On va donner dans ce paragraphe des caract´erisations et des propri´et´es des vari´et´es de Stein. Soit X une vari´et´e complexe de dimension n. On a besoin de la notion suivante.
D´efinition 2.3.1. Soit K un sous-ensemble de X. On appelle enveloppe holo-morphiquement convexe de K dans X l’ensembleKb des points x∈X tels que
|f(x)| ≤sup
K
|f|
pour toute fonction f holomorphe sur X. On dit que K est holomorphiquement convexe dans X siKb =K.
Par d´efinition,Kb est l’intersection des ferm´es du type{|f| ≤c}qui contiennent K o`u f est une fonction holomorphe sur X et c est une constante positive. En particulier, Kb est toujours un ferm´e contenant K. De plus, l’intersection d’une famille d’ensembles holomorphiquement convexes est aussi holomorphiquement convexe.
2.3. QUELQUES PROPRI ´ET ´ES DES VARI ´ET ´ES DE STEIN 61 Exemple 2.3.2. L’enveloppe holomorphiquement convexe de Hn(a, r, ) dans Dn(a, r) est ´egale `a Dn(a, r). En effet, si f est une fonction holomorphe sur Dn(a, r), x un point deDn(a, r) et c=f(x), alors la fonction
1 f(z)−c
ne se prolonge pas en fonction holomorphe sur Dn(a, r). D’apr`es le th´eor`eme 1.2.8, elle ne se prolonge pas holomorphiquement sur Hn(a, r). Ceci signifie que l’hypersurface {f = c} intersecte Hn(a, r, ). On en d´eduit que x appartient `a l’enveloppe holomorphiquement convexe deHn(a, r, ).
La proposition suivante d´ecrit un peu la g´eom´etrie des ensembles holomor-phiquement convexes.
Proposition 2.3.3. SoitK un sous-ensembleX. Soitπ : Ω→X une application holomorphe d´efinie sur un ouvert Ω de Cm. Soient L un sous-ensemble de Ω et Lb son enveloppe holomorphiquement convexe dans Ω. Alors si π(L) ⊂ K, on a π(L)b ⊂K.b
D´emonstration. Consid´erons une fonction holomorphef surX et un pointy∈L.b On a par d´efinition de Lb appliqu´ee `a la fonction f ◦π
|f(π(y))| ≤sup
π(L)
|f| ≤sup
K
|f|.
D’o`uπ(y) appartient K. Ceci entraˆıne la proposition.b
On peut appliquer cette proposition au cas o`u Ω\L est compact. Dans ce cas, par principe du maximum, on a Lb = Ω et donc π(Ω) ⊂Kb si π(Ω\L)⊂K.
On peut aussi appliquer la proposition au cas o`u Ω =Dn(a, r) etL=Hn(a, r, ).
On obtient alors que π(Dn(a, r))⊂Kb lorsque π(Hn(a, r, ))⊂K.
D´efinition 2.3.4. Un ouvert relativement compact P deX est appel´e poly`edre analytique d’ordre N de X s’il est une r´eunion de composantes connexes de F−1(DN) o`u F : X → CN est une application holomorphe et DN est le poly-disque unit´e dans CN.
On a le lemme suivant.
Lemme 2.3.5. Soit K un compact holomorphiquement convexe dans X. Alors pour tout voisinage Ω de K, il existe un poly`edre analytique P de X tel que
K ⊂P ⊂Ω.
D´emonstration. On peut supposer que Ω est compact. Pour tout a∈bΩ on peut trouver une fonction holomorphe f telle que |f| < 1 sur K et |f(a)| > 1. Donc K est contenu dans l’intersection de tous les ensembles de la forme {|f| < 1}
avec f comme ci-dessus et bΩ est recouvert par les ensembles de la forme {|f|>
1}. Comme bΩ est compact, il y a une famille finie de fonctions holomorphes f1, . . . , fN telles que bΩ soit recouvert par les ouverts {|fi| > 1}. On en d´eduit que l’application F = (f1, . . . , fm) fournit un poly`edre analytique qui v´erifie le lemme.
Th´eor`eme 2.3.6. SoitXune vari´et´e pseudoconvexe avec une fonction lisse stric-tement p.s.h. exhaustive u. Si K est contenu dans {u ≤ c} pour une certaine constante c alors Kb l’est aussi. En particulier, le compact {u≤ c} est holomor-phiquement convexe dans X pour tout c∈R.
