Avec ce groupe, nous travaillons les nombres décimaux, en plus de ce qui a été fait avec les groupes précédemment.
Un élève constate qu'il est plus facile d’inscrire un nombre sur le boulier que de le lire.
Pour écrire des nombres décimaux, un élève place sa boule au milieu de la tige et fait comme si sa boule est « mi-activée ». Une unaire activée vaut « 1 », c'est pourquoi il pense qu'une boule
« mi-activée » vaudrait « moins que 1 ». Une autre élève dit qu'un nombre décimal est un nombre comportant une virgule comme on en trouve au magasin quand on fait des courses. Un autre rétorque qu'ils ont vu ces nombres avec leur enseignant, par exemple quand ils ont mesuré la classe. Après avoir discuté sur le nombre décimal et sa potentielle représentation, je montre aux élèves comment on représente les nombres décimaux sur un boulier. Les élèves sont concentrés et ont hâte de pouvoir inscrire des nombres. Ensemble, nous décidons que les trois dernières tiges seront consacrées à la partie décimale du nombre. Les difficultés principales des élèves consistent à séparer distinctement la partie entière de celle décimale. Des élèves écrivent le nombre entier sur les tiges de droite, puis le nombre décimal sur les tiges qui suivent (à gauche). Pour inscrire « 15,37 », les élèves ont besoin de temps. Un élève fait une inversion et inscrit sur le boulier « 51,37 » alors qu'un autre « 55,37 ». Une des erreurs pourrait provenir de la confusion de la valeur de l'unaire et de la quinaire. Un autre inscrit « 37,15 ».
Pour les aider, j'écris sur un papier le nombre et aligne les chiffres à chaque tige correspondante.
35 Nombre à inscrire sur le boulier : 15,37
Certains élèves inscrivent le nombre ainsi :
55,37 51,37 37,15
Nous utilisons donc un crayon qui permet visuellement de séparer les deux parties. Une autre difficulté concerne les « 0 », par exemple pour inscrire « 3,04 ». D'ailleurs, on le remarque clairement quand il faut comparer deux nombres : « 3,04 » et « 3,4 ». Pour certains, il s'agit du même nombre. Un élève rétorque que la partie entière est effectivement égale, mais qu'ensuite, il faut voir le « numéro » qui suit (le chiffre des dixièmes). Il explique à ses camarades que « 4 » est plus grand que « 0 », dans le sens que « 4 dixièmes sont plus grands que 0 dixième ». Cependant, un pair fait remarquer qu'il y a un « 4 » dans « 3,04 ». Mais il s'agit pour l'élève qui a donné la réponse du chiffre des centièmes qui est beaucoup plus petit. Se représenter qu’un centième est plus petit par rapport à un dixième n'est pas chose aisée pour les élèves.
Pour certains élèves, je donne une feuille d'exercices où ils doivent comparer des nombres décimaux (sans le boulier). Une semaine plus tard, après avoir travaillé avec le boulier, les élèves font exactement la même fiche (sans s'en rendre compte) et font moins de fautes ou au moins le même nombre (avec la possibilité d'utiliser le boulier).
36 Plus tard, je demande aux élèves de comparer les nombres à virgules proposés sur le même boulier en inscrivant un nombre sur la partie droite et l'autre sur la partie gauche. Je me rends compte cependant que l'utilisation de deux bouliers est plus facile qu'un seul.
Entretemps, je vois qu'un élève s'amuse à écrire un grand nombre à virgule et me dit qu'il ne sait pourtant pas le « nommer ».
Nous comparons « 0,303 » et « 0,33 ». Les élèves me disent que la partie entière est égale. Alors nous nous concentrons sur la partie décimale et un élève rétorque que le chiffre des centièmes est plus élevé pour « 0,33 » par rapport à « 0,303 ». Je demande ensuite si « 0,33 » a la même valeur que « 0,330 ». La première réponse d'un élève est que « 0,330 » est évidemment plus grand que « 0,33 ». Il réfléchit un moment puis se corrige. Une autre élève dit ne rien comprendre.
Je demande ensuite que les élèves comparent les nombres en inscrivant les nombres sur la gauche et la droite du boulier. Je me rends compte cependant qu'il est plus facile de comparer des nombres décimaux sur deux bouliers différents, car les élèves peuvent aligner les bouliers.
Lors des suites successives, je demande aux élèves de partir de « 7,6 » et de continuer les sauts d'un dixième. Tous n'ont tout d'abord pas compris comment faire, mais un camarade donne le premier nombre. Il dit qu'après « 7,6 », il y a « 7,7 ». Une autre élève dit alors qu'ensuite vient
« 7,8 », puis « 7,9 », puis « 7,10 ». Certains acquiescent, surtout les élèves en difficulté, mais un camarade infirme. Ce n'est pas ça : il annonce « 8 ». Il prend l'exemple de la monnaie : « si j'ai 7 francs 90 et que j'ajoute 10 centimes, j'ai 8 francs et pas 7 francs et 10 centimes ». Cet exemple est concret mais il n'est pas forcément facile car il combine deux unités de mesure : les francs et les centimes.
Un élève demande alors si on peut faire cet exemple sur le boulier, ce que je confirme. Les élèves inscrivent « 7,6 » sur le boulier. Je demande ce que représente un dixième sur le boulier et comment on avance d'un dixième. Certains élèves ne savent pas comment le représenter mais un élève parvient à montrer que c'est « une boule sur la tige des dixièmes ». Donc une élève qui semble maintenant comprendre propose d'avancer à chaque fois une boule. Les
37 élèves procèdent ainsi et se rendent compte qu'il y a quelque chose de spécial. On ne peut plus avancer un dixième sur une des tiges, mais une élève rétorque alors qu'il faut simplifier et faire des échanges comme on a fait lors de précédents exercices. Un élève échange les cinq unaires de la première tige et ajoute une quinaire de cette même tige (« -1-1-1-1-1+5 ») tandis qu'une autre élève ajoute directement une unaire sur la tige suivante et enlève toutes les boules de la première tige (« -1-1-1-1-1-5+10 »). Cette élève-ci passe directement à la forme simplifiée.
Lorsque les élèves lisent le nombre, ils ont « 8 » ou « 8,0 » et pas « 7,10 » comme certains l'avaient dit. Un élève avoue que le boulier l'aide à voir ce qu'il se passe.