Fonctions p.s.h. et m´ ethode L 2

en dimension 2.

Th´eor`eme 2.1.19. Soit F une famille de fonctions sous-harmoniques sur un domaineΩdeR². Supposons queF est born´ee dansL¹_loc. Alors pour tout compact K ⊂Ω, il existe des constantes α >0 et c >0 telles que

Z

K

e^α|u(x)|dvol₂(x)≤c pour tout u∈F.

D´emonstration. Comme le probl`eme est local, on peut supposer que Ω est contenu dans un petit disque de centre 0. D’apr`es le corollaire 2.1.11, quitte `a r´eduire Ω, on peut supposer que la masse de ∆u est born´ee pouru∈F. En multipliant les fonctions de F par une mˆeme constante, on peut supposer que la masse de ∆u est born´ee par 1. En ajoutant aux fonctions de F une mˆeme constante, on peut supposer que ces fonctions sont n´egatives.

Comme dans la preuve du th´eor`eme 2.1.16, on peut ´ecrire u = u<sub>µ</sub> +v o`u µ= ∆u, v une fonction harmonique born´ee de normeL¹ born´ee et

u_µ(x) = Z

y∈Ω

1

2πlogkx−ykdµ(y).

L’´egalit´e de la moyenne implique que |v| est born´ee sur K par une constante fix´ee. Il suffit maintenant de v´erifie l’in´egalit´e dans le th´eor`eme pour la fonction u<sub>µ</sub> `a la place deu.

Rappelons qu’on a suppos´e que Ω est contenu dans un petit disque. On consid`ere seulement le cas o`uµest une mesure de probabilit´e ; le cas o`u la masse de µ est plus petite que 1 s’en d´eduit facilement. Observons que pour y ∈ Ω, l’int´egrale

Z

x∈K

e^{−logkx−yk}dvol₂(x)

est born´ee par une constante cind´ependante de y. Comme la fonctiont 7→e^t est convexe, on a d’apr`es l’in´egalit´e de Jensen

Z

K

e^uµ(x)dvol₂(x)≤ Z

y∈C

Z

K

e^logkx−ykdvol₂(x) dµ(y).

La derni`ere expression est born´ee par c. Le r´esultat s’en d´ecoule.

2.2 Fonctions p.s.h. et m´ ethode L

²

Nous consid´erons dans ce paragraphe le cas des vari´et´es complexes. D’abord, dans le cas d’une variable, en identifiant C `a R², on d´efinit ainsi les fonctions sous-harmoniques sur des ouverts de C. On a pour toute fonction u

i∂∂u= 1

2∆u(idz ∧dz).

On en d´eduit que si f est une fonction holomorphe alors

∆(u◦f) =|f⁰|²∆u.

Ainsi, si une fonction est harmonique ou sous-harmonique sur un ouvert de Celle l’est pour toute coordonn´ee complexe sur cette ouvert. Par cons´equent, la notion de (sous-)harmonicit´e est invariante par changement de coordonn´ee complexe et donc s’´etend aux fonctions sur les surfaces de Riemann.

D´efinition 2.2.1. Soient X une vari´et´e complexe (connexe) et u : X → R∪ {−∞} une fonction qui n’est pas identiquement −∞. On dit que u est pluri-sousharmonique (p.s.h.)si sa restriction `a chaque disque holomorphe dans X est soit identiquement −∞, soit une fonction sous-harmonique. Plus pr´ecis´ement, si h : D→ X est une application holomorphe sur un disque D de C, u◦h est soit identiquement −∞ soit une fonction sous-harmonique sur D. La fonction u est pluriharmonique si u et−u sont p.s.h.

Proposition 2.2.2. Soit u : X → R une fonction lisse. Alors u est p.s.h. si et seulement si i∂∂u est une (1,1)-forme hermitienne semi-positive. La fonction u est pluriharmonique si et seulement si ∂∂u = 0.

D´emonstration. La deuxi`eme assertion est une cons´equence directe de la premi`ere.

On montre la premi`ere assertion. Notons que comme u est une fonction r´eelle, i∂∂u est toujours une (1,1)-forme hermitienne.

Soit h :D →X un disque holomorphe comme dans la d´efinition pr´ec´edente.

