3 Caustiques 61
3.3 Approximations uniformes
3.3.2 Obtention heuristique des approximations uniformes
On va
présenter
maintenant la méthoded’approximation
uniforme. Le but n’est pas deju-stifier tous les
étapes
defaçon rigoureuse, puisque
certaines entre ellesdépendent
de théorèmesassez subtils de la théorie des
catastrophes.
On vaplutôt
insister sur le démarchepratique
etla
signification physique
du résultat.Chaque étape
sera illustré par lesexemples
de la fonction deMorse,
dupli
et de la famillepériodique
à unharmonique.
Détermination de la
phase
La
première étape
dans la recherche d’uneapproximation
uniforme del’intégrale (3.4)
est de choisir une formegénérique
pour laphase ~(xf;pf)
Le choix de
f (u; t)
est déterminé par la structure despoints critiques
et lasymétrie
dusystème,
comme on l’a décrit dans la Section 3.3.1. t est un vecteur de dimension r, qui dénote les variables de contrôle. Ce sont des fonctions(en général non-linéaires)
de pf. 03B3est une constante,
qui
n’a pasd’importance
aupoint
de vuemathématique, puisque
elle nechange
pas lespoints critiques,
mais contient souvent unesignification physique.
Dans lesexemples qui
suit on varemplacer f(u;t)
par la fonction de Morse(3.18),
lepli (3.19)
etla fonction
périodique
à unharmonique (3.36).
Ondistinguera
lesquantités
associées auxdifférents
exemples
par les indicesI,
II et ~respectivement.
Ces indices fait référence aunombre de points critiques traités simultanément
Si un point critique est isolé de tous les autres, on peut utiliser la fonction de Morse
(3 18)
qui ne contient aucune variable de contrôle t. Ceci revient à utiliser la méthode de la
phase
stationnaire En différentiant la fonction de droite par rapport à u, on vérifiequ’elle possède
en effet un seul point
critique
uc,qui
se trouve enSi deux
points critiques
sontproches,
mais isolés de tous les autres on peut utiliser lepli
(3.19)
qui
contient une variable de contrôle tII. La fonction de droitepossède
maintenant deux pointscritiques 9 u±c , qui
se trouvent enSi la famille
~(xf;pf)
estpériodique
et contient auplus
deuxpoints critiques
parpériode,
ilfaut utiliser la famille
périodique
à unharmonique (3.36)
qui
contient une variable de contrôle t~. La fonction de droitepossède
en effet deuxpoints
critiques
parpériode u(n)±c
où la valeur de la fonction arccos est
prise
dans la gamme[0,03C0[.
Il est
important
de noter quel’équation (3.43)
fournit ladéfinition
de la variable u, et n’est pas uneapproximation locale,
comme c’était le cas pour ledéveloppement (3.37).
Larelation entre xf et u n’est pas donc en
général
linéaire.Cependant, puisque ~(xf;pf)
etf(u; t)
ont la même structure depoints critiques,
u se déduitde xf
par undifféomorphisme
y
t
(qui dépend
det)
On utilise le fait que
~(xf;pf)
etf(u;t)
ont la même structure de pointscritiques
pourtrouver les
paramètres
libres{t, 03B3}.
En différentiantl’équation (3 43)
par rapportà xf
onobtient
Puisque
us’exprime
en termes de par fx undifféomorphisme,
nidu/dxf
ni son inverse nepeuvent
s’annuler. Les pointscritiques f de ~(x0393xf;pf) correspondent
donc auxpoints
critiques
def(u; t). Puisque
le nombre depoints critiques indépendants
estimportant
pourobtenir
l’approximation uniforme,
on va les numéroter~ (i)
où i ~{0,... , r}.
On utilisera la notationx(i)c
pour lespoints critiques indépendants de 0393fx
lafonction ~(xf;pf),
et la notationu(i)c
pour lespoints critiques indépendants
def(u; t).
Lacorrespondance
entreu(i)c
et
x(i)c s’exprime
commeoù
En substituant les relations
(3.52)
dans(3.43)
on trouveLes
équations (3.54)
fournissent des conditions aveclesquelles
onpeut
trouver lesparamètres
libres
{t, 03B3}.
Notons que le nombre depoints critiques indépendants (et
donc le nombred’équations)
vaut r +1, qui
estégal
au nombre total deparamètres
libres{t, 03B3}.
Le fait quece
système d’équations
est inversible estgaranti
par les résultats de la théorie descatastrophes
concernant la forme des famillesgénériques f (u, t).
