∂|k|f
∂zk
≤Ak!r−|k| pour toutk ∈Nn. On en d´eduit que si w est un point de Kb
∂|k|f
∂zk (w)
≤Ak!r−|k| pour tout k ∈Nn.
Par cons´equent, la s´erie enti`ere associ´ee `a f en w converge sur le polydisque de centre w et de rayon r. L’hypoth`ese sur f implique que ce polydisque doit ˆ
etre contenu dans X. On constate que dist(K, bXb ) ≥ r0. D’autre part, comme X ⊂Cn, Kb est born´e dans Cn. On en d´eduit queKb est compact.
2.4 Courants positifs ferm´ es
Chapitre 3
Dynamique des polynˆ omes et des fractions rationnelles
Ce chapitre est consacr´e `a l’´etude dynamique des polynˆomes et des fractions rationnelles d’une variable complexe. Il contient d’une part des propri´et´es de base de la th´eorie d’it´eration en dimension 1 complexe et d’autre part une introduction
`
a des notions fondamentales en dynamique comme la th´eorie ergodique et la no-tion d’entropie qui ne se limitent pas dans le cadre des applicano-tions holomorphes.
Pour la simplicit´e, nous allons nous concentrer au cas des polynˆomes et donner les commentaires pour le cas des fractions rationnelles.
3.1 Quelques notions de base
Soit f un polynˆome de degr´ed≥2 (la dynamique d’un polynˆome de degr´e 1 n’est pas int´eressante). Ce polynˆome d´efinit une application surjective deCdans C. Pour toutz ∈C, l’´equationf(w) =z admet exactement dsolutions compt´ees avec multiplicit´e. Autrement dit,les fibres f−1(z) def contiennent exactementd points compt´es avec multiplicit´e. De plus, f : C →C est un revˆetement ramifi´e de degr´e d.
D´efinition 3.1.1. Un point c est critique de multiplicit´e m si’il est solution de multiplicit´e m de l’´equation f0(z) = 0. L’ensemble des points critiques s’appele l’ensemble critique de f. Si c est un point critique, f(c) est une valeur critique def.
Comme degf0 = d−1, f admet exactement d−1 points critiques dans C, compt´es avec multiplicit´e. Le polynˆome fn:=f◦ · · · ◦f estl’it´er´ee d’ordren de f; il est de degr´edn. Il faut le distinguer avec la puissance d’ordre ndef qui est de degr´e dn. On d´efinit aussi f0(z) =z, i.e. f0 = id.
D´efinition 3.1.2. Un point p est fixe de multiplicit´e m si p est solution de multiplicit´e m de l’´equation f(z) = z. Un point p est p´eriodique de p´eriode n
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et de multiplicit´e m si p est un point fixe de multiplicit´e m de fn, i.e. p est une solution de multiplicit´emde l’´equationfn(z) =z. On dit quepestpr´e-p´eriodique s’il existe N ≥0 tel quefN(p) soit un point p´eriodique.
Il y a exactementdpoints fixes dansCcompt´es avec multiplicit´e (on verra plus tard que le point `a l’infini peut ˆetre consid´er´e comme un point fixe de multiplicit´e 1 et un point critique de multiplicit´ed−1). Comme fn est de degr´edn,f admet exactementdn points p´eriodiques de p´eriode ndans Ccompt´es avec multiplicit´e.
Notons que si p est un point p´eriodique de p´eriode n, il est aussi p´eriodique de p´eriode kn pour tout k≥1.
D´efinition 3.1.3. La suite des points O+(p) := {p, f(p), f2(p), . . .}estl’orbitedu point p. Toute suite {p−n, . . . , p−2, p−1, p0} telle que p0 =p etf(p−i−1) =f(p−i) pour 0 ≤i ≤n−1, est une branche inverse d’ordre n dep. L’orbite d’un point p´eriodique d’ordre n est appel´eeun cycle (p´eriodique) d’ordre n.
En g´en´eral, un point peut avoir plusieurs branches inverses. Les points pr´ e-p´eriodiques sont ceux d’orbite finie.
D´efinition 3.1.4. Soit pun point p´eriodique de p´eriodendef. On dit quepest 1. r´epulsif si |(fn)0(p)|>1.
2a. attractif si|(fn)0(p)|<1.
2b. super-attractif si (fn)0(p) = 0, i.e. pest aussi un point critique.
3. neutre rationnel si (fn)0(p) est une racine de l’unit´e.
4. neutre irrationnel si |(fn)0(p)| = 1 et si (fn)0(p) n’est pas une racine de l’unit´e.
L’orbite de p s’appelle respectivement cycle r´epulsif, attractif, super-attractif, neutre rationnel ou neutre irrationnel.
