation du modèle devient alors :
0 0
0 1 0 1
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
c c b
t t
t t
u u
e e e e
Q t Q c R t Q c R t
L L L L
µ µ
µ µ
⎡ − − ⎤ ⎡ − −
= ⎢ − − ⎥+ ⎢ − −
⎣ ⎦ ⎣ b
⎤⎥
⎦ (3.9)
Malgré le calage possible, ce modèle ne donne pas satisfaction. En effet les valeurs des paramètres sont totalement aberrantes d’un point de vue physique, le modèle ne parvenant pas à répartir convenablement le débit de fuite sur ses deux origines possibles, conduites ou branchements.
3.4.2. Ajout des fuites diffuses selon la formulation de Lambert L’accès aux fuites diffuses n’est pas le but de ce modèle simple. Une première approche présentée ici consiste simplement à inclure les fuites diffuses, sous la forme proposée par Lambert, dans le corps du modèle.
La loi d’apparition des fuites utilisée jusqu’alors est maintenue mais ne s’applique plus qu’aux fuites non repérées, les fuites diffuses étant prises en compte par le nouveau terme.
Les indices L sur les paramètres indiquent que l’on se trouve dans une nouvelle formulation et l’équation du modèle devient :
0
0 1
9.6 0.6
1 1
( ) ( )
24000
L L
L
t t
b
u L
L N
e e
Q t Q c R t P
L L
µ
⎡ µ − − ⎤ +
= ⎢ − − ⎥+
⎣ ⎦ L
(3.10)
La première partie de l’équation est identique au modèle de base défini par l’équation (3.7).
La seconde exprime les fuites diffuses en fonction de la pression P en mCE, de la longueur de conduites L en km et du nombre de branchements , en reprenant les coefficients proposés par Lambert.
Nb
L’avantage de cette formulation réside dans le fait que le premier terme ne représente plus que les fuites non repérées. La distinction recherchée est ainsi opérée sans pour autant lever les critiques formulées au chapitre 1 (paragraphe 4.2.2) à l’égard de la méthodologie Lambert.
Dans l’expression de , les fuites diffuses sont une quantité non nulle. Nous observons logiquement un affaiblissement de la valeur du membre de l’équation lié aux fuites non repérées.
Q t( )
Plusieurs causes peuvent expliquer la diminution de cette valeur, notamment la réduction du débit unitaire moyen
uL
Q ou l’augmentation du taux initial de réparations c0L.
Le Tableau 12 présente les valeurs des paramètres pour ce nouveau modèle.
Tableau 12. Valeurs des paramètres pour le modèle d’apparition des fuites avec rajout des fuites diffuses selon Lambert.
Sect. µL
(an-1)
Qu
Nous remarquons tout d’abord que la procédure de calage ne peut être menée à bien que sur 12 secteurs seulement, le modèle étant plus complexe. La valeur moyenne de µ reste presque inchangée (cf. Tableau 11) et un calcul de moyenne sur
uL
Q , comparé au calcul sur les mêmes secteurs pour , montre que ces deux grandeurs sont elles aussi semblables, atteignant 0,58 m
Qu 3.h-1.
Les modifications s’observent donc au niveau de . Sur les neuf secteurs pour lesquels sa valeur n’est pas nulle, il passe en moyenne de 0,75 à 0,83. Le traitement séparé des fuites diffuses implique que le taux de fuites réparées à l’ouverture de la chronique est supérieur à ce que donnait le modèle de base (équation (3.7)). Le complément de ce taux à 1 représente l’effort à réaliser en matière de recherche pour éliminer encore des fuites non repérées. Les fuites diffuses, sur lesquelles les opérations de recherche de fuites ne peuvent agir, étant traitées séparément, les efforts de recherche à consentir dans ce nouveau cadre sont donc logiquement moindres.
c0 L
(m3.h ) c0L R1(t)
(nb.km-1) 1
2 3 4
5 0.13 0.6 0.81 3.1
6 0.09 0.3 0 3.8
7 0.14 0.2 0.84 0.7
8
9 0.10 0.52 0.46 1.7
10 0.08 0.4 0 1.4
11 0.10 0.7 0.34 1.3
12 0.11 0.6 0.83 0.7
13 0.13 0.0 0.96 1.3
14 0.11 0.45 0.92 0.8
15
16 0.10 0.2 0.81 0.9
17 0.07 1.4 0.92 1.4
18 0.05 1.2 0 1.0
0.100 0.5 +0.08
moyenne moyenne
gain moyen sur les 9 secteurs communs NO CONVERGENCE
NO CONVERGENCE NO CONVERGENCE NO CONVERGENCE NO CONVERGENCE NON CONVERGENCE
-1
4 1 7
2 0 9 5
6 7 2 8 N
N N N N
Ce modèle est certainement plus proche de la réalité que le précédent et permet en tout cas de progresser dans l’optique d’une gestion patrimoniale raisonnée. Cependant, alors que la quantité des fuites non repérées augmente dans le temps, la part des fuites diffuses telle que formulée par Lambert reste constante.
Du point de vue graphique, les courbes issues du modèle original et de cette variante se superposent presque parfaitement en tous points. Nous ne les présentons donc pas.
Les valeurs de débit modélisé identiques s’expliquent simplement. Les fuites diffuses sont tout au long de la chronique représentées par une constante. La seule variation significative dans la valeur des paramètres engendrée par le changement de modèle concerne le taux résiduel de fuites . Les deux autres paramètres étant inchangés, il en résulte simplement une valeur constante soustraite au débit précédent. Cette valeur vient donc compenser l’apparition de la constante due aux fuites diffuses et ainsi rééquilibrer le débit. Dès lors, il faut nuancer l’explication précédente sur le gain en matière de recherche de fuites. Nous voyons bien que, si seul le paramètre est modifié, c’est en premier lieu parce que cela représente le moyen le plus simple pour le modèle de prendre en compte l’ajout d’une constante.
c0
c0