Narration 6 – Sixième séance (en collectif - en demi-classe)
V. Analyse des données
L'utilisation du boulier par les élèves laisse entrevoir des lacunes importantes liées à certaines notions mathématiques mais montre également que les élèves se posent de nombreuses questions sur la numération à travers des activités proposées « à la manière du jeu de tâches ».
Pour l’analyse des données, je me baserai principalement sur les narrations, notamment sur des points saillants de celles-ci. Dans un premier temps, je regarderai quelles ont été les principales difficultés sur la numération, rencontrées par les élèves. Ensuite, je mettrai en avant les notions acquises par ceux-ci, mais également les questionnements soulevés par les élèves au sujet de la représentation du nombre à travers l’utilisation du boulier, qu’ils soient d’ordre purement mathématique ou même philosophique. Ces deux premiers gros chapitres permettront de dégager et de comprendre les procédures utilisées par les élèves. Ainsi, je soulèverai par la suite ce que le boulier peut amener aux élèves pour combler les difficultés mathématiques et proposerai des activités permettant d'y remédier mais aussi de réfléchir sur la représentation du nombre.
Difficultés rencontrées par les élèves dans notre système de numération
Les difficultés rencontrées par les élèves lors des expérimentations tournent autour de trois grands thèmes découpés de la manière suivante : les grands nombres, la décomposition des nombres ainsi que les nombres décimaux. De ce fait, je m’intéresserai dans les sous-chapitres suivants aux différents types d’erreurs tout en observant les procédures engagées par les élèves. Les éléments saillants des narrations seront le point d’ancrage pour interpréter ces erreurs.
Difficultés pour les grands nombres
Le travail des grands nombres s’est fait en particulier avec trois groupes de l’expérimentation.
Dans chacun d’entre eux, les élèves ont présenté des difficultés quant aux grands nombres.
C’est pourquoi j’ai relevé les moments dans les narrations 1 et 5 où ces difficultés surgissent de manière notoire et propose ci-dessous un tableau récapitulatif des moments saillants qui permettront ensuite d’interpréter les données récoltées.
49 Narration 1 (groupe fort) - cf. pp.29-30
Moment 1 Les élèves écrivent facilement les nombres inférieurs à 1000.
Moment 2 Les élèves prennent plus de temps pour écrire les grands nombres supérieurs à 10’000 ; certains pensent que c’est difficile voire impossible de le faire ; ils avouent que nommer, inscrire et se représenter les grands nombres est une tâche ardue.
Moment 3 Pour que les élèves comprennent, l’expérimentateur doit apporter des explications supplémentaires en séparant chaque tige par rapport à son rang : unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers, centaines de milliers…
Narration 5 (autre groupe hétérogène) - cf. p.38
Moment 1 Les élèves ont besoin de plus de temps pour écrire 15'334 que 588. Certains ont de la peine à se représenter et à inscrire les grands nombres.
Moment 2 L’expérimentateur écrit les nombres sur papier pour que les élèves les visualisent plus facilement.
Moment 3 Voici différentes inscriptions d’élèves sur boulier pour « 15’334 » : - « 50'334 »
- écriture du nombre non simplifiée
Voici différentes inscriptions d’élèves pour « 935'247 » : - « 935'000’247 » dans le nombre). Ces trois types d’erreurs sont interprétés ci-dessous.
Erreurs liées à la combinaison
Lors de l'expérimentation (Narration 1), j'ai proposé oralement aux élèves d'inscrire sur le boulier des nombres comme 1, 3, 12, 25, 134. Pour des nombres à trois chiffres, les élèves ont réussi à les inscrire sans trop de difficultés. A partir du moment où j'ai demandé des nombres comportant des milliers, certains élèves sont restés bloqués sur la manière de l'écrire. Même les
50 élèves faisant partie du groupe fort ont dit dans un premier temps qu'il était impossible de représenter le nombre 15'853. Plus tard, ils ont tenté de le faire mais de manière erronée, en inscrivant 50'000. Prenons un autre exemple qui illustre la difficulté des élèves pour les grands nombres (Narration 5). Pour 935'247, un élève a inscrit le nombre sur neuf tiges du boulier de la manière suivante : 935 ' 000 ' 247. Une autre camarade l'a inscrit ainsi : 9 ' 351 ' 000 ' 247. A noter que plusieurs élèves ont fait ces types d'erreurs.