D´emonstration. Il suffit de montrer la deuxi`eme assertion. Fixons un point a tel que u(a) > c. On va construire une fonction holomorphe f telle que |f(a)| >
supK|f| avec K = {u ≤ c}. Sans perdre de g´en´eralit´e, en ajoutant `a u une constante puis en multipliant u par une constante positive, on peut supposer c =−2 et u(a) = 1. L’id´ee principale ici est de construire d’abord une fonction lissef0v´erifiant la propri´et´e d´esir´ee et puis on la corrige afin d’obtenir une fonction holomorphe f. La correction utilise la r´esolution de l’´equation ∂.
On identifie un petit voisinage de a avec la boule unit´e dans Cn et a avec le centre 0. On peut facilement construire une fonction v n´egative `a support compact dans{u >0}, lisse sauf en 0, et ´egale `a 2nlogkzk au voisinage de 0. En particulier, elle est p.s.h. au voisinage de a= 0.
Fixons une fonctionf0 lisse sur X `a support compact dans {u >0} telle que f0(a) = 1 et f0 soit holomorphe au voisinage de a. Posons g = ∂f0. C’est une (0,1)-forme lisse `a support compact et nulle au voisinage de a. Soit A > 0 une constante assez grande qu’on fixera plus tard. Posons
ϕ=v+Au.
Comme A est grande etu est strictement p.s.h., la fonction ϕest p.s.h.
D’apr`es la proposition 2.2.11 et le th´eor`eme 2.2.13, il existe donc une fonction f00 lisse telle que
∂f00 =g et Z
X
|f00|2e−v−Aue−χ(u)dvol2n ≤c Z
X
kgk2e−v−Aue−χ(u)dvol2n. Notons que la derni`ere int´egrale est finie car g est nulle au voisinage de a. Rap-pelons aussi que χ et cne d´ependent pas de A.
Commee−vn’est pas int´egrable au voisinage dea, on a n´ecessairementf00(a) = 0. De plus, comme u >0 sur le support deg, la derni`ere int´egrale est born´ee par une constante ind´ependante de A. On en d´eduit que si A est assez grand la norme L2 de f00 sur {u < −1} est petite. Comme g est nulle sur {u < −1}, f00
2.3. QUELQUES PROPRI ´ET ´ES DES VARI ´ET ´ES DE STEIN 63 est holomorphe sur cet ouvert. La formule de Cauchy (th´eor`eme 1.2.1) entraˆıne quef00 est petite sur K.
Posons finalement
f =f0−f00.
On a d’apr`es la discussion ci-dessus quef(a) = 1 et quef est petite surK. Ceci implique le r´esultat.
Th´eor`eme 2.3.7. Soient X une vari´et´e pseudoconvexe et K un compact holo-morphiquement convexe dansX. Soith une fonction holomorphe au voisinage de K. Alorsh est uniform´ement approximable sur K par des fonctions holomorphes sur X. Plus pr´ecis´ement, pour tout > 0, il existe une fonction f holomorphe sur X telle que
|f −h|< sur K.
D´emonstration. Choisissons un poly`edre analytique P associ´e `a une application F = (f1, . . . , fN) tel queK ⊂P et h soit d´efinie sur P. Pour 0< δ <1, posons
Pδ ={z∈P, max|fj(z)|<1−δ}.
On choisit aussi une constante 0< δ < 12 assez petite et une fonction ρ`a support compact dans P telles queK ⊂P4δ etρ= 1 sur Pδ.
Consid´erons l’´equation
∂f0 =∂(ρh) et la fonction p.s.h. positive
ϕ= log 1 +
N
X
j=1
(1−2δ)−γ|fj|γ ,
o`u γ est une constante suffisamment grande. Observons que ∂(ρh) est nulle sur Pδ et aussi en dehors de P.
D’apr`es le th´eor`eme 2.2.10, il existe une solution f0 telle que Z
P3δ
|f0|2e−ϕ−χ(u)dvol2n≤c Z
P\Pδ
k∂(ρh)k2e−ϕ−χ(u)dvol2n.
