3 Caustiques 61
3.2 Concepts de la théorie des catastrophes
Dans cette
partie
on va aborder leproblème
de caractériser la variationprès
d’unpoint
cri-tique d’une fonction
f
soumise à uneperturbation
p. Engénéral2f
et p sont des fonctions d’un nombre arbitraire n de variablesinternes,
et lespoints critiques
sont définis comme lespoints
où le
gradient
def
s’annule. En dehors de sonapplication
auxapproximations d’intégrales
oscillatoires,
considéréeici,
ceproblème apparaît
dans de nombreux autresdomaines,
tels que les transitions dephase,
et les études de stabilité. La caractérisation des variations se décriten termes de familles de fonctions
qui
sonttopologiquement
stables vis-à-vis desperturbati-ons. On
parle
de ’stabilitétopologique’ lorsque chaque
fonction de lafamille,
ayant subit uneperturbation,
restetopologiquement équivalente
à une autre fonction de la famille.Chaque
famille de fonctions est
paramétrisée
par une ouplusieurs 3 variables
de contrôle. Les famillesse divisent en différents types, selon le nombre r de variables de
contrôle,
et lasymétrie
dusystème.
Pour les
systèmes
sans aucunesymétrie particulière,
le nombre depoints critiques dépend
d’une
façon simple
du nombre de variables de contrôle. Pour de telssystèmes
il existe uneclassification,
due à Thom[21],
des formesgénériques
des familles àjusqu’à cinq
variables de contrôle. Au-dessus decinq
aucune classification n’estpossible,
parce que le nombre deformes
génériques
est infini. Laprésence
d’unesymétrie spéciale,
parexemple
lapériodicité
oul’invariance par
réflexion,
réduit le nombre dedegrés
de liberté dusystème,
et donc le nombre de variables de contrôlerequises
pour le décrire. On va d’abord considérer la classification deThom,
et ensuite discuter l’effet de lasymétrie. L’application
des résultats de la théorie descatastrophes
auxapproximations
uniformes del’intégrale (3.4)
est discutée dans la Section 3.3.2 Dans le problème particulier considéré dans ce chapitre, c’est-à-dire l’évaluation de l’intégrale (3 4), on
n’utilise qu’une variable mterne, à savoir xfCeci vient du fait qu’on s’intéresse à l’impulsion pf le long d’une direction seulement Pour calculer un propagateur dans une espace pf à plus qu’une dimension. il faudrait remplacer l’intégrale
(3 4)
par une intégrale multiple, la variable d’intégration étant le vecteur xf Chaquecomposante du vecteur xf serait traitée alors comme une variable interne différente
3 La raison pour laquelle il nous est utile de considérer des familles à plus qu’une variable de contrôle, même pour traiter un problème à une dimension, sera expliquée dans la Section 3 3
3.2.1 Stabilité
topologique
On va
présenter
ici lesconcepts
de stabilitétopologique
d’une fonction et d’une famille de fonctions. Ceci nous mène à la classification de Thom des familles defonctions, qui s’applique
à des
systèmes
sanssymétrie particulière.
Desexemples
desystèmes
avecsymétrie
serontconsidérés dans la Section 3.2.2.
Stabilité
topologique
d’une fonctionOn considère une fonction d’une variable
f(x).
