2.2 Déformation statique de la membrane
2.2.3 Déformation sous l’e ff et d’une sous-pression
La déflection maximalehd’une membrane sous application d’une pression p
extérieure est donnée par la formule suivante [Dege 01]:
p' 4tσ0
r2 h+ 8t
3r4Y·k·h3 (2.3) avectl’épaisseur de la membrane,rle rayon de la membrane7(membrane ronde),
σ0 le stress résiduel, Y le module biaxial et k une fonction d’ajustement proche de l’unité. Nous pouvons dans la formule 2.3 voir que le stress résiduel n’est re-présenté que dans le terme linéaire de cette équation. Aux hautes déformations le terme enh3domine, ce qui explique que la déflection des deux membranes avec et sans oxyde tende à se rapprocher (figure 2.3 B ).
Nous pouvons réécrire 2.3 sous la forme
F= p·A'A·C1·h+A·C2·h3 (2.4)
5.π11=6,6·10−11Pa−1etπ12=−1,1·10−11Pa−1[Smit 54]
6. Au vu de la déformation possible et de la variation des propriétés électriques des membranes sous tension, il serait intéressant dans une application potentielle électromécanique des membranes, de déformer localement la membrane afin d’influencer de manière ponctuelle les propriétés élec-triques (Un exemple "d’ingénierie" du diagramme de bande sur SOI peut-être trouvé sous [Sutt 03]).
avec Al’aire de la membrane etC1 etC2les coefficients donnés dans la formule 2.3.
Nous avons mesuré la déformation de plusieurs membranes en appliquant une sous-pression d’un côté8. La déformation des membranes est reportée dans la fi-gure 2.5 en fonction de la force appliquée. Les données sont ajustées à l’aide de la formule 2.4.
Les paramètres des ajustements sont les suivants:
Membrane 1a :C1·A=2·10−5 µNmetC2·A=4,5·10−6 µNm3
(ajustement bleu - largeur 570µmsans oxyde natif )
Membrane 1b :C1·A=−3,5·10−4 µNm etC2·A=5,19·10−6µNm3 (ajustement rouge - largeur 570µmavec oxyde natif)
Membrane 2 :C1·A'0 µNmetC2·A=1,2·10−7 µNm3
(ajustement vert - largeur 3,55 mm sans oxyde natif)
F. 2.5 – Déformation de deux membranes en fonction de la force de sous-pression appliquée (les lignes correspondent aux ajustements et les points aux données me-surées). En bleu et en rouge une membrane de 570 µm de côté avec (en rouge) et
8. Les mesures en sur-pression sont instables, comme décrit auparavant. Nous serons donc tou-jours limités en sous-pression à des mesures d’une valeur maximale de une atmosphère. D’autre part, précisons que la valeur maximale de déflection mesurable par notre profilomètre optique était de 100µm.
sans (en bleu) oxyde natif; en vert, une membrane de 3,55 mm de côté sans oxyde natif.
Nous voyons que la forme de nos courbes de déformation en fonction de la force appliquée diffèrent fortement pour les petites forces d’un échantillon à l’autre. La déformation est par contre qualitativement semblable pour les hautes forces.
Afin de comparer nos mesures entres elles, calculons les valeurs de déformation initialeh0=−
q C1·A
C2·A (sans pression appliquée), de stress initialσ0 =(C1·A)·4rt2·A
(en utilisant pourrla moitié de la largeur de nos membranes carrées) et de module biaxialY =(C2·A)·83tr·4A (aveck'1). Nous trouvons ainsi:
Membrane 1a :h0 ' −2,1µm σ0'37bar Y =101GPa = 1,01·106bar
Membrane 1b :h0'8,2µm σ0' −643bar Y =116GPa = 1,16·106bar
Membrane 2 : h0'0µm σ0'0bar Y =104GPa = 1,04·106 bar
Remarquons tout d’abord que pour la membrane de 570 µm, on retrouve une déflection initialeh0de 2µmen l’absence d’oxyde natif et de 8µmavec oxyde na-tif. Ces valeurs de déflection déduites de nos calculs recoupent les valeurs mesurées de la figure 2.3.
Comparons maintenant le module biaxial calculé des membranes avec le mo-dule d’Young du silicium bulk en direction<100>, qui est de 130 GPa [Fran 04]. Nos calculs ci-dessus nous livrent une valeur d’environ 110 GPa, soit proche de celle du silicium bulk. En effet, pour une épaisseur de 340 nm, il est probable que le silicium réagisse encore en tout point macroscopiquement.
Nos calculs révèlent également une valeur de stress initial particulièrement élevée pour la membrane avec oxyde. Lorsque l’on enlève l’oxyde, le stress diminue for-tement, sans toute fois disparaître totalement. Le stress résiduel n’est nul que pour la grande membrane (dans la limite de notre précision) pour laquelle les effets de bords sont beaucoup moins fort. Le stress non nul de la petite membrane permet les états bistables de la figure 2.3.
Si l’on compare avec les mesures réalisées dans la section 2.2.2, où nous trou-vons un stress de 10 bar environ, le stress de la membrane oxydée semble ici beau-coup plus important (643 bar). Or, lorsque l’on regarde la forme d’une membrane à l’état statique avec une couche d’oxyde natif et des arrivées de courant, nous voyons que l’oxyde natif crée des déformations importantes mais que la rigidité des arrivées de courant empêche toute déformation importante de la membrane à cet endroit (voir figure 2.6).
F. 2.6 – Déformation de deux membranes rondes de respectivement 2400 µm et 500µm de diamètre. La déformation est due à l’oxyde natif présent sur chaque face de la membrane. Cette déformation est bloquée au niveau des arrivées de courant (indiquées par des flèches), pour une part en raison de de la rigidité du métal et d’autre part en raison de l’absence d’oxyde sous les arrivées de courant.
Comme le courant, dans le cas de nos mesures de la piézorésistivité, passe probablement par le silicium placé juste en dessous des arrivées de courant, nous obtenons par cette mesure une pression résiduelle beaucoup plus faible que dans le cas de membranes dépourvues d’arrivées de courant et mesurées dans leur en-semble.
Enfin, nous avons aussi mesuré (non montré ici) que la membrane de 3,55 mm résiste sans se casser à une sous-pression de -1 bar. Cette pression correspond à une force de 1,235 N, soit à une déformation de 218 µmd’après la figure 2.5. Nous ne pouvions mesurer cette valeur de déformation à l’aide de notre profilomètre optique puisque celui-ci permet de mesurer au maximum une déformation de 100µm. Cette valeur de 1,235 N, correspond à un poids de 0,126 Kg réparti sur la membrane. Bien que cette valeur semble particulièrement élevée, nous avons pu déterminer que, dans la limite de précision de notre ajustement et selon l’hypothèse que la formule valais aussi pour les membranes carrées, les membranes possèdent les mêmes caractéristiques mécaniques que le bulk.