Commeγ est grand,ϕest tr`es petit surP3δet tr`es grand surP\Pδ. On en d´eduit que la norme L2 de f0 sur P3δ est petite. D’apr`es la formule de Cauchy, f0 est petite surK. La fonction f =ρh−f0 est donc holomorphe et proche deh surK car elle est ´egale `a h−f0 surK. C’est qu’il faut d´emontrer.
Dans la suite, on d´emontre le th´eor`eme principal suivant.
Th´eor`eme 2.3.8. Une vari´et´e X est de Stein si et seulement si elle est pseudo-convexe.
On a d´ej`a vu la condition n´ecessaire. Supposons dans la suite que X est pseudoconvexe avec une fonction exhaustive p.s.h. lisse u comme ci-dessus. On montre que X est de Stein. La d´emonstration se fait en plusieurs ´etapes.
Lemme 2.3.9. Soienta, bdeux points distincts deX. Alors il existe une fonction holomorphe f sur X telle que f(a)6=f(b).
D´emonstration. Soitϕcomme dans le th´eor`eme 2.3.6 . On construit les fonctions ϕk comme dans le th´eor`eme 2.2.13. Pour k assez grand, on a ϕk(a) ϕk(b).
La fonction u0 = ϕk +u est donc strictement p.s.h. lisse exhaustive et v´erifie u0(a)< u0(b). On d´eduit du th´eor`eme 2.3.6 qu’il existe une fonction holomorphe f telle que|f(b)|>|f(a)|.
Lemme 2.3.10. Pour touta ∈X, il existe une application holomorpheF :X → Cn qui d´efinit une application biholomorphe entre un voisinage deaet son image.
D´emonstration. On reprend l’id´ee principale de la d´emontration du th´eor`eme 2.3.6 mais avec une fonction ϕplus singuli`ere ena, e.g. ϕ= 2v+Au. Rappelons que la fonction f00 est holomorphe au voisinage de a = 0. L’int´egrabilit´e de la fonction
|f00|2e−v−Aue−χ(u)∼ |f00|2kzk−4n
implique que f00 s’annule en a, ainsi que ses d´eriv´ees d’ordre 1. Par cons´equent, la fonction holomorphe f =f0−f00 est ´egale `a l’ordre 1 en a `a la fonction f0.
Afin d’obtenir une applicationF comme dans le lemme, il suffit de construire une applicationF0 lisse `a support compact, holomorphe au voisinage dea dont la diff´erentielle est de rang maximale ena. Ceci se fait facilement en utilisant les co-ordonn´ees locales et une fonction cut-off. La m´ethode d´ecrite ci-dessus appliqu´ee
`
a chaque composantes deF0 permet de construire une application holomorphe F qui est de rang maximal ena. Cette application v´erifie le lemme (voir le th´eor`eme 1.1.7).
Lemme 2.3.11. Soit K un compact de X. Alors il existe une application holo-morphe F : X → CN telle que F soit injective et r´eguli`ere sur K. La derni`ere propri´et´e signifie que la diff´erentielle de F est de rang n en chaque point de K.
D´emonstration. D’apr`es le lemme 2.3.10, pour chaque point a ∈ K, on peut choisir un voisinage Ua de a et une application holomorphe Fa : X → Cn qui envoie Uabiholomorphiquement sur un ouvert deCn. CommeK est compact, on peut choisir une famille finie de (a, Ua, Fa) telle que lesUa recouvrent K. Notons W la r´eunion des Ua×Ua. C’est un voisinage de la diagonale de K×K.
D’apr`es le lemme 2.3.9, pour chaque point (b, c) dans K ×K \W il existe une fonction holomorphe fb,c telle que fb,c(b) 6= fb,c(c). Par continuit´e, il existe un voisinage Vb,c de (b, c) dans K×K tel que fb,c(z)6=fb,c(w) si (z, w)∈Vb,c.
CommeK×K\W est compact, il y a une famille finie de (b, c, fb,c, Vb,c) telle que lesVb,crecouvrentK×K\W. Notons maintenantF l’application holomorphe
2.3. QUELQUES PROPRI ´ET ´ES DES VARI ´ET ´ES DE STEIN 65 dont les composantes sont lesfb,c et les composantes desFa dans les deux familles finies ci-dessus. Il est clair que cette application v´erifie le lemme.