Lespoints critiques
xc def
sont donc lespoints
où la dérivée def s’annule, f’(xc)
= 0. On suppose d’abordqu’il n’y
aqu’un
seulpoint critique
xc,qui
se trouve en xc =0,
et que dans sonvoisinage
lafonction4f(x) prend
la formeOn
appelle
un telpoint
’unpoint critique non-dégénéré’
ou ’unpoint critique
deMorse’,
parceque la dérivée
première
s’annule mais la dérivée seconde ne s’annule pas. Il esttopologiquement
stable par rapport à de
perturbations p(x), puisque,
pourp(x)
suffisammentpetite,
la sommef
+ p n’atoujours qu’un point critique,
et cepoint critique
est du même type, à savoir unpoint critique
de Morse. Cepropriété
se voit de lafaçon
suivante.Supposons
que dans levoisinage
dupoint critique
xc = 0 laperturbation
est de la formep(x)
= 2~x. La somme est doncégale
àg(x)
=f (x) + p(x) = x2
+ 2~x =(x
+- 2~) ~2, qui
a unpoint critique
de Morseà x = -~. Si
l’approximation
pourp(x)
à l’ordre leplus
bas estquadratique
ou d’un ordreplus élevé,
le pointcritique
restera de Morseaussi,
et ne sera pasdéplacé.
On considère ensuite une fonction
qui
contient unpoint critique dégénéré f(x) = x3
Supposons qu’on
laperturbe
enajoutant
un termep(x)
= ~x. Pour ~positif
iln’y
a pas depoints
critiques,
et pour ~négatif
il y en a deux: un maximum et un minimum de Morse(voir
la
Figure 3.2).
Ceci est vraiindépendamment
de lagrandeur
duparamètre
deperturbation
~. La fonction
f(x) = x3
est donc instable.Formellement,
une fonctionf(x)
esttopologiquement
stablesi,
pour toutepetite
pertur-bation
p(x)
la sommeg(x)
=f (x)+p(x)
esttopologiquement équivalente5
àf(x),
c’est-à-dire si la structure despoints critiques
def(x) + p(x)
est la même que celle def(x).
Dans lesexemples
donnésci-dessus,
on a vu que la fonctionf(x)
=x2,
qui contient unpoint critique
de
Morse,
eststable,
tandis que la fonctionf (x)
=x3,
avec unpoint critique dégénéré,
estinstable. On
peut
démontrer defaçon général qu’un point critique
esttopologiquement
stablesi et seulement s’il est
non-dégénéré.
Toutpoint critique dégénéré
est donctopologiquement
instable.
Stabilité
topologique
d’une famille de fonctionsOn
peut
de même introduire la notion de stabilitétopologique
pour une famille de fonc-tions. Une fonction instablepeut
ainsiappartenir
à une famillequi, elle,
esttopologiquement
stable. Les autres fonctions de la famille
représentent
un’déploiement’
de la fonctioninstable,
4 Tant qu’on ne considère que les aspects mathématiques du problème, on peut néghger le terme constant
dans le développement des fonctions, pmsqu’il ne change pas la structure des points critiques Ce terme peut
pourtant jouer un rôle important dans la physique, et on va l’inclure plus loin (voir l’equation (3 43)) 5 Les définitions précises de stabihté et d’équivalence topologiques sont données dans l’Annexe E
FIG. 3.2 - La
fonction perturbée g(x)
=f(x) + p(x)
oùf(x) = x3
et laperturbation
estp(x)
= ~x. Pour~ positif
iln’y
a pas depoint critique,
pour ~ = 0il y
a un seulpoint critique
dégénéré,
et pour ~négatif
il y a deuxpoints critiques
de Morse,son
point critique dégénéré
ayant été divisé enplusieurs points critiques séparés
Le théorème de Thom classe les familles à moins de six variables de contrôle qui sonttopologiquement
stables. Ces familles
s’appellent
des’catastrophes’.
Considérons la famille de fonctions à une variable de contrôle t
Bien
qu’on
ait inclus la variable de contrôle tparmi
lesarguments
def ,
il faut serappeler
qu’elle
n’a pas le même statut que x(la
variableinterne).
Eneffet,
lespoints critiques
sontles
points
où legradient
def
par rapport aux variables internes s’annulent. Les dérivées parrapport
aux variables de contrôle nejouent
aucun rôle dans leproblème.
