2 La méthode d’intégrale de chemin 5
2.4 Calcul de l’amplitude semi-classique
2.4.1 Démonstration directe à partir de l’intégrale de chemin
Dans cette section
je
vais calculerdirectement,
àpartir
del’intégrale
dechemin,
lesam-plitudes semi-classiques
pour lepropagateur
deFeynman
et lespropagateurs dépendant
detrajectoire
racine. La variation aupremier
ordre est nulle par définition de latrajectoire
racine. Le calcul deamplitude semi-classique
revient alors à évaluer la variation au second ordre de l’actiongénéralisée.
Les résultats sont en accord avec lesexpressions (2.77), (2.78)
et(2.79)
etjustifient
doncl’interprétation
desamplitudes
comme la racine carrée d’une densitéclassique
Ils fournissent aussi les constantes de
proportionnalité présentes
dans cesexpressions.
Lepropagateur
standardLa formulation
d’intégrale
de cheminexprime
lepropagateur
deFeynman ,fK(xtf;
xi,ti)
comme une
intégrale
d’uneexponentielle
de de l’action(2.16)
sur toutes lestrajectoires
quirelient le
point
initial(xi, ti)
aupoint
final, t(xff). L’intégrale
est dominée par lestrajectoires
dont l’action est stationnaire. Ce sont les
trajectoires
racines 0393.L’amplitude semi-classique
associée à
chaque trajectoire
racine est déterminée par la variation au deuxième ordre del’action
classique
autour de latrajectoire (2.29).
Dans cetteexpression x0393(t)
dénote lapa-ramétrisation de la
trajectoire
0393 et03B4x(t)
est uneperturbation quelconque
satisfaisant auxconditions limites
03B4x(ti)
=03B4x(tf)
= 0. La variation de l’action au second ordre estPour un
lagrangien
de la formel’expression (2.48)
estégale
àEn
reportant
cetteexpression
dansl’intégrale (2.29)
on obtientPuisque l’intégrale
de chemins(2.51)
estgaussienne,
onpeut
la calculer exactement. Je vais suivre la méthode utilisée par Schulman[25].
On échantillonne laperturbation 03B4x(t)
à N + 2instants
régulièrement séparés
entre ti ettf(voir
laFigure 2.10).
Dénotons ces instants par{t
0
, t
1
,..., tN, tN+1},
où 0t =ti
est l’instant initial ettN+1
=t
fest
l’instant final. Soit~
= (tf - ti)/(N
+1)
la durée dechaque
intervalle detemps.
Lejième
instant est donct
j
= ti + j~. Soit,..., 1, y0{yyN,yN+1}
les valeurs échantillonnées de laperturbation 03B4x(t),
y j
=
03B4x(tj).
Notons que y0 =y
N+1 = 0 à cause des conditions limites de
03B4x(t).
Les autres valeurs y1,..., yN sont données par laperturbation 03B4x(t).
L’intégrale (2.51)
sur toutes lesperturbations
peut s’écrire comme la limite N ~ ~ d’uneFIG. 2.10 - Une
perturbation 03B4x(t)
dutype
considéré dans le calcul del’amplitude
semi-classzque 0393(xf,Atf;
xi,). ti
Elle est échantzllonnée à N + 2 instantsrégulzèrement séparés,
oùto ~ ti est l’instant initial et
tN+1 ~ ft
est l’instantfinal.
Notons que03B4x(ti)
=03B4x(t
f
)
= 0 où le coefficient cj est défini parPour effectuer
l’intégrale (2.52)
il convient del’exprimer
en termes de matrices. Définissantun vecteur de dimension N
on peut écrire
l’argument
del’exponentielle
de(2.52)
comme03C3~ i~T
où 03C3 est la matrice N x NL’intégrale (2.52)
se résout maintenant en termes du déterminant de 03C3Le déterminant s’obtient par récurrence. Il convient d’introduire une nouvelle matrice 03C3’ en
Le déterminant de la nouvelle matrice
est la valeur qui
apparaît
dans les crochets del’équation (2.56).
Pourappliquer
la méthode de récurrence il faut définir des matricestronquées 03C3’j
detaille j
j en prenant lespremiers
j rangs et colonnes de 03C3’
Soit
Dj
son déterminantEn définissant une fonction
et sa limite
à tf quand
N ~ ~on peut
exprimer l’amplitude semi-classique
commeIl reste à trouver la fonction
). i,tf(tNf
Les déterminantsDj
satisfont àl’équation
(voir
l’AnnexeB), qui
s’écrit sous la formeA la limite N ~ ~ on obtient une
équation
différentielle pourf(t, ti)
où on a substitué la valeur
(2.53)
pour cj. Notons que(2.66)
est une linéarisation deséquations
de mouvement. Pour
comprendre
lasignification physique
def(t, ti)
il faut considérer aussiles conditions initiales
f(t
= ti,ti)
etf(t t~
= ti,ti).