Rappelons que notre but ici est de montrer que X est de Stein, c.-`a-d. de construire une application holomorphe r´eguli`ere, injective et propre de X dans un espace euclidien. Le reste de la d´emonstration est un peu technique. On a besoin d’abord de contrˆoler l’entier N utilis´e dans le lemme pr´ec´edent. Dans les deux lemmes qui suivent, on n’a pas besoin de supposer queX est pseudoconvexe.
Lemme 2.3.12. Soient F = (f1, . . . , fN+1) : X → CN+1 une application ho-lomorphe avec N ≥ 2n et K un compact de X. Supposons que F est r´eguli`ere au voisinage de K. Alors pour presque tout a = (a1, . . . , aN) ∈ CN l’application Fa:X →CN d´efinie par
Fa = (f1+a1fN+1, . . . , fN +aNfN+1) est r´eguli`ere au voisinage de K.
D´emonstration. Soit U un voisinage assez petit de K sur lequel F est r´eguli`ere.
Consid´erons l’ensemble Y des points (z, a) ∈ U × CN tel que Fa ne soit pas r´eguli`ere enz. En coordonn´ees locales, ceci signifie que le rang de la matrice
∂fj
∂zk +aj∂fN+1
∂zk
1≤j≤N,1≤k≤n
est strictement plus petite que n en z. En particulier, Y est un sous-ensemble analytique de U ×Cn.
Pour chaque z fix´e dans U, comme F est r´eguli`ere enz, la matrice ∂fj
∂zk
1≤j≤N+1,1≤k≤n
est de rang maximal n. Il n’est pas difficile de voir que les a ∈ CN tels que (z, a)∈Y forment un sous-ensemble analytique de dimension au plusn−1 dans CN.
On en d´eduit que la dimension deY est au plus ´egale `a 2n−1. Sa projection dans CN est donc de volume z´ero. Ceci signifie que presque tout a ∈ CN est en dehors de la projection deY. On constate que pour presque touta, l’application Fa est r´eguli`ere surU.
Lemme 2.3.13. Soient F = (f1, . . . , fN+1) : X → CN+1 une application holo-morphe avec N ≥2n+ 1 et K un compact de X. Supposons que F est injective sur un voisinage de K. Alors pour presque tout a= (a1, . . . , aN)∈CN l’applica-tion Fa :X → CN, d´efinie comme dans le lemme pr´ec´edent, est injective sur un voisinage de K.
D´emonstration. Soit U un voisinage de K sur lequel F est injective. Notons ∆ la diagonale de U ×U et Z l’ensemble des points (z, w, a) ∈(U ×U \∆)×CN tels que Fa(z) = Fa(w). Par d´efinition, c’est un sous-ensemble analytique de (U ×U \∆)×CN.
Pour chaque (z, w)∈(U×U\∆) fix´e, commeF(z)6=F(w), il y a au plus un point a ∈ CN tel que (z, w, a) ∈ Z. On en d´eduit que la dimension de Z est au plus ´egale `a 2n. Sa projection dansCN est donc de volume z´ero car N ≥2n+ 1.
Le lemme s’en d´eduit.
On a la proposition suivante qui pr´ecise le lemme 2.3.5 dans le cas des vari´et´es pseudoconvexes.
Proposition 2.3.14. Soit K un compact holomorphiquement convexe dans une vari´et´e X pseudoconvexe. Alors pour tout voisinage Ωde K, il existe un poly`edre analytique P d’ordre 2n tel que
K ⊂P ⊂Ω.
D´emonstration. D’apr`es le lemme 2.3.5, il suffit de montrer que si P est un poly`edre d’ordre N + 1 ≥ 2n + 1 tel que K ⊂ P b Ω, il existe un poly`edre P0 d’ordreN tel que K ⊂P0 bΩ.
Soit F = (f1, . . . , fN+1) :X →CN+1 une application holomorphe telle que P soit une r´eunion de composantes de
{z ∈X, |fj(z)|<1 pour j = 1, . . . , N + 1}.
D’apr`es les lemmes 2.3.11 et 2.3.12, on peut perturber l´eg`erement F afin de supposer que F est r´eguli`ere au voisinage de P.