Pour une valeur non-nul de la variable t tous les
points critiques
sont de Morse. Pour t = 0cependant,
un pointcritique dégénéré
existe. On adéjà
montré que la fonctionf(x;
t =0) =
x
3
esttopologiquement
instable. La famillef(x; t)
danslaquelle
elle se trouve estpourtant
topologiquement
stable. Celasignifie
que si onajoute
unepetite perturbation quelconque
p(x)
à une fonctionf(x;t)
de lafamille,
la sommef(x;t) + p(x)
estéquivalente
à une autrefonction
f (x; t’)
de la même famille.Pour
comparaison,
on vaprésenter
maintenant unexemple
d’une famille de fonctions quin’est pas stable. Considérons la famille
Les dérivées de ces fonctions sont
L’équation ~xf(x;t)
= 0 donne lespositions
despoints critiques
def(x;t).
La structure desPour t = 0 elle a un
point critique dégénéré,
et pour t < 0 elle a troispoints critiques,
tousde Morse. La
disposition
despoints critiques
estindiquée
sur laFigure 3.3(a).
Supposons qu’on ajoute
uneperturbation p(x) =
±~x. La sommeg(x; t)
=f (x; t)
+p(x)
est
et sa dérivée est
La structure des
points critiques
deg(x; t)
est différente de celle def (x; t) (voir
laFigure
3.3(b)).
Enparticulier,
considérons la valeur t = t0 oùEn ce
point
la dérivée~xg(x; t)
estégale
àg(x; t0)
contient donc deuxpoints critiques:
unpoint critique
de Morse à x = -3~~ et
unpoint
critiquedégénéré
à x =3~~/2.
Iln’y
a aucune fonction de la famillef(x,t)
qui estéquivalente
àg(x, t0),
puisque aucune fonction de cette famille ne contient exactement deuxpoints critiques.
La famillef(x,t)
est donctopologiquement
instable. Notonscependant
quesi le
système présentait
unesymétrie
telle que seules des fonctionspaires
soientacceptables,
la famille
f(x; t)
serait stable. Pour unsystème général
onpeut
rendre la famille(3 20)
stableen introduisant une deuxième variable de contrôle
Applications
Il est
important
de voirquelles
sortes depoints critiques
l’on peut trouver dans une famille de fonctions. Une seule fonction ne contientgénériquement
que despoints critiques
de Morse.A l’intérieur d’une famille
cependant,
il existe engénéral
certaines fonctionsqui
contiennent despoints critiques dégénérés.
L’ordre de ladégénérescence6peut
être d’autantplus grand
que le nombre de variables de contrôle de la famille est élevé.
Dans un
problème
dephysique
le nombre de variables de contrôlecorrespond
souventà la dimension du
système.
Parexemple,
dans le calcul dei) i,tf;pf,tK(p (Section 3 1.1)
on s’intéresse à la distribution en
impulsion
d’uneparticule
à une dimension. Iln’y
a doncqu’une
variable decontrôle,
à savoir pf. En variant , pf on ne rencontre engénéral
que desfonctions ~(x
f
;p
f
)
dont lespoints critiques
sontdégénérés
d’ordre auplus
deux. La famille laplus petite qui
contient ces fonctions estf (x; t),
définie dans(3.19).
Cette familles’appelle
’le
pli’
ou ’l’arc-en-ciel’. La raison del’appellation ’pli’
est la suivante. Considérons l’ensemble{(x
c
,t)~t : ~xf(xc;t)
=0},
c’est-à-dire l’ensemble de tous lespoints {(xc, t)}
où xc est un6 L’ordre de la dégénérescence désigne le nombre N de dérivées
f, ,~xf,~2x{~ Nx f} qui
s’annulent simul-tanémentFIG. 3.3 - La
disposition
despoints crztzques
de lafamzlle f (x; t)
=x4+ tx2 (a),
et deg(x; t)
=x4 + tx2 +
ex pour e = 0.5(b).
point critique
de la fonctionf(x; t).
