3 Caustiques 61
3.4 La détermination des indices de Maslov
3.4.2 Obtention des indices à partir du diagramme espace phase
L’état
quantique
décrit par la fonction d’onde; x, E) i, tff(x (2.42)
peut êtrereprésenté
par un ensemble de
particules classiques d’énergie identique
Equi
passent laposition
initialex
i à des instants uniformément distribués. Dans un
potentiel harmonique
lediagramme
espacephase
de cet ensemble est uneellipse (voir
laFigure 3.16).
Pour calculer la fonction d’onde ilfaut considérer la distribution de l’ensemble en
position.
On voitqu’il
existe deuxcaustiques
enposition,
qui se trouvent auxpoints
de rebroussementclassiques
dusystème.
Si lescaustiques
sont bien
séparées
l’une del’autre,
onpeut
traiter chacuneindépendamment
comme unpli
Enexprimant
la fonction d’onde(xf, tf; xi, E)
comme uneintégrale
sur la distributiond’impulsion (pf, tf;
, ixE),
et enappliquant
la méthoded’approximation uniforme,
on trouveque de
chaque
coté du centre dupotentiel (xf, ; ft
xi,E)
ressemble à une fonctiond’Airy, qui
décroît
exponentiellement
au delà de lacaustique,
etqui
oscille dans larégion classiquement
permise.
Les
paramètres
u et u sont desdifféomorphismes
de xftels
quedu/dxf>
0 etdu/dxf>
0. Leparamètre
u vaut zéro aupoint
de rebroussement degauche,
et u s’annule au point de rebroussement de droite. Lesamplitudes
a et adépendent
de xf.Puisque
tout cequ’on
cherche ici sont les indices deMaslov,
il n’est pas nécessaire de calculer les valeurs de u,u,
03B1 et 03B1explicitement
en fonction de xf. Unexemple
d’un telFIG. 3.16 - Le
diagramme
espacephase
pour un oscillateurharmonique.
L’indice de Maslovaugmente
d’une unité en traversant lacaustique
degauche
de la branche de bas vers la branche de haut. En retournant à la branche debas,
enpassant
par lacaustique
dedroite,
l’indice
augmente
d’encore une unité.calcul est
présenté
dans l’articlequi
suit. Il est facile de démontrer que la solution se réduit àl’approximation
de laphase
stationnaire loin de lacaustique.
La démonstration faitappel
à
l’approximation asymptotique
de la fonctiond’Airy
En insérant cette
approximation
dansl’équation (3.87),
et endécomposant
la fonction sinusen deux fonctions
exponentielles
on trouve queLes deux termes
correspondent
aux deux branches de la solution BKW. En différentiantles exposants des deux termes par
rapport à xf
on voit que lepremier
termecorrespond
à la branche
d’impulsion positive,
et le deuxième terme à la branched’impulsion négative
La
phase
devantchaque
terme détermine l’indice de Maslov de la branche.Puisqu’on
neconnaît pas la
phase globale, qui
est contenue dans le facteur 03B1, on ne peut obtenir que la différence des indices. On trouve que l’indice de Maslovaugmente
d’unité en traversant lacaustique
degauche
de la branche de bas vers la branche de haut(voir
laFigure 3.16).
En
répétant
le calcul pour lacaustique
de droite on trouve que l’indice de Maslovaugmente
encore d’unité en retournant à la branche de bas. Dans un
cycle complet,
l’indiceaugmente
donc de
deux,
cequi correspond
à unechangement
dephase
de 03C0 On peut utiliser ce résultatpour obtenir la condition de
quantification
de l’oscillateurharmonique.
L’approximation
BKW(2.46) exprime
le propagateur(xf, tf; xi, E)
comme une sommede contributions venant de toutes les
trajectoires
racines.
Ce sont lestrajectoires qui
com-mencent à la
position
xi avec uneénergie E,
etqui
terminent à laposition xf à
l’instantt
f
. Chaque trajectoire
est caractérisé par letemps ti auquel
elle part de laposition
initiale Dans le cas de l’oscillateurharmonique
il y a un nombre infini detrajectoires
racines Eneffet,
laparticule peut
aller directement de laposition
initiale à laposition finale,
ou elle peutposition
finale. Les contributions destrajectoires
racines n’interfèrent defaçon
constructiveque si les
trajectoires
successivesk
etk+1
satisfont à la condition suivanteoù n est un nombre entier.