Elles s’obtiennent directement àpartir
On
peut interpréter f(t,ti)
commeoù
03B4x0393(t)
est la variation de latrajectoire
racine(t) 0393x
due à unchangement
de sonimpulsion
initiale
0393i. p
A la limitei ~ 039303B4p
0 la différentiellex0393(t)
satisfait auxéquations
de mouvementlinéarisées
(2.66).
Il est clair quel’expression (2.68)
satisfait aussi aux conditions initiales(2.67).
Pour t =tf
on obtient la dérivéepartielle
En substituant cette dérivée dans
l’équation (2.63)
on arrive àl’expression
suivante pourl’amplitude semi-classique
où 03BD0393 est un nombre entier qui
s’appelle
l’indice de Maslov. Ilindique
la branche de la racinecarrée
qu’il
fautprendre
dansl’équation (2.63),
etqui
n’est pas déterminée par la méthodeci-dessus
4
Le
propagateur K(xf,tf,pi,ti)
Je vais maintenant
appliquer
la même méthode àl’amplitude semi-classique
dupropa-gateur i). K(x,ti;pf,tf
Cepropagateur s’exprime
comme uneintégrale
de chemins(2.32).
L’intégrale
est dominée par lestrajectoires
dont l’actiongénéralisée
est stationnaire Ce sontles
trajectoires
racines0393. L’amplitude semi-classique ;p) i,ti,tff(x0393A
associée àchaque
tra-jectoire racine est déterminée par la variation au second ordre03B42S
de l’actiongénéralisée
autour de la
trajectoire. 03B42S
se calcule par rapport auxperturbations 03B4x(t) qui
satisfont àla condition limite
03B4x(tf)
= 0. Cette condition vient du fait que laperturbation
ne doit paschanger
laposition
finale xfde
latrajectoire.
En revanche laposition
initiale xi n’est pasfixée,
puisquel’intégrale
de chemins(2.32) comporte
une somme sur toutes lespositions
initiales xi(voir
laFigure 2.11). L’amplitude semi-classique s’exprime
donc commeL’expression (2.71)
estidentique
à(2.51) excepté l’intégrale
sur lespositions
initiales03B4xi,
et le fait que
~2xV
est calculé sur latrajectoire r.
Laposition
initiale03B4xi
est cequ’on
aappelé
y
0 =
03B4x(ti).
La forme discrète del’intégrale (2.71)
est donc la même que(2.52),
sauf que les 4 Notons que bien que l’équation(2 63)
n’a que deux branches, l’amplitude (2 70) semble pouvoir adopterquatre valeurs distinctes En fait le signe de la dérivée partielle dans (2 70) restreint le choix de valeurs possibles de l’indice de Maslov Si la dérivée partielle est positive, l’indice de Maslov est pair Si elle est négative, l’indice
FIG. 2.11 - Une
perturbation 03B4x(t)
dutype
considéré dans le calcul del’amplitude
semi-classique ;p). A,tiif,tf(x0393
Elle est échantillonnée à N + 2 instantsrégulièrement séparés,
oùt
0 ~ ti est l’instant initial et
tN+1
~est ft
l’instantfinal.
Notons quex(tf)
= 0 mais que laposition
initialex(ti)
n’est pas déterminé par les conditions limites.coefficients cj
(2.53)
sont évalués sur0393,
etqu’il
faut maintenantintégrer
sur y0On peut effectuer
l’intégrale
par la même méthodequ’avant (voir
l’AnnexeC.1). L’expression
obtenue pour
l’amplitude semiclassique
estoù
03BD0393
est l’indice de Maslov.Le
propagateur K(xf,tf;pi,ti)
L’extension de la méthode
présenté
ci-dessus aupropagateur K(pf,tf;pi,ti) (2.38)
estsimple. L’amplitude semi-classique
est déterminée par la variation au second ordre03B42S de
l’action
généralisée S0393(pf,, ti;pfti). Puisque l’intégrale
de chemins(2.38)
inclut une somme sur toutes lespositions
initiales etfinales,
il faut considérer toutes lesperturbations 03B4x(t)
possibles,
sans conditions limites ni à ti nià tf(voir
laFigure 2.12). L’amplitude
FIG. 2.12 - Une
perturbation 03B4x(t)
dutype
considéré dans le calcul del’amplitude
semi-classique ;p) iAi,tf,tf(p0393
Elle est échantillonnée à N + 2 instantsrégulièrement séparés,
oùto ~ ti est l’instant initial et
tN+1
~tf
est l’instantfinal.
Notons que ni03B4x(ti)
ni03B4x(tf)
ne sont déterminés par les conditions limitesLa forme discrète de
l’intégrale (2.74)
estidentique
à(2.72),
saufqu’il
faut évaluer cj(2 53)
sur la
trajectoire 0393,
etqu’il
fautintégrer
sur toutes les positions finales yN+1 =03B4x(tf)
=03B4x
f
La méthode suivie est la même
qu’avant (voir
l’AnnexeC.2),
etl’expression
obtenue pourl’amplitude
estanalogue
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Ondes de matière dans des potentiels périodiques en temps : étude semi-classique
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