L’application
f1 fN+1
, . . . , fN fN+1
, fN+1 est r´eguli`ere au voisinage de
L={z ∈P , |fN+1(z)|= 1}.
Le lemme 2.3.12 appliqu´e `a cette application montre qu’on peut perturberF afin de supposer que
G= f1
fN+1, . . . , fN
fN+1
est r´eguli`ere au voisinage de L.
Soient 0< c0 < c1 < c2 <1 des constantes telles que K ⊂ {z, |fj(z)|< c0 pour tout j}
et que G soit r´eguli`ere au voisinage de
{z ∈P , |fN+1(z)| ≥c2}.
2.3. QUELQUES PROPRI ´ET ´ES DES VARI ´ET ´ES DE STEIN 67 PosonsF0 = (f10, . . . , fN0 ) avec
fj0 =c−k1 (fjk−fN+1k )
pour un entier k assez grand. Notons P0 la r´eunion des composantes de
∆ ={z, |fj0(z)|<1 pour j = 1, . . . , N} qui intersectentK. Il est clair que K est contenu dans P0.
Il suffit maintenant de v´erifier que P0 est contenu dans Ω ={z ∈P, |fN+1(z)|< c2}
car comme k est grand, cette propri´et´e implique que |fj| < 1 sur P0 et donc P0 ⊂P.
Soit z un point de ∆∩bΩ. On a pour j ≤N
|fj(z)k−fN+1(z)k|< ck1 et |fN+1(z)| ≤c2.
Comme k est grand, on d´eduit que |fj(z)| < 1 pour tout j ≤ N et donc
|fN+1(z)|=c2 car z∈bΩ. On en d´eduit aussi que
|Gj(z)k−1| ≤ck1c−k2 si Gj = fj fN+1·
Soit w∈P tel que dist(w, z) =k−2. On montre que w n’appartient pas `a ∆.
Ceci impliquera que z n’appartient pas `aP0. On a
|fN+1(w)|=|fN+1(z)|+O(k−2) =c2+O(k−2) et comme Gest r´eguli`ere au voisinage de z
|Gj(w)−Gj(z)|=αjk−2+O(k−4)
avec max1≤j≤Nαj ≥ α pour une constante α > 0 ind´ependante de k et ξ. On a aussi
|Gj(w)k−Gj(z)k|=|[Gj(z) +Gj(w)−Gj(z)]k−Gj(z)k|=αjk−1+o(k−1).
Finalement, on d´eduit des estim´ees ci-dessus que
1≤j≤Nmax |fj(w)k−fN+1(w)k|= max
1≤j≤N|Gj(w)k−1||fN+1(w)|k> ck1. Ceci termine la preuve de la proposition.
Proposition 2.3.15. Soit X une vari´et´e pseudoconvexe de dimension n. Alors il existe une application holomorphe propre deX dans C2n+1.
D´emonstration. Soit u une fonction strictement p.s.h. lisse et exhaustive sur X.
Posons
Km ={u≤m}.
D’apr`es la proposition pr´ec´edente, on peut trouver une suite (Pm)m∈Nde poly`edres d’ordre 2n telle que
Pm ⊂Km ⊂Pm+1.
On a donc∪Pm =X. On construit d’abord les fonctions holomorphesf1, . . . , f2n telles que
1≤j≤2nmax |fj|> m surbPm pour toutm.
Soienth(m)1 , . . . , h(m)2n des fonctions holomorphes d´efinissantPm, i.e.Pmest une r´eunion de composantes de
{z, |h(m)j (z)|<1 pour j = 1, . . . ,2n}.
En rempla¸cant les h(m)j par leur puissances, on peut supposer que
1≤j≤2nmax |h(m+1)j | ≤ 1
4 surPm.
On v´erifie sans peine que si (km) est une suite de nombre entiers naturels suffi-samment croissante, les fonctions
fj =X
k≥0
(2h(m)j )km sont bien d´efinies et satisfont la propri´et´e d´esir´ee.