Puisque
l’indice de Maslovchange
de deux dans uncycle
la condition
(3.90) s’exprime
commeIl reste à calculer la différence
0394(E)
en fonction del’énergie
E. Dans unpotentiel
indépen-dant du temps
l’expression (2.47)
pour l’actiongénéralisée
se réduit àEn
changeant
l’instant initiale par unepériode
l’actiongénéralisée change
parEn insérant la valeur de
l’impulsion
en fonction de tempsoù 03B8 est une
phase qui dépend
de laposition initiale,
on trouve quel’intégrale (3 94)
estégale
à
Pour que
0394(E)
satisfasse à la condition(3.92)
il faut quel’énergie
E prenne une des valeurs données parl’équation (3.86).
On retrouve donc la condition dequantification
de l’oscillateurharmonique.
Conclusion
Dans ce
chapitre j’ai présenté
latechnique d’approximation uniforme,
etje
l’aiappliquée
aucalcul de certains
propagateurs. L’approximation
uniforme fournit une méthodesemiclassique
pour obtenir avec haute
précision
la valeur d’unpropagateur,
aussi bien dans levoisinage
d’unecaustique
que dans lesrégions
loins descaustiques. L’expression
obtenue pour lepropagateur
ne
dépend
que dequantités classiques,
à savoir l’action lelong
destrajectoires classiques,
et la densité de chemins. La forme exacte del’expression dépend
de latopologie
de lacaustique,
enparticulier
de sasymétrie. Pourtant,
pour descaustiques
detopologie simple,
elles’exprime
Conclusion
générale
Dans cette thèse
j’ai comparé plusieurs techniques
pouranalyser
uneproblème
dediffu-sion à une dimension
dépendent
dutemps,
mettant en exergue des méthodessemi-classiques.
Ces méthodes ne nécessite
qu’une
connaissance despropriétés
destrajectoires classiques
dusystème,
et donc fournit une meilleurcompréhension physique
que cequi
estpossible
par unesimulation
numérique quantique
exacte. Ellesprédisent
toutefois des effetspurement
quanti-ques tels que l’interférence et l’effet
tunnel,
ce dernier par moyen detrajectoires complexes
L’approximation
du réseau dephase
mince est une méthodesemi-classique perturbative,
où on
remplace
la vraitrajectoire
dusystème
par latrajectoire non-perturbée.
Pour unproblème
telqu’on
a considéréici,
cetteapproximation
réduit letemps
de calcul énormémentEn
effet,
pour obtenir latrajectoire
exactecorrespondant
à unpropagateur donné,
il fautre-faire le calcul
chaque
foisqu’on change
lesparamètres
dupropagateur. Or,
lestrajectoires
non-perturbées
s’obtiennent les uns des autres par unsimple déplacement.
La méthode du réseaude
phase
mince s’est avérée un outil trèspuissant
pour calculer des résultatspréliminaires,
puisque,
même hors de sonrégime
devalidité,
où elle n’est pas trèsprécise,
elle fournit engénéral
le bon ordre degrandeur.
Le calcul des
trajectoires classiques
exactes, associée à l’utilisation del’approximation
uniforme, permet
d’obtenir des résultats d’uneprécision
très haute. Cette méthode n’utilisepas de
techniques perturbatives.
et enprincipe
reste valable dans tous lesrégimes
Enpratique
elle devient
plus
difficile àappliquer lorsque
latopologie
dudiagramme espace-phase
est trèscompliquée. L’application
de méthodessemi-classiques
dans de tels cas vautpourtant
des recherchesplus détaillées,
parce que elles fournissent des informations concernant la transitionAnnexe A
Normalisation des états propres
d’énergie
On considère un
potentiel qui
est localiséspatialement
dans unerégion (2014a, a),
et ondéfinit des états propres
d’énergie positive |03C8p>
de lafaçon
suivante. Pour ppositif,
l’état|03C8p>
représente
uneparticule
venant de lagauche
avecl’énergie Ep
=p2/2m.
Hors dupotentiel
safonction d’onde s’écrit comme
où k ~
p/h. A+(k)
estl’amplitude
de l’ondeplane incidente,
et les coefficientsT+(k)
etR
+
(k)
sont lesamplitudes
de transmission et de réflexion respectivement. Les ondesincidente,
transmise et réflechie de la fonction d’onde03C8p>0(x)
sontindiquées
defaçon schématique
surla
Figure
A.1. Dans le cas p = 0 on choisit(0) +A
=T+(0)
etR+(0)
= 0.FIG. A.1-
Diagrammes schématiques
de lafonction
d’onde03C8p>0(x),
de sonconjugué complexe
03C8*
p>0
(x),
et de la sommeR*+(k)03C8p>0(x) - A+(k)03C8*p>0(x).
où k ~
|p|/h.
