Probl` emes d’´ equidistribution

3.5 Probl` emes d’´ equidistribution

Dans ce paragraphe, nous montrons l’´equidistribution des pr´eimages des points g´en´eriques et des points p´eriodiques par rapport `a la mesure d’´equilibre ci-dessus.

On a le lemme suivant.

Lemme 3.5.1. Soit E un ensemble fini de C v´erifiant f⁻¹(E) ⊂ E. Alors soit E est vide, soit E contient un seul point et co¨ıncide avec l’ensemble critique de f. De plus, si E est non-vide, il existe une coordonn´ee z sur C telle que f soit

´egale `a z^d et E ={0}.

D´emonstration. Il suffit de cpnsid´erer le cas o`uEest non-vide. On af<sup>−n−1</sup>(E)⊂ E. Donc pour n assez grand on a f<sup>−n−1</sup>(E) = f<sup>−n</sup>(E). Ceci implique que f<sup>−1</sup>(E) = E = f(E). Quitte `a remplacer f par une it´er´ee, on peut supposer que les points de E sont tous fixes. On d´eduit que f⁻¹(a) = a pour tout a ∈E.

Par cons´equent, a est un point critique d’ordre d−1 de f. Comme f admet exactement d−1 points critiques compt´es avec multiplicit´e, a est le seul point critique def. On en d´eduit que E contient au plus un point. Il existe une coor-donn´eez telle que E ={0}. Dans cette coordonn´ee, f s’´ecrit λz^d. En effectuant un changement lin´eaire de coordonn´ee, on peut avoir λ= 1.

Dans la suite, notons E l’ensemble vide si f n’a pas d’autre ensemble fini totalement invariant et E l’ensemble critique de f dans le cas contraire. On dit queE estl’ensemble exceptionnel def. C’est le plus grand sous-ensemble fini de Cqui est totalement invariant. Il a au plus un point. On a le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 3.5.2(Brolin). Soitaun point non-exceptionnel deC. Alorsd⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a) converge faiblement vers la mesure µ.

On appelle disque holomorphetout domaine simplement connexe de C. SiD est un domaine dansC, on appellebranche inverse d’ordrendeDune application bi-holomorphe g :D → D⁰ telle que fⁿ◦g = id o`u D<sup>0</sup> est un domaine de C. Le diam`etre de D⁰ s’appelle la taille de la branche inverse. Comme f : C → C est un revˆetement ramifi´e, pour chaque n, les images des branches inverses d’ordre n deD sont disjointes.

Soit PC_n l’ensemble des valeurs critiques de fⁿ. Ils v´erifient la relation PCn = PCn−1∪fⁿ(C)

o`u C est l’ensemble critique de f.

Proposition 3.5.3. Soit D un disque holomorphe tel que D∩PC_k+1 = ∅ o`u k est un entier positif. Alors D admet au moins dⁿ(1−2d^−k) branches inverses pour tout n ≥0.

D´emonstration. Soit δ_n le nombre de branches inverses d’ordre n de D. Pour n ≤ k + 1, come D ∩ PC_n = ∅, D admet le nombre maximal de branches inverses, i.e. δ_n =dⁿ.

Consid´eronsn ≥k+ 1. Soientg_i :D→D_i,i= 1, . . . , δ_n, les branches inverses d’ordren deD. Comme PC₁ contient moins dedpoints distincts, il y a au moins δn−d branches inverses gi :D→Di telles que Di∩PC1 =∅. Pour un tel i, Di

admet le nombre maximal d de branches inverses d’ordre 1. On en d´eduit queD admet au moins (δ_n−d)d branches inverses d’ordre n+ 1, i.e. δ_n+1 ≥(δ_n−d)d.

Donc

d⁻ⁿ⁻¹δ_n+1 ≥d⁻ⁿδ_n−d¹⁻ⁿ. On obtient par r´ecurrence

d⁻ⁿδn≥1−d^−k−d^−k−1− · · · −d⁻ⁿ⁺² ≥(1−2d^−k).

Ceci compl`ete la preuve de la proposition.