Dans le cas trivial
(3.44)
où on traite un seulepoint critique isolé,
on trouve que leparamètre
libre 03B3I estégale
à laphase
aupoint critique
Dans le cas
(3.46)
où on traite deuxpoints critiques simultanément,
on trouve que les pa-ramètres libres 03B3II et tII sont déterminésrespectivement
par la somme et la différence desphases
aux deuxpoints critiques x±c
Dans le cas
périodique (3.48)
il existe un infinitude depoints critiques x(n)±c,
mais seulement deux d’entre eux sontindépendants.
Leparamètre 03BE peut
être obtenu encomparant
lesphases
à deux
points critiques séparés
d’unepériode,
parexemple x(1)-c
etx(0)-c.
Puisque
lespoints x(1)-c
etc(0)-x
ne sont pasindépendants
il faut que leur différence dephase
soitégal
à unmultiple
de 203C0. Lesparamètres
libres 03B3~ et t~ peuvent être déterminésrespectivement
par la somme et la différence desphases
aux deuxpoints
critiques se trouvant dans la mêmepériode,
parexemple x(0)+c
etx(0)-c
La dernière
équation
est uneexpression implicite
pour t~.Notons que les
phases
auxpoints critiques ~ (x(i)c;
pf) sont proportionnelles
aux actionsgénéralisées S0393(pf)
lelong
destrajectoires
racines0393 (voir l’équation (3.10)).
Lesparamètres
libres
{t, 03B3}
sont donc entièrement déterminés par ces actionsgénéralisées.
La même
procédure
que celleprésentée
ci-dessus doit être suivie pour pour trouver lesparamètres
libres{t, 03B3} correspondant
auxpoints critiques complexes.
Etant donnés les valeurs des
paramètres
libres{t, 03B3},
onpeut simplifier l’intégrale (3.4)
en
changeant
la variabled’intégration
de xfà
uJusqu’ici
aucuneapproximation
n’a été faite. Détermination del’amplitude
On introduit maintenant une
approximation
en choisissant une formeapprochée
poursymétrie
que laphase ~(xf;pf)
on utilisel’approximation
où on pose
les coefficients
{a0,..., ar}
étant desparamètres
à déterminer.J’expliquerai
dans la suitepourquoi
la forme(3.61)
est convenable.Puisque l’intégrale (3.59)
est dominée par lespoints critiques u(i)c
de laphase f (u, t),
il estimportant
quel’approximation (3.60)
soit bonne en cespoints.
On choisit donc lesparamètres
{a
0
,... , ar}
pour que la fonctiona(u, t)
soit exactementégale
àl’amplitude A dxf/du
auxpoints critiques
On a introduit ici la notation
A(i)
pour les valeurs deA dxf/du
aux pointscritiques
Leséquations (3.62)
fournissent r+1 conditions aveclesquelles
on peut obtenir les r+1paramètres
libres
{a0,. .,ar}
Considérons le cas trivial
(3 44)
où on traite un seule point critique isoléL’approximation
(3 61)
se réduit alors à une constanteEn utilisant
l’équation (3.62)
on trouve que cette constante estégale
àl’amplitude
A au point critique.Dans le cas
(3.46)
où on traite deuxpoints critiques simultanément, l’approximation (3.61)
se réduit à une fonction linéaire
En insérant les
positions
despoints critiques (3.47)
dansl’équation (3.62),
on trouve que a0,II estproportionnelle
à la somme desamplitudes A±II
calculées aux deuxpoints critiques x±c,
et a1,II est
proportionnelle
à leur différenceLa valeur de a1,II s’obtient en utilisant
l’expression (3.56)
pour tII.Dans le cas d’un
système périodique l’amplitude A dxf/du
doit elle aussi êtrepériodique
En dénotant les
amplitudes
auxpoints critiques x(n)±c
parA±~ (indépendants
den)
on trouveque les coefficients de
(3.67)
sontoù t~ est déterminé
implicitement
àpartir
del’équation (3.58).
Ayant présenté
ces troisexemples simples
on va retourner à laquestion
poser ci-dessusconcernant le choix de la forme
(3.61)
del’amplitude approchée a(u, t).
La fonction(3.61)
est en fait le terme d’ordre le
plus
bas d’undéveloppement
qui couvrel’espace
de toutes les fonctions satisfaisant à lasymétrie
dusystème
La démonstration
[30]
que(3.69)
constitue un ensemblecomplet
de fonctions nécessite des résultats assez subtils de la théorie descatastrophes.
