Réseau de coût agrégé minimum

Nous allons procéder en deux temps. Dans un premier temps nous allons déterminer au sein de tous les réseaux, le réseau dont le coût agrégé est le plus faible. Dans un second temps nous étudierons la stabilité deux à deux (dé…nition infra) de la structure ainsi obtenue.

Minimisation du coût agrégé supporté par le réseau

On considère une structure correspondant à un niveau de bien être social maximal. Il y a là une double contrainte. Il s’agit d’une part d’obtenir un réseau qui permet de compenser les excès de demande et d’o¤re de liquidité, et d’autre part, de minimiser d’un point de vu social le coût porté par le réseau dans son ensemble.

La première contrainte (celle sur les transferts de liquidité), nous conduit, comme dans le cas sans coût, à ne considérer que des réseaux à une composante. La seconde contrainte (celle sur le coût agrégé) nous conduit à considérer des réseaux disposant d’un nombre minimal de connections.

On est face au jeu de réseau [V (g); (g)] où V (g) est l’ensemble des banques et (g) la fonction valeur associée au réseau g. G est l’ensemble des réseaux à une composante. Dé…nition 4 Une fonction valeur est une fonction _{: G ! R qui associe à chaque} réseau la valeur totale qu’il génère: L’ensemble des fonctions valeur est noté .

Ici, la valeur associée au réseau correspond à l’utilité retirée par les déposants.

(g) = U (C1) + (1 )U (C2) (2.17)

où C1 et C2 sont les niveaux de consommation des déposants précoces et tardifs.

Par hypothèse, on considère le cas dans lequel l’allocation obtenue en s’impliquant dans le réseau permet d’améliorer la situation au sens de Pareto par rapport à une

72 Chapitre 2

situation dans laquelle les banques restent isolées et mettent en oeuvre l’allocation au- tarcique décrite à la section 2.1.1. Ceci impose que le coût par déposant soit su¢ sam- ment faible pour ne pas faire disparaître les gains liés au réseau qui permet d’accroître le montant des investissements dans l’actif de long terme. Rechercher le réseau qui mi- nimise le coût agrégé total supporté par le réseau revient donc à rechercher le graphe fortement e¢ cace avec la dé…nition suivante de l’e¢ cacité forte :

Dé…nition 5 _{Un graphe g 2 G est fortement e¢ cace si (g)} (g0) pour tout g0 ₂ G13:

Pour déterminer le graphe fortement e¢ cace il est donc nécessaire de comparer les niveaux de bien être obtenu par les déposants selon le réseau en place. Il faut donc prendre en compte les coûts associés au réseau, tant du fait du coût …xe relatif à la création d’un lien que les niveaux d’investissement dans l’actif long obtenu. On peut établir la proposition suivante :

Proposition 6 Le réseau en étoile est le graphe fortement e¢ cace.

(Voir démonstration en annexe 2.5.8)

La structure de coûts utilisée dans le modèle, conduit à une situation pour laquelle le réseau fortement e¢ cace est le réseau en étoile. Pour le niveau d’investissement obtenu dans ce graphe14_{, et avec un coût …xe par déposant c pour chaque convention de crédit}

signée, le graphe fortement e¢ cace est le réseau à une composante avec un nombre minimal de liens. Il s’agit donc du réseau en étoile, et ce, quel que soit le nombre de participants15_{. Le coût direct total supporté par le réseau est 2(2p 1)c: La question}

qui se pose dès lors est celle de la stabilité d’un tel réseau.

13_{Voir Jackson & Wolinsky (1996)} 14_{Voir en annexe 2.5.8}

15_{Notons que le graphe en ligne, qui présente le même nombre d’arrêtes que le graphe en étoile, ne}

Gestion du risque de liquidité 73

Stabilité du réseau fortement e¢ cace

La minimisation sociale des coûts n’est pas compatible avec la minimisation du coût supporté par chaque joueur pris individuellement dans le cas de l’étoile. En e¤et, en raison du coût d’accès payé par les membres du réseau, la valeur engendrée par le réseau en étoile n’est pas répartie selon une règle égalitaire : les gains de chaque banque dépendent de sa position dans le réseau, et du nombre de conventions de crédit signées.

Dé…nition 6 Une règle d’allocation est une fonction Y : G _{! R}2p telle que P

iYi( ; g) = (g) pour tout et tout g:

La valeur totale engendrée par le réseau est donc la somme des valeurs obtenues par chaque participant :

(g) = X

i2V

Yi(g; ) (2.18)

En revanche, la règle d’allocation décrit la façon dont la valeur associée à un réseau particulier est distribuée à chaque banque prise individuellement. Yi( ; g) correspond

donc au rendement obtenu par la banque i du graphe g sous la fonction valeur associée : L’allocation de chaque banque dépend de la structure du réseau, et, de la position tenue par la banque dans la structure considérée.

Dé…nition 7 Une règle d’allocation égalitaire est une règle Ye dans laquelle chaque participant du réseau interbancaire reçoit la même valeur quelle que soit sa position dans le réseau. Ye peut s’écrire

Y_ie(g; ) = (g) 2p

Dans le cadre du réseau interbancaire avec coût, la règle égalitaire est en place quand chaque participant au réseau paye le même coût d’accès total au réseau, i.e. quand la distribution des coûts entre les joueurs est égalitaire. Avec notre structure de coût, ceci a lieu quand le degré de chaque noeud est identique.

74 Chapitre 2

Pour étudier la stabilité des réseaux, on aura recours à la dé…nition de la stabilité deux à deux donnée par Jackson et Wolinsky (1996).

Dé…nition 8 Un réseau g est " stable deux à deux " par rapport à et Yi si

(i) Pour tout ij 2 G, Yi(g; )> Yi(g ij ; ) et Yj(g; ) > Yj(g ij; ), et

(ii) Pour tout ij =_{2 G, si Y}i(g; ) < Yi(g + ij; ) alors Yj(g; ) > Yj(g + ij; )

On peut dès lors faire la proposition suivante :

Proposition 7 i) Le réseau en étoile est le seul réseau fortement e¢ cace. Il minimise le coût total agrégé.

ii) Cependant, en raison de la structure de coût déséquilibrée qu’il exhibe, le réseau en étoile n’est pas stable deux à deux.

iii) Les seules topologies stables deux à deux sont les réseaux k régulier avec k > p. Parmi ces topologies, la structure p régulière est celle de coût minimal.

(Voir démonstrations en annexe 2.5.9).

La structure de coût dans le réseau en étoile est déséquilibrée, le centre supporte un coût égal à (2p 1)calors que les (2p 1)autres participants ne supportent qu’un coût égal à c. Ce type de structure n’est donc pas stable deux à deux au sens de Jackson et Wolinksy (1996). L’ensemble des réseaux p-réguliers garantit un coût minimum iden- tique pour chaque joueur, pour un coût agrégé de 2p2_{c:Cette structure nous éloigne de}

l’e¢ cience agrégée car elle ne permet pas la minimisation du total des coûts supportés par le réseau.

Nous faisons donc face à une alternative entre stabilité et e¢ cacité en terme de coûts. Le seul réseau fortement e¢ cace n’est en e¤et pas stable deux à deux. Le réseau p régulier assure une division des coûts égalitaire minimale entre les joueurs, cependant en termes agrégés cette structure n’est pas e¢ cace. Le recours à une fonction valeur et à une règle d’allocation nous permet de mettre en évidence une unique classe de réseau permettant à la fois la décentralisation de l’allocation, et, une distribution égalitaire des coûts entre les joueurs.

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