On construit maintenant la fonctionf2n+1telle que l’application (f1, . . . , f2n+1) soit propre. Pour ceci, il suffit d’obtenir une fonction f2n+1 telle que pour toutm on a |f2n+1| ≥m sur
Gm ={z∈Pm+1\Pm, max
1≤j≤2n|fj(z)| ≤m}
car ceci montre que
1≤j≤2n+1max |fj(z)| ≥m surPm+1\Pm pour toutm et donc sur X\Pm. Les propri´et´es de f1, . . . f2n impliquent que Gm est un compact disjoint du compact
Hm ={z ∈Pm, max
1≤j≤2n|fj(z)| ≤m}.
De plus, l’enveloppe holomorphiquement convexe deGm∪Hm doit ˆetre contenue dans l’ensemble
{z ∈X, max
1≤j≤2n|fj(z)| ≤m}.
2.3. QUELQUES PROPRI ´ET ´ES DES VARI ´ET ´ES DE STEIN 69 On en d´eduit que cette enveloppe est la r´eunion de Gm, Hm et un compact Hm0 qui n’intersecte pas Pm+1.
En appliquant le th´eor`eme 2.3.7 `a une fonction qui est nulle au voisinage de Hm ∪Hm0 et ´egale `a une grande constante au voisinage de Gm, on obtient une fonction holomorphegm sur X qui v´erifie
|gm| ≤2−m−1 surHm et|gm| ≥m+ 1 surGm. On v´erifie sans peine que la fonction
f2n+1 =
∞
X
m=0
gm
correspond `a notre besoin. Ceci compl`ete la preuve de la proposition.
Fin de la d´emonstration du th´eor`eme 2.3.8.Il suffit de construire une appli-cation r´eguli`ere injectiveF deXdansC2n+1. En effet, l’application constitu´ee par F et celle construite dans la derni`ere proposition est r´eguli`ere propre et injective deX dans C4n+2.
On choisit une suite croissante de compacts Km dans X dont la r´eunion est
´egale `a X. D’apr`es les lemmes 2.3.11, 2.3.12 et 2.3.13, il existe des applications holomorphes Fm : X → C2n+1 qui sont injective et r´eguli`eres au voisinage de Km. En multipliant Fm avec une petite constante, on peut supposer que Fm et la diff´erentielle de Fm sont de norme plus petite que 2−m surKm. On d´eduit de cette propri´et´e que si une application holomorphe G:X →C2n+1 est injective et r´eguli`ere au voisinage de Km il existe une constante δ >0 telle que
G+X
l≥0
AlFl
v´erifie la mˆeme propri´et´e pour toutes matrices Al de taille (2n+ 1)×(2n+ 1) `a coefficients complexes de norme plus petite que δ.
D’apr`es les lemmes 2.3.12 et 2.3.13, si A1 est une matrice g´en´erique assez petite, alors l’applicationF0+A1F1 est injective et r´eguli`ere sur K1. Comme on a observ´e, cette propri´et´e reste valable lorsqu’on ajoute `a cette application une petite combinaison desFl. Ainsi, on obtient par r´ecurrence des matrices Al assez petites telles que l’application
F =F0+X
l≥1
AlFl
est injective et r´eguli`ere sur chaque compact Km. Ceci compl`ete la preuve du
th´eor`eme.
Th´eor`eme 2.3.16. Soit X une vari´et´e complexe admettant une fonction lisse positive strictement p.s.h., e.g. un ouvert d’une vari´et´e de Stein. Alors les pro-pri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1. X est de Stein ;
2. X admet une fonction lisse p.s.h. et exhaustive.
3. Pour tout compact K dans X, son enveloppe holomorphiquement convexe est compact.
D´emonstration. On a vu que (1) ⇒ (2) et (1) ⇒(3). On montre que (2) ⇒(1).
Soit u une fonction lisse strictement p.s.h. surX. Soit ϕune fonction lisse p.s.h.
exhaustive sur X. Il suffit de construire une fonctionuelisse strictement p.s.h. et exhaustive. Soitχ:R→Rune fonction lisse convexe croissante qu’on fixera plus tard. Posons
eu=u+χ(ϕ).
Il est clair queueest lisse strictement p.s.h. On montre qu’elle est exhaustive pour un choix de χconvenable. Le probl`eme principal ici est le fait queuest peut-ˆetre non-born´ee inf´erieurement. Consid´erons les compacts Ki ={ϕ≤i} et posons
λi = max
Ki+1
|u|+i.