Proposition 3.5.4. SoitD comme ci-dessus et soitΩbD un ouvert. Soit >0 une constante positive. Alors Ω admet au moins dⁿ(1−3d^−k) branches inverse de taille ≤d^−n(1−)/2 pour n suffisamment grand.

D´emonstration. On consid`ere seulement les n suffisamment grands. On peut aussi r´eduire l´eg`erement D afin de supposer qu’il est born´e dans C. Fixons une constante R > 0 telle que |f(z)| > |z| quand |z| ≥ R. Comme n est grand, D ⊂ {|z| ≤ R} et toutes les branches inverses d’ordre n de D ont images dans {|z| ≤ R}. En particulier, la r´eunion des images des banches inverses d’ordre n de D ont un aire born´e.

On d´eduit de la proposition 3.5.3 queDadmet au moinsdⁿ(1−3d^−k) branches inverses gi : D → Di telles que area(Di) ≤ d^−n(1−/2). Observons que gi : Ω → g_i(Ω) est une branche inverse de Ω. Le lemme suivant montre que diamg_i(Ω) ≤ cd^{−n(1−/2)/2} o`uc > 0 est une constante. Commen est grand on a cd^{−n(1−/2)/2} ≤ d^−n(1−)/2. Le r´esultat s’en d´eduit.

Lemme 3.5.5. Soit D un ouvert de C et soit K un compact de D. Alors il existe une constante c > 0 telle que diam(h(K)) ≤ c[area(h(D))]^1/2 pour toute application holomorphe injective h:D→C.

D´emonstration. Comme le probl`eme est local, on se ram`ene facilement au cas o`u DetK sont des disques concentriques. Le lemme est donc une simple cons´equence de la formule de Cauchy.

Lemme 3.5.6. Soit a un point dans Ω∞. Alors d⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a)→µ.

D´emonstration. Soit u le potentiel de Newton de δ_a, i.e. u = log|z−a|. On a δ_a=dd^cuet

d⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a) = d⁻ⁿu◦fⁿ.

3.5. PROBL `EMES D’ ´EQUIDISTRIBUTION 101 SoitR >|a|tel que|f(z)| ≥2|z|quand|z| ≥R. Sur{|z| ≥R}, commeu−log|z|

est born´ee et qued⁻ⁿlog|fⁿ(z)| →G, on ad⁻ⁿu◦fⁿ →G.

Pour z ∈Ω_∞, on choisit k tel que |f^k(z)| ≥R. On a

d⁻ⁿu(fⁿ(z)) =d⁻ⁿu(f^n−k(f^k(z)))→d^−kG(f^k(z)) =G(z).

Donc d⁻ⁿu ◦fⁿ → G sur Ω∞. Comme u est born´ee sur l’ensemble invariant C\Ω_∞, on voit facilement que d⁻ⁿu◦fⁿ →0 sur cet ensemble. On constate que d⁻ⁿu◦fⁿ→G surC. D’o`u le lemme.

Pour a∈C posons

m(a) := sup

ν

kν−µk

o`u le supr´emum est pris sur toutes les limites ν de la suite d⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a). Nous avons 0≤m(a)≤2 et m(a) = 0 si et seulement si d⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a)→µ.

Proposition 3.5.7. Si a6∈PC_k+1, alors m(a)≤6d^−k. En particulier, m(a) = 0 sia 6∈ ∪_k≥0PC_k.

D´emonstration. Soit b un point dans Ω∞ tel queb 6∈PC∞. On ad⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_b)→ µ. Soit D un disque holomorphe contenant a, b tel que D∩ PC_k+1 = ∅. Soit Ωb D un ouvert contenant a, b. La proposition 3.5.4 implique que Ω admet au moins dⁿ(1−3d^−k) branches inverses d’ordre n de taille ≤ d^−n(1−)/2. Pour une telle branche inverseg_i : Ω→Ω_i, observons que Ω contient exactement un point def⁻ⁿ(a) et un point de f⁻ⁿ(b) qui sont proches car la taille de Ω_i est petite.

On s´epared⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a) etd⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_b) en deux parties : la premi`ere support´ee par la r´eunion des Ω<sub>i</sub> et la deuxi`eme support´ee par le compl´ementaire

d⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a) = ν_a,n+ν_a,n⁰ et d⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_b) =ν_b,n+ν_b,n⁰ .