Cet ensembles’appelle
la variété decatastrophe
Pour lepli,
il est décrit par la relationqui
est uneparabole,
ou ’unpli’ (voir
laFigure 3.4(a)).
Souvent,
dans unproblème
dephysique,
on identifie unecaustique
par sa variété deca-tastrophe
Dans le calcul deK(pf, , i;pftti)
décrit dans la Section 3.1.1 on s’intéressait auxpoints critiques x0393f
de laphase ~0393 ) f;pf(x
pourchaque
valeur de pf. Cet ensemble de points{(x
0393
f
,p
f
)}
constitue la variété decatastrophe
de~0393 ) f;pf(x (voir
laFigure 3.4(b)).
Elle estidentique
audiagramme
espacephase
dusystème,
sauf que ce dernier contient de l’informationconcernant la distribution le
long
de la courbe de l’ensembleclassique
quireprésente
l’étatquantique,
informationqui
n’est pasprésente
dans la variété ducatastrophe.
Près de lacau-stique
la variété decatastrophe
de~0393(xf;pf) (Figure 3.4(b))
esttopologiquement équivalente
à celle du
pli (Figure 3.4(a)).
La valeur de pfoù
il n’existequ’un point critique x(c)fest
lacaustique
pf =p(c)f(analogue
à t =0).
Cepoint critique
estdégénéré ~2xf~0393 (x(c)f;p(c)f) =
0. Si onéloigne
pfde
sa valeur à lacaustique,
il existe deuxpossibilités.
soit lepoint dégénéré
sesépare
en deuxpoints critiques non-dégénérés (analogue
au cas t <0),
soit ildisparaît
(ana-logue
au cas t >0).
Dans lepremier
cas, deuxtrajectoires
racinesexistent,
et la valeur de pfest
permise classiquement.
Dans le second cas, aucunetrajectoire
racinen’existe,
c’est-à-direla valeur de pf
est classiquement
interdite.La raison pour
l’appellation
’arc-en-ciel’ est que le même type decaustique
estprésent
dans un arc-en-ciel.
L’angle
de réflexion d’un un rayonoptique
par unegoutte
d’eaudépend
duparamètre d’impact (voir
laFigure 3.5). Supposons qu’on augmente
continûment leparamètre
d’impact
de zéro(impact direct) jusqu’à
sa valeur maximale(incidence rasante). L’angle
de réflexionaugmente
continûmentjusqu’à
une valeurcritique (l’angle ’arc-en-ciel’)
au-delà deFIG. 3.4 -
(a)
La variété decatastrophe
dupli. (b) L’impulsion
pfprès
de lacaustique p(c)f
en
fonction
despoints critiques x0393f(comparer
avec laFigure 3.1).
laquelle
il diminueL’angle
maximalcorrespond
à lacaustique
A cetangle,
la lumière atteintune intensité maximale Le fait que
l’angle critique dépende
de lalongueur
d’onde de la lumière incidente est cequi produit
l’arc-en-ciel.Par
analogie,
considérons maintenant unproblème physique
à deux dimensions. Engé-néral,
les fonctions décrivant lesystème
peuvent contenir des pointscritiques
dont ladégé-nérescence est au
plus
d’ordre deux. La famille laplus petite qui
contient ces fonctions estf(x;t
1
,t
2
),
définie dans(3.26).
Elles’appelle
’lafronce’,
pour la raison suivante. Considérons les valeurs de t1 et t2 pourlesquelles
il existe despoints critiques dégénérés.
Ce sont lescaustiques
dusystème.
Dans lepli
iln’y
avaitqu’un point critique dégénéré,
à savoir t = 0.Dans la
fronce,
lespoints critiques dégénérés
constituent une variété à unedimension,
quis’appelle
l’ensemble de bifurcation. etqui
peut être calculée de lafaçon
suivantePuisque
lespoints de l’ensemble de bifurcation sont des
points
critiquesdégénérés,
ils satisfont à deux conditions:~xf
= 0et ~2xf
= 0. Ces deux conditionss’expriment
commeLes valeurs de x
qui
satisfont à la deuxième condition sont x =±(t2/6)1/2.