On montre facilement que sipest p´eriodique de p´eriode n la d´eriv´ee (fn)0(p) ne change pas si l’on utilise une autre coordonn´ee locale au point p. Les notions ci-dessus ne d´ependent donc pas de coordonn´ee.
D´efinition 3.1.5. Un sous-ensemble K de C est invariant si f(K) = K et totalement invariant si f−1(K) =K.
Il est facile de voir que si un ensemble est totalement invariant, son bord, son adh´erence et son compl´ementaire le sont aussi. Comme f est surjectif, on voit que les ensembles totalement invariants sont invariants.
Soientp0, . . . , pk−1 un cycle attractif de p´eriode minimal k. On af(pi) = pi+1
pouri= 0, . . . , k−1 avec la conventionpk =p0. Notons Ωei l’ensemble des points z tels que fnk(z) → pi et Ωi la composante connexe de Ωei qui contient pi. On appelle Ωei le bassinde pi et Ωi le bassin imm´ediat de pi.
Proposition 3.1.6. Les ensembles Ωei sont ouverts et on a f(Ωi) = Ωi+1. De plus, la suite (fnk) converge localement uniform´ement sur Ωei vers pi.
3.1. QUELQUES NOTIONS DE BASE 75 D´emonstration. Posonsλ =|(fk)0(pi)|. C’est une constante positive ind´ependante dei et strictement plus petite que 1. Fixons une constanteγ telle que λ < γ <1.
Observons que siz appartient `a un disqueUisuffisamment petit de centrepi alors dist(fk(z), pi) ≤ γdist(z, pi). En particulier, fkn(z) → pi sur Ui. De plus, on a Ωei =∪n≥0f−kn(Ui). C’est donc un ouvert.
SiK est un compact deΩei, il existeN tel quefN k(K)⊂Ui. On en d´eduit que fnk converge uniform´ement sur K vers pi. Il est aussi clair que f−1(eΩi+1) = Ωei. Commef :C→Cest un revˆetement ramifi´e, ceci implique quef(Ωi) = Ωi+1.
Notons Ω∞ l’ensemble des points z ∈ C tels que fn(z) tend vers l’infini.
C’est le bassin de l’infini. L’ensemble C\Ω∞ s’appelleensemble de Julia rempli.
On verra plus tard la justification de cette terminologie. La proposition suivante montre que l’ensemble de Julia rempli est le plus grand compact de C qui est totalement invariant par f.
Proposition 3.1.7. L’ensemble Ω∞ est un ouvert connexe totalement invariant qui contient un voisinage de l’infini. La suite (fn) converge uniform´ement sur les compacts deΩ∞ vers l’infini. L’ensemble de Julia rempliC\Ω∞ est compact totalement invariant et est aussi l’ensemble des points d’orbite born´ee.
D´emonstration. Soit K l’ensemble des points z ∈C d’orbite born´ee, i.e. la suite (fn(z)) est born´ee. Il n’est pas difficile de voir quef−1(K) =K =f(K). Comme f est de degr´e d ≥ 2, il existe une constante A > 0 suffisamment grande telle que pour |z| ≥ A, on a |f(z)| ≥ 2|z|. Ceci implique que K est compact car c’est l’intersection des compacts {z : |fn(z)] ≤ A}. Si z n’appartient pas `a K, son orbite contient des points proches de l’infini et donc elle tend vers l’infini. On en d´eduit que K = C\Ω∞. Donc Ω∞ est ouvert et totalement invariant et elle contient en plus un voisinage de l’infini.
SoitU l’ensemble des pointsz tels que |z|> A. On a Ω∞=∪n≥0f−n(U). SiL est un compact de Ω∞, pourn assez grand, on a fn(L) ⊂U. Ceci implique que (fn) converge uniform´ement surL vers l’infini.
Il reste `a prouver que Ω∞ est connexe. Notons Ω la composante non-born´ee de Ω∞. C’est un voisinage de l’infini. Comme Ω∞est totalement invariant, Ω l’est aussi. On en d´eduit que Ω∞\Ω est invariant. Cet ensemble est donc contenu dans K et on constate qu’il est vide. Ceci compl`ete la preuve.
Exemple 3.1.8. Consid´erons le polynˆome f(z) = zd avec d ≥ 2. On a fn(z) = zdn. Son ensemble de Julia rempli est le disque unit´e ferm´e. Le bassin de l’infini est l’ensemble des pointsz tels que|z|>1. Le point 0 est fixe et super-attractif.
Son bassin est le disque unit´e ouvert. C’est aussi son bassin imm´ediat. L’ensemble critique de f se r´eduit `a un point {0}. Le polynˆome f admet aussi d−1 points fixes sur le cercle unit´e. Ils sont tous r´epulsifs.