On choisit χ telle queχ(i)≥λi pouri≥0. Alors on a sur Ki+1\Ki ue≥ −max
Ki+1
|u|+χ(i)≥i.
Donc eu est exhaustive.
Il reste `a montrer que (3) ⇒ (2). Supposons la propri´et´e (3). Il suffit de construire une fonction lisse p.s.h. exhaustive surX. La propri´et´e (3) et le lemme 2.3.5 impliquent l’existence d’une suite de poly`edres analytiques Pm v´erifiant
Pm ⊂Pm+1 et ∪Pm =X.
On va montrer qu’il existe des fonctions p.s.h. lisse um sur X telles que um ≥ 1 surX\Pm et la norme Cm deum surPm−1 est plus petite que 2−m. Il suffit alors de poser u=P
um pour obtenir une fonction p.s.h. lisse exhaustive.
Soient maintenant P un poly`edre arbitraire de X et K un compact de P. Soient , A des constantes positives et m un entier natutel. Il suffit de construire une fonction p.s.h. lisse v sur X telle que v ≥ A sur X\P et sa norme Cm sur K soit plus petite que .
Soit F = (f1, . . . , fN) : X → Cm une application holomorphe telle que P soit une r´eunion de composantes de {|fj| < 1 pour tout j}. Soit 0 < c < 1 une constante telle que |fj|< c surK pour tout j. Posons
v0 =
N
X
j=1
c−2k|fj|2k
o`u k est un entier assez grand. Il est clair que v0 est p.s.h. lisse et sa norme Cm sur K est petite. De plusv0 > Aau voisinage de bP.
2.3. QUELQUES PROPRI ´ET ´ES DES VARI ´ET ´ES DE STEIN 71 On va modifierv0 en dehors deP afin d’obtenir la fonctionv souhait´ee. Posons
v =
(v0 surP max(v0, A) surX\P.
Cette fonction est clairement plus grande que A sur X\P et p.s.h. sur X\P. Elle est donc p.s.h. sur X car elle est ´egale `a v0 au voisinage de P.
Cette fonction n’est pas n´ecessairement lisse. Afin d’avoir une fonction lisse, il suffit de remplacer la fonction max(·, A) utilis´ee dans la d´efinition dev par une fonction lisse convexe croissante, ´egale `a max(·, A) sauf dans un petit voisinage deA. Ceci compl`ete la preuve du th´eor`eme.
Th´eor`eme 2.3.17. Soit X un domaine d’une vari´et´e X0. Supposons que X est de Stein. Alors il existe une fonction holomorphef surX qui ne se prolonge nulle part holomorphiquement `a travers le bord de X. Plus pr´ecis´ement, il n’existe pas d’ouvert Ω0 de X0 et une composante Ω de X ∩ Ω0 tels que Ω 6= Ω0 et que la restriction de f `a Ω se prolonge holomorphiquement `a Ω0.
D´emonstration. Soituune fonction lisse strictement p.s.h. exhaustive sur X. On choisit une suite (xm) de points dans X telle que cm = u(xm) croˆıt strictement vers l’infini et que tout ouvert Ω0 comme rencontre (xm). On va construire une fonctionf telle que|f(xm)| → ∞. Il est clair que cette fonction v´erifie le th´eor`eme.
D’apr`es le th´eor`eme 2.3.6, le compact Km = {u ≤ cm} est holomorphique-ment convexe. Comme xm+1 n’est pas dans ce compact, il existe une fonction holomorphefm telle que
maxKm
|fm|<1<|fm(xm+1)|.
Si (km) est une suite suffisamment croissante d’entiers positifs, on v´erifie sans peine que la somme
f =
∞
X
m=1
fmkm
converge vers une fonction holomorphe avec |f(xm)| → ∞.
Le r´esultat suivant donne la r´eciproque du dernier th´eor`eme.
Th´eor`eme 2.3.18. Soit X un domaine dans une vari´et´e de Stein X0. Supposons queX admet une fonction f qui ne se prolonge nulle part holomorphiquement `a travers le bord de X. Alors X est de Stein.
Th´eor`eme 2.3.18. Soit X un domaine dans une vari´et´e de Stein X0. Supposons queX admet une fonction f qui ne se prolonge nulle part holomorphiquement `a travers le bord de X. Alors X est de Stein.