Si w est la coordonn´ee standard sur C on a 1

2∆(u◦h)idw∧dw =i∂∂(u◦h) =h^∗(i∂∂u).

Sii∂∂uest semi-positive, on v´erifie sans difficult´e avec des coordonn´ees locales sur X que h^∗(i∂∂u) est positive. On en d´eduit que uest p.s.h.

Supposons maintenant que u ◦ h est sous-harmonique pour tout h ou de mani`ere ´equivalente, ∆(u◦h) ≥ 0 pour tout h. Fixons un point a ∈ X et ζ un vecteur tangent complexe de X en a. Il suffit de montrer que i∂∂u(a)(ζ, ζ)≥0.

Choisissons une applicationhd´efinie sur un disque Dde centre 0 telle que sa diff´erentielle envoie le vecteur tangent _∂w^∂ en 0 au vecteur ζ. L’identit´e obtenue ci-dessus montre que

i∂∂u(a)(ζ, ζ) = 1

2∆(u◦h)(0).

D’o`u l’in´egalit´e voulue.

La proposition ci-dessus permet de d´emontrer le r´esultat suivant en utilisant la proposition 2.1.8, les corollaires 2.1.11 et 2.1.12 ou les id´ees dans ces r´esultats.

2.2. FONCTIONS P.S.H. ET M ´ETHODE L² 55 Proposition 2.2.3. Soit u : X → R∪ {−∞} une fonction non-identiquement

−∞ sur une vari´et´e complexe X.

1. S’il existe une suite (u_n)n≥0 de fonctions p.s.h. sur X qui d´ecroit ponctuel-lement vers u, alors u est aussi p.s.h.

2. Si u est p.s.h. sur un ouvert X de Cⁿ, pour tout ouvert X⁰ relativement compact dans X, il existe une suite de fonctions p.s.h. lisses (u_n)n≥0 sur X⁰ qui d´ecroit ponctuellement vers u.

3. Soeint u1, . . . , um des fonctions p.s.h. sur X. Si χ: R^m →R est une fonc-tion convexe qui est croissante en chaque variable, alors χ(u₁, . . . , χ_m) est p.s.h. En particulier, max(u₁, . . . , u_m) est une fonction p.s.h.

La proposition suivante permet d’appliquer les propri´et´es des fonctions sous-harmoniques aux fonctions p.s.h.

Proposition 2.2.4. Une fonction u:X →R∪ {−∞} est p.s.h. si et seulement si elle est sous-harmonique par rapport `a tout syst`eme de coordonn´ees complexes locales sur X. En particulier, les fonctions p.s.h. sont de classe L¹_loc.

D´emonstration. Supposons que u est p.s.h. Soit z = (z₁, . . . , z_n) est un syst`eme des coordonn´ees complexes locales. On identifie donc la carte correspondante de X `a un ouvert deR²ⁿ muni des coordonn´ees (x1, y1, . . . , xn, yn) o`u xj = Rezj et y<sub>j</sub> = Imz<sub>j</sub>. Si u est lisse, un calcul direct montre que ∆u est ´egal `a deux fois la trace de la matrice des coefficients dei∂∂u. D’apr`es la proposition 2.2.2,i∂∂u est semi-positive. On en d´eduit que ∆u est positive et donc u est sous-harmonique.

Le cas g´en´eral se ram`ene au cas lisse grˆace `a la proposition 2.2.3.

On montre maintenant la r´eciproque. D’apr`es la remarque 2.1.10, la sous-harmonicit´e est une propri´et´e locale. On en d´eduit que la plurisousharmonicit´e est aussi une propri´et´e locale. On peut donc supposer que u est d´efinie sur un ouvert de C<sup>n</sup> et qu’elle est sous-harmonique par rapport `a tout syst`eme lin´eaire de coordonn´ees complexes sur Cⁿ. On montre que u est p.s.h.

Siuest lisse, l’argument utilis´e ci-dessus montre que la trace de la matrice des coefficients dei∂∂u est semi-positive pour tout syst`eme de coordonn´ees lin´eaires complexes sur C<sup>n</sup>. Fixons un point a et un syst`eme de coordonn´ees tels que la matrice associ´ee `a i∂∂u(a) soit diagonale. Pour chaque j, le changement de coordonn´ees z<sub>j</sub> 7→ λz<sub>j</sub> multiplie le j-i`eme ´el´ement de la diagonale de la matrice par |λ|⁻² et conserve les autres. La trace restant positive, on constate que i∂∂u est semi-positive et donc d’apr`es la proposition 2.2.2, u est p.s.h.

