2 La méthode d’intégrale de chemin 5
2.5 Trajectoires complexes
2.5.2 Réflexion par un puits de potentiel
Dans cette section je vais calculer la réflexion par un
puits
depotentiel
stationnaire à la limitesemi-classique
en utilisant destrajectoires complexes.
Pour unpuits
depotentiel,
l’application
standard de BKW neprédit
pas de réflexionpuisqu’il n’y
a pas de points derebroussement réels. Pourtant il existe des
points
de rebroussementcomplexes.
La réflexionquantique
peut êtreinterprétée
en termes detrajectoires complexes qui
contournent un de cespoints.
Pardéfinition,
unpoint
de rebroussement xtpest unpoint
où E= V(xtp)
etl’impulsion
s’annule. Si la dérivée du
potentiel
est non-nulle en cepoint V’(xtp) ~ 0, l’impulsion prend
localement la forme
Le passage autour d’un
point
de rebroussementchange
donc lesigne
del’impulsion,
et laparticule
est réflechie.Je vais ici considérer un
potentiel particulier,
où
V0
> 0. La raison deprendre
cepotentiel
est que laprobabilité
de réflexionpeut
êtreoù
et E > 0 est
l’énergie
de laparticule.
La limite
semi-classique
est obtenue en faisant tendre 0127 verszéro,
les autresparamètres
du
problème
03C3,V0
et E restant constants. Cette limitecorrespond
auxinégalités
suivantesEn
appliquant
ces deuxinégalités
àl’expression (2.86),
on trouve uneapproximation
pour laprobabilité
de réflexion(2.86) qui
est valable à la limitesemi-classique
Ceci
peut
être écrit comme le module carré de la somme de deux termesJe vais montrer que ces deux termes
proviennent
destrajectoires qui
passe dans ledemi-plan
Im(x)
> 0 etqui
contournent les deuxpoints
de rebroussement lesplus proches
de l’axe réelCalculons d’abord les
points
de rebroussement.Puisque
lepotentiel
estnégatif
sur l’axe réel et quel’énergie
de laparticule
estpositive,
tous lespoints
de rebroussement xtp sontcomplexes (avec
unepartie imaginaire non-nulle).
Ils s’obtiennent àpartir
del’équation
V(x
tp
)
= E. Enreportant l’expression (2.85)
pour lepotentiel
dans cetteéquation,
on trouvedont les solutions sont
où n =
0, ±1, ±2 ...
est un nombre entier. Lespositions
despoints
de rebroussement sontindiquées
dans laFigure
2.19. Pour calculer laprobabilité
deréflexion,
on ne considère que les deuxpoints x±tp qui
se trouve dans ledemi-plan Im(x)
>0,
etqui
sont lesplus proches
de l’axe réel. Pourjustifier
ceci defaçon rigoureuse
il faut utiliser le traitement de Stokes(voir
l’AnnexeD).
On peut pourtant noter que lestrajectoires qui
contournent despoints
au-dessous de l’axe réel ne sont pasphysiques, puisqu’elles
contribueraient au coefficient de réflexion destermes
plus grands qu’un.
De même onpeut négliger
lespoints
de rebroussement dont lapartie imaginaire
estplus grande
que Im(x±tp),
parce que les contributionsprovenant
de cespoints
sontexponentiellement plus petites
que celles associées auxpoints x±tp.
Enparticulier
elles sont
plus petites
que l’erreurprésente
dans les termesprincipaux
due àl’approximation
semiclassique.
On cherche à calculer
l’amplitude
ducomposant
de(xf, ; ft
xi,E)
associé à laréflexion,
FIG. 2.19 - Les
pôles (croix)
et lespoints
de rebroussement(cercles)
pour lepuits
depotentiel
(2.85),
oùl’énergie
de laparticule
estpositive
E > 0. Latrajectoire réflechie +
qui contournele
point
de rebroussementx+tp
estindiquée.
qu’à
la limitesemi-classique
ce terme estégal
à la somme des contributionsñexp[iS±/]
associés aux
trajectoires ± qui
contournent lespoints x±tp.
Lesamplitudes ñ(xf,tf;xi,E)
des termesréflechis,
commel’amplitude ,E) i;xf,tf(x(1)Ã
du termeincident, dépendent
de la vitesse de laparticule
auxpositions
initiale et finale xi et xf,qui
sontprises
toutes les deux àgauche
dupotentiel.
La vitesse finale d’uneparticule
réflechie ne diffère de la vitesse d’uneparticule
incidente que par sonsigne,
et donc lesamplitudes f,E) i;x±,tf(xÃ
sontidentiques
à
Ã(1)
àpart
unephase multiplicative
Cette
phase
-iprovient
del’augmentation
de l’indice de Maslov en réflexion.Le coefficient de réflexion ne
dépend donc,
à la limitesemiclassique,
que de l’actiongénérahsée
lelong
destrajectoires 0393±
Dans cette expression
S+ (0, 0; 0, E)
et S-(0, 0; 0, E)
sont lesintégrales
dep(x)
lelong
decontours
qui partent
del’origine,
etpassent
autour despoints
derebroussement x+tp
etx-tp
respectivement,
avant de retourner àl’origine. Puisque l’impulsion change
designe
encon-tournant un
point
derebroussement, l’intégrale
lelong
du chemin del’origine jusqu’au point
Pour vérifier que le module carré de
l’expression (2.94)
coincide avec laprobabilité
de réflexion R dans la limitesemiclassique (2.90),
il faut calculerS± (0, 0; 0, E).
Ce calcul estfait dans l’Annexe
D,
où on obtient le résultatEn
reportant (2.96)
dansl’expression (2.94)
on trouve queCeci montre que la réflexion
quantique peut
bien secomprendre
en termes detrajectoires
réflechis
qui passent
dans ledemi-plan Im(x)
> 0 etqui
contournent lespoints
derebrousse-ment les
plus proches
de l’axe réel.On n’a pas mentionné
jusqu’ici
lespôles
dupotentiel.
Ils sont déterminés parl’équation
cosh(x
0
/03C3)
=0,
et sont doncLes
points
x0 sontindiqués
dans laFigure
2.19 par des croix. Ils sont despôles
d’ordre deux dupotentiel,
et donc despôles
d’ordre un del’impulsion classique p(x)
=~2m [E - V(x)]1/2.
Il s’avère que
l’équation
deSchrôdinger
n’a pas de solutionunique
autour d’un telpôle.
C’est-à-dire,
si onintègre l’équation
deSchrodinger
lelong
d’un contourfermé, qui
passe autourd’un de ces
pôles
et revient à sonpoint
dedépart,
on ne retrouve pas la valeur initiale de la fonction d’onde.Puisque
on s’intéresse àl’approximation semiclassique
de la fonction d’ondesur l’axe
réel,
il ne fautprendre
que destrajectoires
qui reste du même côté despôles
quel’axe réel lui-même. C’est pour cette raison que les
trajectoires 0393±
que nous avons considéréesne contournent aucun
pôle.
Dans le document
Ondes de matière dans des potentiels périodiques en temps : étude semi-classique
(Page 59-62)