Inscriptions erronées de 935'247 :
935 ' 000 ' 247 9 ' 351 ' 000 ' 247
Inscription correcte de 935'247
Il s'agit d'une erreur syntaxique. Les élèves ont utilisé une stratégie de traitement terme à terme de ce qu'ils ont entendu, du moins partiellement. Plus précisément, la classe des unités a été correctement inscrite comme nous pouvons le voir pour « 247 ». S'ils avaient fait une erreur syntaxique, ils auraient inscrit « 200 40 7 ». Il en est de même pour « 935 » qui aurait pu prendre cette forme : « 900 30 5 ». Ceci montre un peu plus que les élèves maîtrisent les nombres inférieurs à 1000. L'erreur syntaxique apparaît dès que les élèves doivent inscrire des nombres appartenant à la classe des milliers. Les inscriptions erronées ci-dessus appuient notre
51 argument. Les élèves ont entendu « neuf cent trente-cinq mille deux cent quarante-sept ».
Certains élèves ont découpé ce nombre en deux voire en trois en le traitant terme à terme et les ont combinés :
« neuf cent trente-cinq mille » + « deux cent quarante-sept »
935 ' 000 + 247 = 935 ' 000 ' 247
« neuf cent trente-cinq » + « mille » + « deux cent quarante-sept »
935 + 1000 + 247 = 9 ' 351 ' 000 ' 247 On peut également imaginer que les élèves ont commis une erreur liée au rôle et à la place du zéro que j'aborderai plus tard.
Par les exemples ci-dessus, on peut confirmer l'hypothèse selon laquelle les élèves maîtrisent les nombres du moment où ils ne dépassent pas « 1'000 », mais que la difficulté s’accentue dès qu'ils doivent écrire des nombres liés aux milliers et encore plus aux millions. Cette inscription montre bien un non-acquis des grands nombres de la part des élèves. Dans le PER, il s'agit pourtant d'une compétence que l'élève doit avoir en fin de 6P comme il est indiqué pour le
« passage du mot-nombre (oral ou écrit) à sa décomposition en unités, dizaines, centaines »6. L’élève doit savoir écrire un nombre inférieur à 1'000'000 au plus tard avant la fin de la scolarité primaire.
Pour aider les élèves à inscrire « 928 ' 124 ' 567 », j'ai noté le nombre dicté sur une feuille.
Même noté sur la feuille, il a été difficile pour quelques élèves de l'inscrire, c'est pourquoi j'ai dû écrire au-dessus de chaque tige le chiffre correspondant à sa classe : au-dessus de la classe des millions sur les 9e, 8e et 7e tiges, j'ai noté respectivement « 9 », « 2 » et « 8 » ainsi de suite.
6MSN 22 — Poser et résoudre des problèmes pour construire et structurer des représentations des nombres rationnels… (PER)
52 Erreurs liées au traitement du nombre
Certains élèves ne sont pas parvenus à traiter tout le nombre en laissant des « oublis » (Narration 5). Pour « 233'043 », un élève a inscrit « 231'043 » en omettant « trois mille » dans son nombre. D'autres ont eu besoin que le nombre soit répété à cinq reprises pour pouvoir l'écrire correctement.
Inscription erronée : 231'043 Inscription correcte : 233’043
Plus le nombre est grand, plus un élève prend du temps pour le traiter. L’élève a parfois besoin que le nombre lui soit répété pour traiter chaque chiffre du nombre en fonction de son rang de manière correcte. Suivant la « longueur » du nombre, cet exemple montre aussi qu’un élève peut omettre une partie du nombre.
Erreurs liées au zéro
Pour inscrire « 34'048'902 », certains élèves ont omis le « 0 » pour le chiffre des centaines de milliers en le notant de la manière suivante : « 3'448'902 » (Narration 5).
Inscription erronée : 3'448’902 Inscription correcte : 34’048’902
Il est intéressant de voir que le « 0 » du chiffre des dizaines a été relevé alors que l'autre « 0 » pas. Cela renforcerait l'hypothèse selon laquelle les élèves rencontrent des difficultés dès que les nombres sont grands et dès qu’un ou des zéros sont présents.
53 Difficultés pour la décomposition du nombre et les retenues sur les opérations
Intéressons-nous plus précisément à la décomposition du nombre. Une observation que je fais avec les élèves est que ceux-ci ont beaucoup de mal à décomposer des nombres, à faire des liens entre les nombres notamment leur rapport. Beaucoup d'élèves n'ont aucune idée que 24 est le double de 12 ou qu'il se décompose en « 20 + 4 ». Pour diviser un nombre à trois chiffres par « 2 » ou « 3 », les élèves ne décomposent que très rarement le dividende comme pour
« 366 = 300 + 60 + 6 ». Pourtant, savoir décomposer un nombre faciliterait fortement les calculs que ce soit pour le calcul mental et le calcul réfléchi.
On peut remarquer précisément cette difficulté quand les élèves doivent faire des petites additions et où ils sont amenés à décomposer les termes pour rendre le calcul plus facile et réalisable sur le boulier (Narration 5) :
« D'autres élèves proposent alors de faire « 8 + 4 ». Les élèves inscrivent « 8 », ajoutent « 5 » et enlèvent « 1 ». Une élève enlève « 2 » et se rend compte de son erreur.