Le but de cette Annexe est de montrer que les états|03C8p>
sontorthogonaux,
etde les
normaliser, c’est-à-dire,
de calculer lesamplitudes
incidentesA+(k)
andA-(k).
Il faut alors évaluer le
produit
scalaire<03C8p1|03C8p2>
On divise le domaine
d’intégration
en troisparties,
et effectuel’intégral
sur chacune desparties séparemment
où
I1, I2
et3I
sont lespremière,
deuxième et troisièmeintégrales respectivement.
Considérons le cas où p1 et p2 ont le même
signe 2 ~ 1pp
0. On suppose que p1 et p2 sonttous les deux
positives
ou nulles. Le calcul estanalogue
si elles sontnégatives.
En posantk
1
~ p1/h
etk2 ~ /h, 2p
lesintégrales I1
etI3
s’écrivent commeEn utilisant le fait que
on obtient le résultat suivant pour
I1
L’intégrale I2
s’obtient de lafaçon
suivante. Les fonctions d’onde03C8p1(x)
et03C8p2(x)
satisfont àl’équation
deSchrödinger indépendante
dutemps,
avec les valeurs propresd’énergie E1
=p
2
1
/2m
etE2
=p22/2m respectivement
En définissant une fonction
on peut
exprimer l’équation
deSchrodinger (A.9)
commeNotons que
où 0394 est une constante
(indépendante
dex).
En utilisant cetterelation, l’intégrale I2
s’écritcomme
qui
se résout parparties
Puisque l’intégrand
du deuxième terme estnul,
on trouvequ’on peut
évaluer en utilisant lesexpressions (A.1).
A laposition
x = a la fonction d’ondeet sa dérivée valent
De même à la
position x =
-a elles valenton obtient
La somme des
intégrales I1 (A.7), I2 (A.19)
etI3 (A.8)
vautNotons que le deuxième terme est
nul, puisque k1 ~
0 et~ 2k
0. En effet sik1
=k2
= 0 lescoefficients de réflexion sont nuls
R+(0)
=0,
et sinon la fonction delta03B4(k2
+k1)
s’annule. On calcule lepremier
terme en utilisant la condition de conservation du fluxet en substituant
03B4(k2 - ) = h03B4(p1k 2 - p1),
ce qui donnePour que les états propres
|03C8p>
du hamiltonien satisfassent à la même condition d’orthonor-malité que les états propresd’impulsion |p>,
il faut les normaliser defaçon
queConsidérons maintenant le cas où p1 et p2 ont des
signes
différents. On choisitp1 ~
0 et p2 < 0. En calculant le
produit
scalaire> p2<0|03C8p1~0<03C8
de la même manièrequ’au
dessus. ontrouve
où
k1
=|p1|/h
etk2
=|p2|/h
comme avant. Onpeut
montrer que le coefficient de la fonction delta vaut zéro pourk1
=. 2k
D’abord onexprime
les coefficientsA_(k), T_(k)
andR_(k)
entermes des coefficients
A+(k), T+(k)
and(k). +R Puisque 03C8p(x)
est une solution del’équation
de
Schrodinger indépendante
dutemps,
sonconjugué complexe 03C8*p(x)
l’estégalement
La combinaison linéaire des deuxsolutions, représentée
sur laFigure
A.1où on a utilisé
l’équation
de conservation de flux(A.21)
pour calculerf(x)
dans larégion
x < -a. Notons que
f(x)
ne contient pas d’ondepropageant
vers la droite dans cetterégion.
Elle est donc
proportionelle
à la solution03C8p<0(x)
où 03B1 est la constante de
proportionnalité.
En insérant ces relations dansl’équation (A.24),
on
peut
évaluer le coefficient de la fonction delta pourk2
=k1
ce
qui
donneEn utilisant les résultats
(A.22)
et(A.29)
et le choix de|A+(k)|2 correspondant
à(A 23)
Annexe B
Calcul d’un déterminant par
récurrence
Dans cette annexe
je
vais démontrer un formule de récurrence pour trouver le déterminant d’une matrice de la formeSoit
j
= detj.