Dans le cas g´en´eral, on construit comme dans la proposition 2.1.8 une suite de fonctions lissesu_k qui d´ecroˆıt vers u. Commeu est sous-harmonique par rapport

`

a tout syst`eme lin´eaire de coordonn´ees holomorphes, il est de mˆeme pour u<sub>k</sub>. D’apr`es le cas pr´ec´edent, u_k est p.s.h. Finalement, la proposition 2.2.3 implique queu est p.s.h.

Le r´esultat suivant est une cons´equence des th´eor`emes 2.1.16 et 2.1.18.

Th´eor`eme 2.2.5. Soit (u_k) une suite de fonctions p.s.h. sur X.

1. Supposons que(u_k)est born´ee dans L¹_loc. Alors on peut extraire de(u_k)une sous-suite qui converge dansL¹_loc et aussi presque partout vers une fonction p.s.h. sur X.

2. Supposons que (u_k) est localement uniform´ement born´ee sup´erieurement.

Alors soit (u_k) converge uniform´ement sur les compacts vers −∞ quand k → ∞, soit (uk) admet une sous-suite qui converge dans L¹_loc et aussi presque partout vers une fonction p.s.h. sur Ω.

3. Si (u_k) converge dans L¹_loc vers une fonction p.s.h. u, alors on a lim sup

k→∞

u_k ≤u.

De plus, siK est un compact dansX etv une fonction continue strictement plus grande que u sur K, alors u_k< v sur K quand k est assez grand.

Th´eor`eme 2.2.6. Soit F une famille de fonctions p.s.h. sur X qui est born´ee dans L<sup>1</sup><sub>loc</sub>. Soit dvol<sub>2n</sub>(·) la forme volume associ´ee `a une m´etrique riemannienne fix´ee sur X. Alors pour tout compact K dans X il existe des constantes c >0 et α >0 telles que

u≤c sur K et Z

K

e^α|u(z)|dvol_2n(z)≤c pour u∈F.

D´emonstration. Comme F est born´ee dans L¹_loc, il n’est pas difficile de d´eduire de l’in´egalit´e de sous-moyenne que sur les compacts de X les fonctions dans F sont born´ees sup´erieurement par une mˆeme constante. Sans perdre de g´en´eralit´e, quitte `a r´eduire X, on peut supposer que ces fonctions sont n´egatives sur X et leur normes L<sup>1</sup> sont born´ees par 1. Il reste `a montrer la deuxi`eme estim´ee du th´eor`eme.

Comme le probl`eme est local, on peut supposer que K etX sont des boules de centre 0 et de rayons 1/4 et 4 de Cⁿ respectivement. Fixons une constante M assez grande. Pour toute u ∈ F, comme kuk_L¹ ≤ 1, l’ensemble {u < −M} est de petit volume. On d´eduit qu’il existe un point a ∈ K d´ependant de u tel que u(a)≥ −M. Comme K est contenu dans B(a,1), il suffit de montrer que

Z

B(a,1)

e^−αu(z)dvol_2n(z)≤c pour certaines constantes positives c etα.

En utilisant le th´eor`eme de Fubini pour la famille des droites complexes passant par a, on r´eduit le probl`eme au fait suivant pour les fonctions sous-harmoniques d’une variable.

Fait. Il existe des constantes α >0 et c >0 telles que Z

|z|<1

e^−αuidz∧dz ≤c

2.2. FONCTIONS P.S.H. ET M ´ETHODE L² 57 pour toute fonction sous-harmonique n´egativeusur le disque{|z|<3}deCavec u(0)≥ −1.

D’apr`es le th´eor`eme 2.1.16, la famille consid´er´ees dans le fait ci-dessus est compacte dansL¹_loc. L’estim´ee dans le fait est donc une cons´equence du th´eor`eme 2.1.19. Ceci compl`ete la preuve du th´eor`eme.

Corollaire 2.2.7. Toute fonction p.s.h. est de classe L^p_loc pour tout 1≤p <∞.