Lorsque les élèves doivent additionner « 44 + 99 », un élève note seulement « 100 » et enlève 1 mais oublie « 44 ». Un autre élève fait « 104 + 40 » mais a l'impression que son résultat est incorrect. Un autre élève propose 40 + 4 + 90 + 9, essaie de le faire sur le boulier mais se dit bloqué. Il met « 4 » (quatre unaires sur la 1ère tige) puis « 40 » (quatre unaires sur la 2e tige) et ajoute « 50 » (une quinaire sur la 2e tige) et « 10 » (une unaire sur la 2e tige). Il avoue que ce n’est pas suffisant. Il essaie de tête et dit de manière erronée « 133 ».
Même avec des nombres qui semblent abordables pour des élèves de 7P, décomposer un nombre est difficile, qu’il faille le faire pour effectuer une addition, pour un calcul mental ou, comme il a été vu précédemment, pour décomposer un grand nombre.
Difficultés pour les nombres décimaux
A travers les différentes activités proposées aux élèves sur les nombres décimaux, j'ai remarqué que ceux-ci ont encore des difficultés dans ce thème. Les difficultés principales pour les élèves sont de séparer distinctement la partie entière et décimale ainsi que de connaître la position
54 des unités lorsqu'il faut inscrire un nombre décimal. Pour inscrire « 15,37 », les élèves commettent les erreurs suivantes (Narration 4) :
Nombre à inscrire sur le boulier : 15,37
Certains élèves inscrivent le nombre ainsi :
55,37 51,37 37,15
Un élève fait une inversion et inscrit sur le boulier « 51,37 » alors qu'un autre « 55,37 ». Pour ce dernier, une des erreurs pourrait provenir de la confusion de la valeur de l'unaire et de la quinaire. Pour « 51,37 », on peut imaginer que l'élève a correctement inscrit la partie décimale mais qu'il a ensuite inversé les chiffres « 1 » et « 5 » de la partie entière de manière involontaire. On peut également émettre l'hypothèse qu'il a du mal à situer la position des unités dans un nombre décimal.
Un autre camarade, comme d'autres pairs, inscrivent « 37,15 ». Ces élèves posent la partie entière du nombre sur les tiges de droite, puis la partie décimale sur les tiges qui suivent (à gauche). Les élèves connaissent le sens de la virgule en tant que séparateur des parties entière et décimale. Même si on peut imaginer que certains élèves l'auraient écrit correctement sur papier, l'inscription inversée sur le boulier (totale inversion de la partie décimale et entière du nombre décimal) reflète une certaine fragilité dans la construction du nombre décimal comme écriture positionnelle. Il s'agit là d'un point à renforcer.
55 Acquis/compétences des élèves
Lors des expérimentations, certains élèves ont déjà des acquis liés aux divers thèmes abordés.
Concernant les nombres décimaux, nous avons constaté que les élèves ont des difficultés à les représenter et les inscrire, mais il y a aussi des acquis chez certains d'entre eux. Pour écrire un nombre décimal (Narration 4), un élève a placé sa boule au milieu de la tige et a fait comme si sa boule était « mi-activée ». Une unaire activée vaut « 1 » et les boules non activées valent
« 0 », c'est pourquoi il a pensé qu'une boule « mi-activée » vaudrait « moins que 1 ». Cette remarque montre que l'élève a acquis la notion de nombres décimaux, car pour inscrire la partie décimale de son nombre, il a besoin de la représenter de manière que son inscription soit comprise entre 0 et 1.
Toujours concernant les nombres décimaux, lorsque nous avons effectué la tâche sur les suites successives, un élève a fait le lien entre l’activité et l’utilisation dans la vie courante en prenant l’exemple de la monnaie.
« Lors des suites successives, je demande aux élèves de partir de « 7,6 » et de continuer les sauts d'un dixième. Tous n'ont tout d'abord pas compris comment faire, mais un camarade donne le premier nombre. Il dit qu'après « 7,6 », il y a « 7,7 ». Une autre élève dit alors qu'ensuite vient « 7,8 », puis « 7,9 », puis « 7,10 ». Certains acquiescent, surtout les élèves en difficulté, mais un camarade infirme. Ce n'est pas ça : il annonce « 8 ». Il prend l'exemple de la monnaie : « si j'ai 7 francs 90 et que j'ajoute 10 centimes, j'ai 8 francs et pas 7 francs et 10 centimes ».
Ce passage montre que l’élève a la capacité d’effectuer un transfert entre le moment de l’activité qui semble a priori purement technique (que se passe-t-il si je passe de 7,8 puis 7,9 et ensuite ?) et une illustration de cette technique par un exemple concret qui fait davantage sens aux élèves (à savoir la monnaie).