Pour cette raisonje
ne vais pas laprésenter
ici.Cependant, ayant accepté
que(3.69)
contient toutes les fonctionspossibles
A dx
f/du,
la raison pour le choix(3.61)
est évidente. Eneffet,
chacun des termes de(3 69)
pour k > 0 s’annule à tous les
points critiques u(i)c , puisque ~uf (n(i)c, t)
= 0 Or seuls lespoints critiques (et
leursvoisinages immédiats)
contribuent defaçon significative
àl’intégrale
(3.59)
Les termes de(3.69)
d’ordreplus
haut que zéro peuvent donc êtrenégligés
On peut faire une observation
qui justifie
d’une autre manière le choix(3.61) Puisque
seules les valeurs de
A dxf/du
auxpoints critiques
contribuent au résultat defaçon
signifi-cative,
tout cequ’on
exige du choix dea(u, t)
estqu’il reproduit
bien ces valeurs aux pointscritiques.
Pour satisfaire à cetteexigence
il faut que lesystème d’équations (3.62)
soitinversi-ble, c’est-à-dire,
il fautqu’on puisse
déterminer tous les coefficients{a0,... , ar} à
partir des valeursA(i).
Or il est clair que cette condition estremplie
dans les troisexemples
considérésci-dessus,
à savoir lepoint
deMorse,
lepli
et la famillepériodique. Qu’elle
est satisfaite aussidans le cas
général
est démontré dans l’Annexe G.Considérons maintenant la
signification physique
deA(i).
Il faut d’abord calculer la dérivéedx
f
/du
auxpoints critiques.
On l’obtient en différentiantl’équation (3.43)
deux fois parrapport à xf.
Le deuxième terme s’annule au
point critique c(i)u puisque ~uf (u(i)c,t)
=En utilisant la relation
(voir l’équation (3.12) )
et le fait que~2xf~ (x(2)c;pf) = ~2xf S (x0393f, tf;pi,ti),
on trouve queA
(i)
est doncproportionnelle
àl’amplitude semi-classique A0393 (pf, i, t;pfti).
La constante deproportionnalité [-i~2uf
1/2,t)]c(i)(u
est un nombrequ’on
calcule facilement en sachant les valeurs des variables de contrôle t. On conclut que lesparamètres {a0,... , ar}
s’obtiennent àpartir
del’équation (3.62)
en n’utilisant que desquantités classiques
dusystème,
à savoirles actions
généralisées S0393(pf,tf;pi,ti)
et lesamplitudes semi-classiques A0393(pf,tf,pi,ti)
Calcul de
l’intégrale
En substituant
l’approximation (3.60) l’intégrale (3.59)
devientLes valeurs des variables de contrôle t
(3.54)
et des coefficients{a0,...,ar} (3.62)
sontdéterminées par l’action
généralisée S(pf)
etl’amplitude semi-classique ;p) i,ti0393f,tf(pA
lelong
dechaque trajectoire
racine deK(pf, , i;pftti).
Etant données ces valeurs on peut calculerl’intégrale (3.74) explicitement.
Si on définitl’intégrale (3.74)
devientI(t)
sont desintégrales simples qui s’expriment
souvent en termes de fonctions standard. Parexemple,
pour lepli
laphase générique
estf(u; t) = u3
+ tu, etl’intégrale I(t)
estproportionnelle
à la fonctiond’Airy
Ai(t/33).
Si les deuxtrajectoires
racines sontréelles,
l’argument
t estnégatif,
et la fonction Ai(t/33
est oscillatoire. Dans le cas où les deuxtra-jectoires
sont desconjugués complexes,
t estpositif,
et la fonction Ai(t/33)
estexponentiel-lement décroissante. Pour la
fronce,
laphase générique
estf(u; t1, t2)
= ±(u4+ t2u2+ t1u),
et
l’intégrale I(t1, t2)
estproportionnelle
à la fonction dePearcey [31].
Pour lacatastrophe
périodique
laplus simple
laphase générique
est(u; 03BEft)
= t sin u +03BEu. L’intégrale I(t)
estalors
proportionnelle
à la fonction de BesselJn(-t) quand 03BE
= n est un nombre entier.Quand
03BE
n’est pas un nombre entierl’intégrale I(t)
est nulle. La théorie descatastrophes
nonseule-ment classe les différents types de
caustiques,
mais détermine aussi les fonctions de diffraction
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Ondes de matière dans des potentiels périodiques en temps : étude semi-classique
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