Comme le nombre des branchesg_iest au moinsdⁿ(1−3d^−k) on akν_a,nk=kν_b,nk ≥ 1−3d^−k. Comme la taille de Ω_i tend vers 0 quandn → ∞, on aν_a,n−ν_b,n →0.

Par cons´equent, toute limite de la suited⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a)−d⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_b) est de masse

≤6d^−k. Finalement, commed⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_b)→µ, on constate quem(a)≤6d^−k. Fin de la d´emonstration du th´eor`eme 3.5.2. Comme chaque PCn est fini, il y a un pointa6∈E tel que

m:=m(a) = max

z∈C\Em(z).

On a

d⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a) = d⁻¹ X

b∈f⁻¹(a)

d¹⁻ⁿ(fⁿ⁻¹)^∗(δ_b), donc

m=m(a)≤d⁻¹ X

b∈f⁻¹(a)

m(b).

On d´eduit de la maximalit´e de m(a) que m(b) = m pour tout b ∈ f⁻¹(a). Par r´ecurrence, on a m(b) = m pour b ∈ f⁻ⁿ(a) et pour tout n. D’apr`es le lemme 3.5.1, ∪<sub>n≥0</sub>f<sup>−n</sup>(a) est infini car sinon il est contenu dans E. Pour tout k, cet ensemble contient un point hors de PC<sub>k+1</sub>. La proposition 3.5.7 implique que m ≤10d<sup>−k</sup> pour toutk. On en d´eduit que m= 0 et ceci compl`ete la preuve.

Dans la suite, on montre que les proints p´eriodiques r´epulsifs sont ´equidistribu´es sur l’ensemble de Julia par rapport `a la mesureµ.

Th´eor`eme 3.5.8(Fatou-Brolin).SoitP_nl’ensemble des points p´eriodiques r´epulsifs de p´eriode n. Alors

µn:=d⁻ⁿ X

w∈Pn

δw →µ.

D´emonstration. Observons d’abord que #P_n ≤ dⁿ+ 1. Donc siν est une limite de (µ_n) alors kνk ≤ 1. Soit U un ouvert connexe tel que µ(U) > 0. Il suffit de montrer que lim infµ_n(U)≥µ(U).

Fixons une constante > 0. Il suffit de prouver que µ_n(U) ≥ µ(U)− 3 pour n suffisament grand. Fixons k > 0 tel que 3d^−k < . Comme µ n’a pas de masse sur PC_k+1, on peut choisir les ouverts simplement connexes U_i tels que U₃ b U₂ bU₁ ⊂ U \PC_k+1 et µ(U₃) ≥ µ(U)−. La proposition 3.5.4 implique que U₂ admet au moins dⁿ(1−) branches inverses g_i :U₂ →D_i d’ordren et de taille ≤d^−n/2.

Observons que sin_i est suffisament grand, on a diam(D_i)<dist(U₃, bU₂) qui implique queD_i ⊂U₂ siD_i∩U₃ 6=∅. Dans ce cas, comme cons´equence du lemme de Swcharz, g_i admet un point fixe attractif unique dans D_i qui est r´epulsif pour g⁻¹_i = fⁿ. Notons Bn la famille des g_i satisfaisant la derni`ere propri´et´e. Nous avons construit #Bn points p´eriodiques r´epulsifs d’ordre n dans U<sub>2</sub>. Ces points sont distincts car ils sont associ´es aux diff´erentes branches inverses. Il reste `a montrer que #Bn≥dⁿ(µ(U)−3) pour n grand.

Fixons un point a∈U₃\E. Comme ν_a,n :=d⁻ⁿ(fⁿ)^∗(δ_a)→µ, on a νa,n(U3)≥µ(U3)−≥µ(U)−2

pourn grand. Donc le nombre des points dansf⁻ⁿ(a)\U3 est major´e par dⁿ(1− µ(U) + 2). Ceci est le fait que chaque branche de Bncontient un point def⁻ⁿ(a) implique que

#Bn ≥dⁿ(1−)−dⁿ(1−µ(U) + 2) = dⁿ(µ(U)−3).

D’o`u le r´esultat.