Les régimes de Fresnel et de Fraunhofer : rôle des fentes échantillon . 12

Une fois qu’un faisceau ayant des longueurs de cohérence satisfaisantes a été obtenu, il faut sélectionner la partie cohérente du faisceau seulement. En effet, au niveau de l’échan-tillon, la taille du faisceau est beaucoup plus grande que la longueur de cohérence. Dans ce cas, la plus grande partie du faisceau n’est pas cohérente et le produit de la diffraction va être une superposition d’une intensité obtenue majoritairement par diffraction "classique", et d’une contribution mineure de la diffraction cohérente. Dans ces conditions, le contraste de frange obtenu sera très mauvais. Il est donc impératif de ne sélectionner qu’une partie cohérente du faisceau. Cela se fait en positionnant des fentes juste avant l’échantillon, à une ouverture proche de la longueur de cohérence transverse. Ainsi, le faisceau est cohérent sur toute sa taille et seule la contribution de la diffraction cohérente apparaîtra dans l’intensité mesurée.

Mais si l’utilisation de ces fentes est indispensable, il faut bien en maîtriser les consé-quences sur le faisceau qui va les traverser. En effet, ces fentes ayant une ouverture du même ordre de grandeur que la longueur de cohérence spatiale, le faisceau va être diffracté par ces fentes. En champ proche (également appelé régime de Fresnel), le faisceau conserve à peu près la taille des fentes échantillon, et à partir d’une certaine distance, il diverge de manière linéaire avec la distance. On entre alors dans le régime de champ lointain (ou régime de Fraunhofer). La distance de séparation entre les deux régimes d_{F F} s’exprime en fonction de la longueur d’onde du rayonnement utilisé λ et de l’ouverture des fentes échantillon a comme [4] :

d_{F F} ∼ ^(a/2)

2

λ (1.6)

Lors d’une expérience de diffraction cohérente, il faut prendre soin de placer l’échantillon en régime de Fresnel pour que le faisceau qu’il reçoive soit petit parallèle, et le détecteur en champ lointain, puisque c’est dans cette zone que les franges d’interférences sont visibles (voir figure1.5).

Figure 1.5 – Effet des fentes échantillon sur la propagation du faisceau. Les régimes de Fresnel et de Fraunhofer (respectivement champ proche et champ lointain) sont indiqués.

Par ailleurs, si la taille du faisceau évolue avec la distance, la distribution d’intensité du faisceau change, et est modulée par la figure de diffraction produite par les fentes. Ces interférences liées seulement à la présence des fentes seront mesurées sur le détecteur en plus du signal de diffraction propre au phénomène physique étudié dans l’échantillon. Il faut donc bien prendre soin de séparer les contributions de la fente et de l’échantillon pour l’interprétation des mesures.

1.1.4 Degré de cohérence

Le degré de cohérence β permet d’évaluer le pourcentage cohérent du faisceau. C’est une grandeur fondamentale pour quantifier la cohérence spatiale d’un faisceau, qui peut s’exprimer tout simplement comme le rapport de la portion cohérente du faisceau ξ_T et de la taille du faisceau σ à une certaine distance x après tous les éléments optiques (x = 0 au niveau du dernier élément optique) :

β(x) = ^ξT(x)

Cette grandeur est remarquable par le fait que quelle que soit la distance x, le degré de cohérence β(x) est conservé après les fentes [5] : le pourcentage cohérent du faisceau est une grandeur constante caractéristique du faisceau généré.

Le degré de cohérence se calcule à partir des données optiques de la ligne. Considérons un faisceau défini entre deux jeux de fentes séparés d’une distance D, le premier de taille φ1

et le deuxième de taille φ2, le degré de cohérence peut être estimé d’après [4] : β(z) ∼ (_X∞ n=0 (−1)ⁿ2²ⁿ⁺²z²ⁿ/^(2n + 1)(2n + 2)²(2n + 1)!^ )2 (1.8) où z = πφ₁φ₂/ (λD).

En pratique, le premier jeu de fentes joue le rôle de source secondaire, d’ouverture S, et le deuxième est le jeu de fentes échantillon d’ouverture a, permettant de ne sélectionner que la partie cohérente du faisceau. On définit alors z₁ = πSa/ (λR), et le degré de cohérence est donné par β(z1). Ce degré de cohérence est évalué entre la source et le jeu de fentes échantillon, mais la donnée que l’on mesure est celle obtenue sur le détecteur placé à une distance D des fentes échantillon (figure 1.6).

Figure 1.6 – Représentation schématique de la disposition des fentes source de taille S, des fentes échantillon de taille a et du détecteur ayant des pixels de taille p, séparés de R pour les deux premières et D pour les deux derniers.

Or entre les fentes échantillon et le détecteur, le faisceau s’est propagé et est mesuré sur un détecteur qui a une certaine résolution définie par la taille de ses pixels p. Il faut donc aussi calculer le degré de cohérence sur la portion située entre les fentes échantillon et le détecteur, le premier jeu de fentes étant alors les fentes échantillon et le deuxième un pixel de la caméra. On définit alors z2 = πap/ (λD), et on calcule ainsi un degré de cohérence sur la deuxième portion du trajet : β(z2). Le degré de cohérence total β(z) contient l’information globale des degrés de cohérence β(z₁) et β(z₂) :

β(z) = β(z₁)β(z₂) (1.9)

Ce degré de cohérence est relié dans une expérience de diffraction cohérente à une grandeur fondamentale : le contraste de frange C, défini par :

C = ^Imax− Imin

où I_max et I_min sont respectivement les intensités obtenues sur un maximum local et un minimum local d’une figure d’interférences.

Il faut noter également que la cohérence naît d’un faisceau complètement incohérent par simple propagation. On peut montrer que n’importe quel faisceau, aussi peu cohérent soit-il à sa source, gagne en longueur de cohérence lorsqu’on le laisse se propager. Ceci peut se calculer de manière formelle [2]. En considérant un faisceau gaussien de largeur a au niveau des fentes de cohérence, la longueur de cohérence transverse ξ_T obtenue au niveau de l’échantillon s’exprime de la manière suivante :

ξ_T² = ξ_{T 0}² + λD 2π 2 ξ2 T 0+ 4a² a4  (1.11) où ξ_{T 0} est la longueur de cohérence juste après les fentes échantillon. Pour un faisceau complètement incohérent, ξT 0 = 0, on remarque qu’on obtient une valeur non nulle pour ξT au niveau de l’échantillon :

ξ_T = √^λD

2πa (1.12)

La longueur de cohérence augmente même de manière linéaire avec la distance. Par exemple, en prenant λ = 2 Å, D = 10 cm, et a = 5 µm, on obtient ξ_T = 1 µm si ξ_{T 0} = 0. Cette valeur est loin d’être négligeable bien qu’inférieure aux longueurs de cohérence spatiale généralement obtenues dans un montage de diffraction cohérente (de l’ordre de 10 µm).

1.2 Un montage expérimental typique : la ligne CRISTAL du