En substituantces valeurs de x dans la
première
condition on obtient une relation entre t1 et t2Cette relation décrit l’ensemble de bifurcation. L’ensemble
prend
la forme d’une fronce(voir
la
Figure 3.6).
La forme de la
Figure
3.6 est la formetypique
d’unecaustique
à deux dimensions. UnFIG. 3.5 - Les rayons
optiques réfléchis
par unegoutte
d’eausphérique.
L’indice deréfraction
de l’eau est
1,3.
lointaine
(par exemple
lesoleil)
réfléchit de la surface intérieure de la tasse et sur la surface du café Lacaustique
est la courbe brillantecomposée
de deux arcsqui
se rencontrent sur leur axede
symétrie (voir
laFigure 3.7).
Lepoint
où elles se rencontrent est leplus brillant,
et marquela
pointe
de la fronce. Localement autour de cepoint
lacaustique prend
la formeindiquée
sur la
Figure
3.6. Lacorrespondance
entre les coordonnées de la surface et les variables de contrôle t1 et t2 est linéaire dans cevoisinage [29].
On voit les mêmes formes dans lafigure
de diffraction de
gouttes
d’eau. Unefaçon
de lesproduire
est de faire passer un faisceau lasersur une
goutte
d’eau etpuis
de leprojeter
sur un écran lointain.Familles à
plus
de deux variables de contrôleJusqu’ici
on n’a traité que des fonctionsf
d’une variable interne x. Or souvent oncon-sidère un
système qui
contientplusieurs
variables internes(x,y,z,...),
et on s’intéresse auxpoints critiques
où legradient ~f s’annule7.
Une fonctionf
deplusieurs
variables necon-tient
génériquement
que despoints critiques
de Morse. Autour de cespoints
la fonction est7 Un exemple est le calcul par la méthode de la phase stationnaire du propagateur
K(pf,tf,pi,tt),
où piFIG. 3.6 - L’ensemble de
bifurcation
de lafronce.
localement
équivalente
àoù le choix ± est
indépendant
pourchaque
variable interne.Supposons
maintenantqu’on
choisi une famille de fonctions
f(x,
y,z, . ;t),
où t est une variable de contrôle quiparamétrise
la famille Il sepeut
que la famille contiennent certaines fonctionsqui possèdent
des pointscritiques dégénérés.
Si la famille estparamétrisée
par une seule variable de contrôle t, lespoints critiques dégénérés
ne peuvent être engénéral
que du typepli.
Autour d’un telpoint
la famille est localementéquivalente
àPour une famille à deux variables de contrôle on retrouve la fronce
Les deux familles
(3.31)
et(3 32)
sonttopologiquement
stables. Il s’avère que lepli (3 31)
soit la seule famille à une variable de contrôlequi
esttopologiquement
stable.C’est-à-dire,
toutesles familles stables à une variable de contrôle sont
équivalentes
à(3.31) (voir
la Définition 4dans l’Annexe
E).
Demême,
la fronce(3.32)
est la seule famille à deux variables de contrôlequi
soittopologiquement
stable.Des familles
analogues
aupli
et à la fronce existent pourtrois,
quatre etcinq
variables de contrôleElles
s’appellent respectivement
la queued’aronde,
lepapillon
et lewigwam
à cause des formes de leurs ensembles de bifurcation. La série de familles(3.31), (3.32), (3.33), (3.34)
et(3.35)
estFIG. 3.7 - Les rayons optiques
réfléchis
de lasurface
intérieure d’une tasse àcafé.
connue sous le nom des
’catastrophes cuspoides’.
