Bien que ce régime n’ait pas été mesuré, nous allons rapidement en présenter quelques traits.
Les calculs et simulations réalisés ci-dessus partent du principe que l’élec-tron se trouve soit d’un côté soit de l’autre de la barrière. Dans le cas des hautes transmissions et surtout dans le régime SSS, nous ne pouvons plus faire cette ap-proximation. Il faut plutôt considérer que les électrons réalisent des allers-retours dans la jonction — si ce n’est entre les deux jonctions —, créant ainsi des interfé-rences comme dans un cercle d’Aharonov-Bohm. Pour arriver à calculer les carac-téristiques électriques, nous avons besoins d’un modèle considérant implicitement toutes les réflexions possibles, comme le font les fonctions de Green [Schr 07]. Ainsi il est possible de voir le blocage de Coulomb, tout en ayant de multiples ré-flexions d’électrons ou de paires de Cooper dans la barrière. Dans le cas des paires de Cooper [Eile 94] [Fult 89], le courant Josephson apporte une composante sup-plémentaire à 0V. Dans le cas des électrons, les multiples réflexions d’Andreev [Fitz 98] autorisent des passages au travers des barrières alors que le niveau de Fermi n’a pas encore dépassé la zone interdite pour les électrons.
Ces nouvelles transitions sont loin d’être indépendantes; elles interagissent entre elles, augmentant fortement la complexité d’une caractéristique courant tension. Ainsi il existe des processus à 3 électrons [Hadl 98], des périodicités à deux élec-trons [Tuom 92] [Amar 94] et ainsi de suite.
Bien que les interactions entre courant Josephson, multiples réflexions d’An-dreev et courants dus à des électrons soient bien étudiées, l’interaction entre le blocage de Coulomb et les multiples réflexions d’Andreev est encore peu connue.
En effet le blocage de Coulomb ne peut se manifester que s’il existe une barrière résistive. Or dans les contacts atomiques, nous pouvons tout à fait avoir un canal avec une transmission parfaite, balistique, qui ne "voit" aucune jonction. Qu’en est-il du blocage de Coulomb dans ce cas là ? Nous trouvons dans [Schr 07] que le blocage de Coulomb persiste même pour un canal à transmission parfaite. Des expériences préliminaires [Sche 03] ont plutôt montré qu’il existait une influence des canaux de conductions sur le blocage de Coulomb. Cette question reste donc ouverte.
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[Wass 97b] C. Wasshuber. About Single-Electron Devices and Circuits. PhD the-sis, Technischen Universität Wien - Fakultät für Elektrotechnik, ja-nuary 1997.
qu’aux basses températures, il était possible de stabiliser des atomes isolés sur une surface, permettant ainsi de les mesurer. Les basses températures sont devenues l’élément essentiel en terme de stabilité et de résolution pour les mesures d’atomes. En diminuant l’énergie thermique des atomes, il a été possible d’obtenir de plus en plus de détail sur les énergies de liaison et les canaux de conduction d’atomes isolés. Au-delà de la simple résolution électrique, le phénomène de la supracon-ductivité est une aide supplémentaire pour l’étude d’atomes isolés [Sche 98a].
Dans cette partie, nous allons commencer par présenter les fondements théoriques nécessaires à la compréhension des expériences et résultats des chapitres 2 et 3 portant sur la mesure basses températures de jonctions sur substrat de bronze.
to its particular electrical
properties, can be called the state of superconductivity [...]
(Deep Temperature work) can contribute towards lifting the veil which thermal motion at normal temperatur spreads over the inner world of atoms and electrons.
Heike Kamerlingh Onnes, Nobel Lecture 1913 [Onne 13]
Chapitre 1
Supraconductivité
Les électrons, dans un métal à 0 K, se trouvent dans leur état fondamental. Cet état est obtenu en remplissant successivement les différents niveaux de l’espace ré-ciproque avec les électrons. Si l’on considère le cas des électrons libres, cas le plus simple qui soit, les états occupés sont organisés en une sphère, dont le rayon est donné parkF, la valeur absolue du vecteur d’onde de Fermi. L’énergie à la surface de la sphère est appelée Energie de Fermi. Il est possible de montrer que cet état fondamental des électrons — aussi appelé mer de Fermi — n’est plus l’état pri-vilégié des électrons si l’on considère une quelconque attraction électron-électron aussi petite soit-elle. En première approximation cette attraction peut être décrite par une constante (-V) — décrivant un potentiel attractif — qui s’annule pour les électrons se trouvant en dehors de l’intervalle d’énergie ~ωD autour de EF avec
~ωD << EF.ωDest une fréquence dépendante du matériau considéré (fréquence
de Debye). L’énergie d’une paire d’électrons, respectivement dans les états+→−k et
−→−k et avec des spin antiparallèles, est égale àE'2EF−2~ωDeN−(0)2V [Genn 66]. Ainsi nous obtenons un état dont l’énergie est plus basse que 2EF. 2EF corres-pond à l’énergie minimale de deux électrons libres dans la bande de conduction.
N(0) est la densité d’états à l’énergie de Fermi et V le potentiel défini auparavant. Cet état n’existe pas indépendamment de la mer de Fermi. Il est, dans le cas de la supraconductivité standard (de type BCS), véhiculé par le biais de phonons vir-tuels. Les paires d’électrons ainsi formées sont appelées paires de Cooper.
L’interaction entre deux électrons peut être appréhendée de la façon suivante:
d’interaction entre deux électrons — la longueur de cohérenceξ— d’une paire de Cooper est de l’ordre de 0,1µm à 1µm.
Un électron passant au travers d’un réseau d’atomes déforme ce dernier. Un autre électron passant à proximité voit cette charge d’espace et est attiré par elle. Ainsi se transmet une force attractive par le biais des atomes.
