3 Caustiques 61
3.3 Approximations uniformes
3.3.1 Le choix d’une forme générique pour la phase
Pour
présenter
la méthoded’approximation uniforme, je
vaisprendre
commeexemple
lecalcul du
propagateur i), ,ti;pf,tfK(p
considéré dans la Section 3.1. Lepoint
dedépart
estl’intégrale (3.4).
Poursimplifier
la notationje
vais pourtant supposer quel’approximation
BKW du
propagateur i) ,ti;pf,tfK(x
ne contientqu’une
branche0393.
Laphase
del’intégrand
(3.4)
s’écrit donc sansindice, comme ~(xf;pf).
Selon la théorie descatastrophes,
il y aura engénéral
des valeursp(c)fde l’impulsion
pourlesquelles
lafonction ~(xf;pf)
contient despoints critiques dégénérés. L’approximation quadratique (3.7)
pour laphase
n’est pas valable à de telspoints,
et la méthode de laphase
stationnaire échoue.Puisqu’il n’y
aqu’un
seul variable decontrôle pf,
la théorie descatastrophes
montre que lespoints critiques dégénérés
ne
peuvent
être engénéral
que dutype pli. Localement,
autour de lacaustique,
la forme de laphase
est doncéquivalente
à(3.19).
Si on substitue les variables(xf;pf)
pour les variables(x;t)
dans la formegénérique (3.19),
en utilisant des relations linéaires valable localementautour de la
caustique,
on obtientIl faut insister sur le fait que
l’approximation (3.37)
n’est valable que localement à lacaustique.
Or la méthode de la
phase
stationnaire échoue non seulement auxcaustiques
pf=p(c)f mêmes,
mais aussi dans leur
voisinage
pf ~p(c)f.
Ceconcept
d’un’voisinage’
n’entre pas dans la théoriemathématique
descatastrophes,
bienqu’il
soit trèsimportant
dans sonapplication
aux
systèmes physiques
Dansl’application
auxintégrales oscillatoires,
que nous considéronsici,
levoisinage
est déterminéquantitativement
par larapidité
d’oscillation de laphase,
etdonc,
dans notre cas, par leparamètre
. On va maintenant calculer l’étendue de cevoisinage
pour lepli (3.37).
Supposons qu’on
choisisse une valeur de pfproche
de lacaustique p(c)f.
Pour cette valeurde pf on
développe
laphase
autour d’unpoint critique xf
Il est valable de tronquer le
développement
à second ordre si le termecubique
est très petitedevant le terme
quadratique,
c’est-à-dire siCette condition
peut s’exprimer
defaçon plus
concis commeSi on utilise
l’approximation (3.37)
pour calculer les dérivées~2xf~ ) f;pf0393(x
et~3xf~(xf, pf)
près
de lacaustique pf ~ p(c)f
on trouve que la condition(3.40)
est satisfaite pour les pftels
que
Le
’voisinage’
de lacaustique
est défini comme l’ensemble des pfqui
ne satisfont pas àl’inégalité (3.41).
Pour ces valeurs de pf la méthode de laphase
stationnaire n’est pas valableUne
façon équivalente d’exprimer
lerégime
de validité de la méthode de laphase
sta-tionnaire est en termes de la
proximité
entre lespoints
de laphase
stationnaire. Pour lepli
il existe deux
points
de laphase
stationnaire dont laséparation
est d’autantplus petite
quecondition
(3.40)
etl’approximation (3.37)
on trouve que la méthode de laphase
stationnaireest valable seulement si les deux
points
dephase stationnaire,
quej’appelerai fx1
etx2f,
sontsuffisamment loins l’un de l’autre que
Supposons
que pf se trouve dans levoisinage
de lacaustique,
au sens del’inégalité (3.41)
Il n’est pas alors valable d’utiliser une
approximation quadratique
pour laphase
commel’on a fait dans la méthode de la
phase
stationnaire. Or il sepeut
que ledéveloppement
(3.37)
ne soit pas une bonneapproximation
à laphase
nonplus, puisque
elle n’est valableque localement à la
caustique.
Cequ’il
faut est uneapproximation semi-classique
qui soitlocalement valable
partout
dans levoisinage
de lacaustique
et se réduise àl’approximation
de
phase
stationnaire loin de lacaustique.
Ceci est la motivation pour ledéveloppement
desapproximations
uniformes.L’idée de base est d’utiliser une forme pour la
phase qui
soit localement correcte a tous lespoints
dephase
stationnaire simultanément. Elles résolvent ainsi ladifficulté,
àl’origine
de l’échec de la méthode de la
phase stationnaire,
que certainspoints critiques
peuvent setrouver trop
proche
l’un de l’autre pour être traitésindépendamment.
Les formesgénériques
pour la
phase
sont fournies par la théorie descatastrophes.
La
proximité
entre despoints critiques joue
un rôleimportant
dans le choix de la formegénérique qu’on prend
pour laphase.
Bien que la famille de fonctions~(xf;pf)
n’aitqu’une
variable de contrôle pf, et donc ne contienne en
général
que des fonctions dont les pointscritiques
sontdégénérés
d’ordre auplus deux,
il se peut que ces mêmes fonctionspossèdent
trois
points critiques
ouplus qui
sont tous’proches’
les uns des autres dans le sens del’inégalité
(3.42).
En ce cas la formegénérique adaptée
auraplus qu’une
variable de contrôle.En
général
le choix de la formegénérique
est déterminé par ladisposition
des pointscritiques,
et non par le nombre de variables de contrôleoriginales (dans
notre cas uneseule,
à savoir
pf).
Si parexemple
tous lespoints critiques
sontisolés,
onpeut
utiliser commeapproximation
la fonction de Morse àchaque point critique séparément (ce qui
revient àappliquer
la méthode de laphase stationnaire).
Si en revanche unpoint critique
estproche
d’un autre
point critique (mais
isolé de tous lesautres),
on peut utiliser lepli
pour cettepaire.
De
même,
si unpoint critique
estproche
simultanément à deux autrespoints critiques (mais
isolé de tous les
autres)
il faut utiliser la fronce.Pour des
systèmes qui présentent
unesymétrie particulière
laprocédure
est la mêmeConsidérons par
exemple
unsystème périodique.
Si tous lespoints critiques
sontisolés,
onpeut
utiliser la fonction de Morse. Sichaque point critique
estproche
à un autre auplus,
il suffit d’utiliser lepli.
Si en revanche tous lespoints critiques
sontproches
les uns des autresil faut utiliser une des formes
génériques périodiques (3.36).
Le choixdépend
du nombre depoints critiques
parpériode (comptés
avec leurmultiplicité).
Ce nombre estpair.
S’il y a deuxpoints critiques
parpériode,
il faut utiliser la famillef03BE(x; t)
à une variable de contrôle. S’ily a
quatre points critiques
parpériode
il faut utiliser la famille à trois variables decontrôle,
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Ondes de matière dans des potentiels périodiques en temps : étude semi-classique
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