De plus, si une suite (uk) de fonctions p.s.h. sur X qui converge dans L¹_loc vers une fonction p.s.h. u, elle converge aussi vers u dans L^p_loc pour tout 1≤p <∞.

D´emonstration. La premi`ere propri´et´e se d´eduit de l’estim´ee exponentielle ci-dessus et du fait que e^x &x^p pourx≥0.

Pour la deuxi`eme assertion, quitte `a retrancher de uk et u une constante, on peut supposer que ces fonctions sont n´egatives surK. Fixons un compactK dans X et une constante >0. On doit montrer que

ku_k−uk_L^p_(K) ≤3

pourk assez grand. Soit M >0 une constante suffisamment grande qu’on fixera plus tard. Posons v satisfont les mˆemes propri´et´es. On d´eduit que la derni`ere somme ci-dessus est major´ee par Le premier terme tend vers 0 car u<sub>k</sub> tend vers u dans L<sup>1</sup><sub>loc</sub>. Les deux derniers termes sont plus petits quecar M est grand et les int´egrales de|uk|<sup>p+1</sup> et|u|<sup>p+1</sup> sont born´ees grˆace `a l’estim´ee exponentielle dans le th´eor`eme 2.2.6.

On termine ce paragraphe en donnant une version d’un th´eor`eme fondamental en th´eorie L². La d´emonstration de ce r´esultat ne sera pas pr´esent´ee ici. Nous contentons d’obtenir plusieurs cons´equences qui illustrent la puissance de cette m´ethode en analyse et g´eom´etrie complexes.

D´efinition 2.2.8. Une fonction lisse u : X → R est strictement p.s.h. si i∂∂u est une forme hermitienne d´efinie positive en tout point. Une fonction u : X → R∪ {−∞} est strictement p.s.h. si elle est localement la somme d’une fonction lisse strictement p.s.h. et une fonction p.s.h.

D´efinition 2.2.9. On dit qu’une vari´et´e complexe X est pseudoconvexe si elle admet une fonction u lisse strictement p.s.h. et exhaustive. La derni`ere propri´et´e signifie que pour tout c ∈ R l’ensemble {u ≤ c} est compact dans X ou encore que l’application u:X →R est born´ee inf´erieurement et propre.

Dans Cⁿ la fonction u = kzk² v´erifie cette propri´et´e. Par cons´equent, toute vari´et´e de Stein est pseudoconvexe. On verra plus tard que r´eciproquement les vari´et´es pseudoconvexes sont celles de Stein.

Consid´erons dans la suite une vari´et´e complexe pseudoconvexe de dimension n avec une fonction strictement p.s.h. lisse exhaustiveucomme ci-dessus. Fixons une m´etrique hermitienne sur X et notons dvol_2n(·) la forme volume associ´ee.

Th´eor`eme 2.2.10. Soit ϕ une fonction p.s.h. lisse sur X. Alors il existe une fonction lisse convexe croissanteχ:R→Ret une constantec >0, ind´ependantes de ϕ, telles que l’´equation ∂f =g avec g une (p, q+ 1)-forme ∂-ferm´ee donn´ee admette une solution f qui est une (p, q)-forme v´erifiant

Z

X

kfk²e^{−ϕ−χ(u)}dvol_2n ≤c Z

X

kgk²e^{−ϕ−χ(u)}dvol_2n sous l’hypoth`ese que la derni`ere int´egrale est finie.

Notons que dans le dernier ´enonc´e les formes f et g sont de classe L²_loc et l’op´erateur ∂ est d´efini au sens des courants. Lorsque la donn´ee g est lisse, on peut obtenir avec cette m´ethode une solution f lisse. Dans le cas particulier o`u q = 1 que nous allons utiliser, on a le r´esultat suivant.

Proposition 2.2.11. Soit g une (p,1)-forme lisse. Alors toute solution f de l’´equation

∂f =g

au sens des courants est d´efinie par une fonction lisse.

D´emonstration. Le probl`eme ´etant local, on peut supposer queXest un ouvert de C<sup>n</sup>. Un argument comme dans le th´eor`eme 1.1.9 permet de r´eduire le probl`eme au cas p = 0. On a que ∂∂f est une (1,1)-forme lisse car elle est ´egale `a ∂g.