On veut alors obtenir la relation entre les déterminantsj
pour des valeursdifférentes
de j.
Montrons d’abord
qu’on peut
transformerj
en une matricebidiagonale Aj
de dimensionj j sans
changer
son déterminant. C’est-à-direj
= detAj
où la matriceAj
estLes relations entre les éléments ai et zi sont les suivantes
Ce résultat s’obtient de la manière suivante. Soit E une matrice élémentaire de dimension
un,
qui
vaut k.Supposons
que l’élément non-nul k se trouve dans la miemeligne
et lanième colonne, m ~
n.L’effet de
multiplier
une matrice arbitraire M dedimension j
x j par E de lagauche, EM,
est
d’ajouter
lanième ligne
deM, multiplié
par le facteurk,
à la miemeligne.
Le déterminantn’est pas
changé det(EM)
= det E det M =det M, puisque
det E = 1Considérons maintenant une matrice de la forme
où
1 ~
i < j. Si onajoute
laiième ligne
de, Aj(i) multipliée
par le facteur k =1/ai,
à la(i
+1)ième ligne,
on obtient la matriceoù ai+1 = zi+1 -
. i1/a
Cette relation estidentique
à la relation de récurrence(B.3). Puisque
cette transformation est
équivalente
à lamultiplication
deA(i)j
par une matriceélémentaire,
le déterminant n’est paschangé,
c’est-à-diredet A(i+1)j
=det A(i)j.
Par induction on retrouvela matrice
A(j)j ~ Aj
àpartir
dej,
sanschanger
le déterminantdet Aj
=det j
=j
.
On
peut
maintenant obtenir les relations de récurrence pour les déterminantsj.
On vientde démontrer que
j
a le même déterminantj
que la matriceAj. Puisque Aj
esttriangulaire
A
partir
de cette relation on obtientoù la dernière
expression
est obtenue en utilisant(B.3).
Finalement on substitue aj-1 =j-1
/
Annexe C
Amplitudes semi-classiques
Le but de cette Annexe est d’obtenir les
expressions (2.73)
et(2.76)
pour lesamplitudes
semi-classiques
despropagateurs dépendant
del’impulsion.
C.1 Le propagateur K(xf, tf; pi, ti)
Dans cette section
je
vais calculerl’amplitude semi-classique A(xf), , t) iti; pf
àpartir
del’expression (2.72).
On résoutl’intégrale
par la méthode utilisée dans la Section 2.4.1.Soit ~
le vecteur de
longueur
N + 1L’argument
del’exponentielle
del’équation (2.72)
s’écrit alors commei~T03C3~
où 03C3 est lamatrice de dimension
(N
+1)
x(N + 1)
L’amplitude dépend
du déterminant de 03C3On obtient le déterminant de la même
façon qu’avant.
On définie une nouvelle matrice 03C3’ enmultipliant 03C3
par le facteur2h~/m
comme dansl’équation (2.57).
Le déterminant det 03C3’ est la valeurqui apparaît
entre les crochets del’équation (C.3).
Entronquant
03C3’ on obtient lesmatrices de dimension
(j
+1)
x(j
+1)
Soit
fN(tj, ti)
la fonctionoù
Dj
=det 03C3’
j (Notons
l’absence de la constant deproportionnalité
~ qui étaitprésente
dansl’équation (2.61).)
Substituant dansl’expression (C.3)
on obtientoù
f(tf, ti)
~limN~~, f(tNfti)
Le formule de récurrence pourDj
est le même que(2 64)
pour
Dj (sauf
que maintenant il est valable pour tousles j dans
la gamme j =1,..., N - 1)
A la limite N ~ ~ on trouve une
équation
différentielle pourf(t, ti)
qui estidentique
à(2.66)
pourf(t, t2) (en remplaçant
0393 par0393).
Seules les conditions initiales sont différentesLa fonction
f(t, t2)
qui satisfait àl’équation
différentielle(2.66)
et aux conditions initiales(C.7)
estoù
03B4x0393(t)
est maintenant la variation de latrajectoire
racinex0393(t)
dû à une variation de laposition
initialex0393i
de latrajectoire.
Pour t= tf
on trouveSubstituant dans
l’équation (2.63)
pourl’amplitude semi-classique
on obtient
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Ondes de matière dans des potentiels périodiques en temps : étude semi-classique
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