Pour une introduction générale sur la supraconductivité voir [Butc 08].
1.1 La jonction NS
L’interface entre un conducteur Normal et un conducteur Supraconducteur (ap-pelée "jonction NS" par la suite) est décrite par les équations de Bogoliubov-de Gennes1 [Genn 66] qui décrivent les états de quasi-particules2dans un supracon-ducteur non uniforme3. Ces états sont définis par les amplitudesu(r,E) etv(r,E) à l’énergieE: Electrons: E·u(r,E)= −~ 2∇2 2m +U(r)−EF ! u(r,E)+ ∆(r)·v(r,E) (1.1) T rous: E·v(r,E)=− −~ 2∇2 2m +U(r)−EF ! v(r,E)+ ∆∗ (r)·u(r,E) (1.2) avec U(r)4 et ∆(r)5 des potentiels devant être déterminés de manière auto-consistante [Genn 66]. Dans le cas d’un supraconducteur uniforme (ici sans inter-face), les équations BDG peuvent être résolues en terme d’ondes planes, amenant ainsi à la loi de dispersion des quasi-particules dans un supraconducteur.
Ek = p (εk−EF)2−∆2 (1.3) avec εk = (~k)2 2m , u2k = 1 2 1+ εk−EF Ek ! , v2k = 1 2 1− εk−EF Ek ! (1.4) Si l’on isole~k, on obtient pour 1.3:
1. Appelés BDG par la suite
2. Nous entendons parquasi-particulesles électrons et trous du supraconducteur qui ne parti-cipent pas aux paires de Cooper.
3. Une telle interface NS peut être considérée comme un supraconducteur non uniforme. 4.U(r) est un potentiel arbitraire externe décrivant les impuretés et surtout l’interface.
5.∆sera associé plus tard au gap supraconducteur. Ce gap est l’intervalle d’énergie autour deEF pour lequel les électrons s’apparient en paires de Cooper. Cet intervalle est une "zone interdite" — comme le gap des semiconducteurs — pour les électrons indépendants.
~k±= r
2m
EF ± pE2−∆2 (1.5) Les états excités de vecteur d’ondek+définissent des états non-supraconducteurs
au-dessus de l’énergie de Fermi et sont appelés "quasi-électrons". Les états exci-tés de vecteur d’ondek−définissent des états non-supraconducteurs en dessous de l’énergie de Fermi et sont appelés "quasi-trous".
Considérons maintenant le cas d’un contact point quantique6entre un métal et un supraconducteur. Pour plus de simplicité, nous assumons un canal de conduction unique7reliant les deux électrodes et appelons x la variable spatiale8du contact.
F. 1.2 – Réflexion d’Andreev "simple" entre un conducteur normal et un supra-conducteur. Un électron est réfléchi comme trou en émettant une paire de Cooper dans le supraconducteur.
Partons du principe que le potentiel d’interaction entre électrons∆(x) est défini comme une marche allant de zéro à ∆ à l’interface NS et considérons un élec-tron d’énergieE. Les fonctions d’ondes de chaque côté de l’interface peuvent être écrites de la manière suivante:
Ψ(x,E)= 1 0 ! eiq+x+reh 0 1 ! eiq−x+ree 1 0 ! e−iq+x (x<! 0) :N (1.6)
6. C’est-à-dire un contact monodimensionel.
7. Voir section 1.1 pour le terme decanaux de conduction
Ψ(x,E)=tee u(E) v(E) ! eik+x+teh v(E) u(E) ! eik−x (x>! 0) :S (1.7) avec~k±(∆ = 0)= ~q±= √2m(EF ±E) et les deux éléments de chaque vec-teur étant les composantes "électron" et "trou" du niveau excité. Les composantes
ree,tee,rehettehpeuvent être déterminées grâce aux conditions de continuités de la fonction d’onde et de sa dérivée à l’interface. Ces composantes décrivent les quatre processus possibles pour un électron arrivant sur l’interface NS. Ces processus sont la réflexion en tant qu’électron (ree), la transmission en tant que quasi-électron (tee), la réflexion en tant que trou (reh) et la transmission en tant que quasi-trou (teh). L’approximation quasiclassique (approximation d’Andreev) nous permet de sim-plifier plus encore, car pour E ∼ ∆on aq+ ' q− ' k+ ' k−(voir équation 1.5), approximation valide tant que ∆
EF 1. Dans le cas d’une interface NS parfaite et sans différence de potentiel, on obtientree=teh=0 et
reh(E)= v(E)
u(E) (1.8)
ce qui nous donne la probabilité pour une réflexion d’un électron en tant que trou, appelée réflexion d’Andreev. En utilisant les coefficients donnés en 1.4, on obtient pourE .∆
reh(E)=e−iarccos(E
∆) (1.9)
alors que pour E > ∆, reh décroît exponentiellement. Ainsi, la probabilité d’avoir une réflexion d’Andreev pour un électron avec une énergie dans le gap, est de 1. Il ne faut pas oublier que le trou réfléchi n’est autre qu’un second électron transmis, permettant ainsi à une paire de Cooper d’être émise dans le supracon-ducteur (Voir illustration figure 1.2). Ainsi se déroule le mécanisme à l’interface N-S permettant de "convertir" un courant normal en un courant supraconducteur, comme décrit en premier par Andreev en 1964 [Andr 64].
A la section 1.3, nous nous séparerons de l’approximation d’un potentiel en forme de marche, pour introduire l’effet de proximité.
It will be shown below that at the boundary dividing the two phases an effect occurs of a type involving over-the-barrier reflexion of quasi-particles
Alexander F. Andreev 1964 about "his" reflexions [Andr 64]