On a vu que ∆f, qui est, `a une constante multiple pr`es, ´egal au coefficient de (∂∂f)∧(i∂∂kzk²)ⁿ⁻¹. Ce dernier courant est ´egal `a ∂g∧(i∂∂kzk²)ⁿ⁻¹ et donc lisse. On conclut en utilisant le corollaire 2.1.17.

On a aussi le corollaire suivant du th´eor`eme ci-dessus.

2.2. FONCTIONS P.S.H. ET M ´ETHODE L² 59 Corollaire 2.2.12. Soit X une vari´et´e pseudoconvexe de dimension n. Si g est une (p, q)-forme ∂-ferm´ee de classe L²_loc (resp. lisse) sur X avec q ≥ 1, alors il existe une (p, q−1)-forme f de classe L²_loc (resp. lisse) sur X telle que

∂f =g.

D´emonstration. (pour le premier cas) On va appliquer le th´eor`eme 2.2.10 `a une fonctionϕadapt´ee. D’apr`es ce th´eor`eme, il suffit de construire une fonction p.s.h.

lisseϕtelle queg soit de classeL²par rapport `a la mesuree<sup>−ϕ−χ(u)</sup>dvol<sub>2n</sub>. Comme la fonction χ(u) est born´ee inf´erieurement, il suffit de trouver ϕ telle que g soit de classeL<sup>2</sup> par rapport `a la mesure e^−ϕdvol_2n.

En ajoutant `au une constante, on peut supposer qu’elle est positive. Notons pourk ∈N

A_k = 1 + Z

{u<k}

kgk²dvol_2n.

Choisissons une fonction lisse croissante strictement convexeχe:R→R telle que χ(t)e ≥A_k+1+k pourt ≥k et posons

ϕ=χ(u).e

Cette fonction est lisse strictement p.s.h. On a en plus Z Le r´esultat s’en d´eduit.

Dans certains cas, on peut utiliser le th´eor`eme 2.2.10 pourϕ singuli`ere. Pour ceci, on approxime ϕ par des fonctions lisses p.s.h. C’est d’ailleurs une ´etape indispensable dans de nombreux applications de la m´ethodeL². Voici un exemple qu’on utilisera plus tard.

Th´eor`eme 2.2.13. Le th´eor`eme 2.2.10 reste valable pour toute fonction p.s.h.

ϕtelle que {ϕ=−∞} soit ferm´e et ϕ soit lisse en dehors de cet ensemble.

D´emonstration. Soitϑ une fonction convexe croissante lisse sur Rqui est ´egale `a max(·,0) hors de [−1/2,1/2]. Posons pour k ≥0

ϕ_k=ϑ(ϕ+k)−k.

C’est une suite de fonctions p.s.h. lisses qui d´ecroit vers ϕ.

D’apr`es le th´eor`eme 2.2.10, il existe des formes f_k telles que

∂f_k =g et Z

X

kf_kk²e^{−ϕk−χ(u)}dvol_2n≤c Z

X

kgk²e^{−ϕk−χ(u)}dvol_2n.

On utilise ici le fait important que c et χ sont ind´ependantes de ϕ_k. Dans la derni`ere ligne, la premi`ere int´egrale est minor´ee par une int´egrale similaire o`u on remplace ϕ<sub>k</sub> parϕ<sub>0</sub> et le seconde int´egrale est major´ee par une int´egrale similaire o`u on remplace ϕ_k par ϕ. On d´eduit que la suite (f_k) est born´ee dans L²_loc. On peut donc extraire une sous-suite qui converge faiblement vers une forme f de classe L²_loc telle que ∂f =g au sens des courants.

Pour tout ouvert Ω relativement compact dans X et toutm fix´e on a Z

Ω

kfk²e^{−ϕm−χ(u)}dvol_2n ≤ lim sup

k→∞

Z

Ω

kf_kk²e^{−ϕm−χ(u)}dvol_2n

≤ lim sup

k→∞

Z

Ω

kf_kk²e^{−ϕk−χ(u)}dvol_2n

≤ c Z

X

kgk²e^{−ϕ−χ(u)}dvol_2n. On obtient le r´esultat en prenant m→ ∞.

Dans le document Fonctions holomorphes et dynamique complexe `a plusieurs variables (Page 53-60)