Il existe d’autres séries de familles. En effet laqueue d’aronde n’est pas la seule famille à trois variables de contrôle
qui
soittopologiquement
stable. De
même,
lepapillon
et lewigwam
ne sont pas les seules familles stables àquatre
etcinq variables de contrôle
respectivement.
La raison en est la suivante. Considérons lespoints
critiques dégénérés
des familles appartenant à la série decatastrophes cuspoides.
La dérivéeseconde s’annule en ces
points
lelong
de l’axe xuniquement.
Or une famille àplus
quedeux variables de contrôle peut contenir des fonctions dont la dérivée seconde s’annule en
les
points critiques
en deux directions simultanément. De telles famillesappartiennent
à la série decatastrophes
dîtes’ombiliques’. Chaque
famillegénérique
à moins que six variablesde contrôle
appartient
soit à la sériecuspoide
soit à la sérieombilique.
Les deux séries sontprésentées
dans l’Annexe F.Si on inclut
parmi
lespoints critiques
ceuxqui
sontcomplexes,
et oncompte
chacun avec samultiplicité8le
nombre total depoints critiques
estidentique
pour toutes les fonctionsappartenant à la même famille
générique.
Ce nombre caractérise donc la famille. Diminué àune
unité,
ils’appelle
la codimension de la famille. La codimension de lacatastrophe
laplus
simple,
lepli,
vaut donc un. La fronce a une codimension de deux. Si lesystème
ne contientpas de
symétrie particulière,
la codimension estégale
au nombre de variables de contrôle. 3.2.2Systèmes
avecsymétrie
La classification de Thom ne
s’applique
pas auxsystèmes qui présentent
unesymétrie
particulière.
En effect lasymétrie change
la stabilité d’une famille de fonctions. Considéronspar
exemple
la famille(3.20), qui
ne contient que des fonctionspaires.
Cette famille esttopologiquement
instable pour dessystèmes généraux,
mais stable pour dessystèmes qui
sontinvariants par réflexion. La codimension d’une famille
appartenant
à unsystème symétrique
est
plus grande
que le nombre de variables de contrôle. En revanche le nombre de variables decontrôle est
toujours égal
au nombre depoints critiques ’indépendants’
moins un(chaque
point 8 J’utilise le terme ’multiplicité’ pour indiquer l’ordre de dégénérescence d’un point critique Un point critique de Morse par exemple a un multiplicité de un Un point critique auquel les premières n dérivéescritique compté rappelons-le
avec samultiplicité).
Cette dernière relation estimportante
pourle
développement
desapproximations uniformes, qu’on
va aborder dans lapartie
suivante Deuxpoints critiques
sont considérésindépendants
s’ils ne sont pas reliés l’un à l’autre par lasymétrie
dusystème.
Parexemple,
pour unsystème qui
est invariant parréflexion,
lespoints
critiques qui
sontdisposés symétriquement
autour del’origine
ne sont pasindépendants
Notons que pour un
système général
tous lespoints critiques
sontindépendants.
Un autre
exemple
desymétrie
est lapériodicité.
Onpeut
s’intéresser parexemple
auxfamilles de fonctions de la forme
Si les fonctions
f désignent
desphases
il faut quel’indice 03BE
vaille un nombre entier pourqu’elles
soientpériodique.
Dans desproblèmes physiques 03BE joue
souvent le rôle d’unparamètre
de
quantification
Si en revanche les fonctionsdésignent
desamplitudes quelconque
il faut que03BE
soitégal
à zéro. La codimension de chacune de ces familles estinfinie,
bien que le nombre de variables de contrôle{t1,..., 1, , 03B8nt
... ,03B8n-1} soit
fini On peut facilement vérifiercependant
que le nombre de variables de contrôle est
égal
au nombre de points critiquesindépendants
moins un. En effet le nombre depoints critiques indépendants
est le nombre de points critiquescontenus dans une
période.
Dans le document
Ondes de matière dans des potentiels périodiques en temps : étude semi-classique
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