En outre, au moment où les élèves ont effectué de petites additions avec le boulier, une partie de la classe ne savait pas comment effectuer « 4 + 8 » sur le boulier. Or, un élève a proposé de faire « 8 + 4 » grâce au principe de commutativité de l’addition. Cet acquis d’un élève a permis un échange entre élèves et de faire avancer la tâche pour des additions plus compliquées.
56 Un autre exemple qui montre une certaine compétence dans le domaine numérique a été celui où un élève a expliqué, lors de l’activité pour trouver le plus grand nombre, qu’il faut multiplier par 10 à chaque fois qu’on passe à la tige supérieure. Il connaît donc l’ordre des nombres en multipliant correctement : comme l’ensemble des boules activées de la première tige du boulier vaut 15, celui de la deuxième tige vaut 15 x 10 qui est égal à 150, puis celui de la troisième 150 x 10 qui est égal à 1500 et ainsi de suite. La démarche écrite proposée par l’élève illustre le propos (cf. Annexes).
Ces quelques exemples (non exhaustifs) des acquis des élèves permettent de mieux comprendre les procédures de ceux-ci et d’envisager des relances pour les pairs qui auraient davantage de difficultés. De plus, certaines compétences d’élèves s’avèrent parfois surprenantes pour l’expérimentateur lui-même qui s’en enrichit.
Questions d'ordre mathématique et philosophique soulevées par les élèves
Lorsque j’ai demandé aux élèves d’inscrire le plus grand nombre possible sur le boulier, les élèves se sont pris au jeu : ils ont manipulé le boulier en émettant plusieurs hypothèses et en expliquant leur raisonnement (Narration 6) :
Certains ont dit qu’il était impossible de le savoir ; d’autres qu’ils ne connaissaient pas ce qu’ils appelaient par le « nombre maximum » ; d’autres ont compté le nombre de tiges du boulier et annoncé, après avoir compté 13 tiges, que le nombre est « cinq avec 13 zéros » ; pour d’autres, comme la première tige vaut « 15 » avec toutes les boules activées, chaque tige devrait se terminer par « 5 », un élève ajoutant à la proposition de ses camarades que le nombre le plus grand est donc « 13 fois 5 ».
Il est intéressant de voir que chacun fait sa proposition et développe son raisonnement sur l’inscription du plus grand nombre sur le boulier. Certains élèves écoutent la démarche et valident ou invalident celle-ci. Certains ajoutent même un complément à la procédure donné par leurs pairs. On voit pour cette activité que les élèves s’intéressent non seulement à la manière d’inscrire sur le boulier le plus grand nombre, à expliciter leur raisonnement mais se
57 posent des questions qui vont au-delà de la tâche demandée (trouver le plus grand nombre sur le boulier). En effet, ils se demandent comment nommer ce grand nombre, si ce nombre existe réellement, si le nombre le plus grand vaut l’infini. Le concept d’infini n’était pas un objectif visé, mais il s’agit d’une notion tout à fait pertinente et qui semblait fasciner une partie des élèves. A noter qu’il en est de même lorsque l’on travaille sur les nombres décimaux, car un élève a dit pouvoir écrire un grand nombre à virgule sans pour autant le nommer.
A la fin de la tâche, les élève veulent absolument savoir comment on lit le grand nombre, ce qui montre une envie de poursuivre cette activité de mathématiques, de réfléchir sur des concepts mathématiques qui, par un exercice purement papier-crayon, auraient pu être plus vite abandonnés par les élèves. Par le jeu de tâches, la carte de jeu « le plus grand nombre » a semble-t-il permis aux élèves d’explorer celui-ci et de les motiver à trouver ce nombre, à se poser des questions mathématiques mais également philosophiques sur les mathématiques.
Propositions d’activités
Dans ce chapitre, je proposerai des activités pour travailler les trois grands thèmes que j’ai sélectionnés : les grands nombres, la décomposition du nombre et quelques opérations ainsi que les nombres décimaux. Cette sélection se base sur un mélange entre des activités proposées par le groupe MARENE et des activités que j’ai proposées aux élèves lors de mon expérimentation. De plus, les activités sont proposées et analysées sur la base de la théorie des situations didactiques et sur celle du jeu de tâches. Cette dernière sera autant que possible mise en avant avec des cartes de jeu.
Proposition d'activités pour travailler les grands nombres
Comme il a été vu un plus haut, la difficulté des grands nombres aurait pu être constaté en demandant aux élèves d'écrire simplement des grands nombres sur une feuille. On peut également imaginer qu'un autre boulier reposant également sur le système de position décimal par exemple le boulier russe aurait permis de déceler ces lacunes et aurait permis de les
58 résoudre. Or, le boulier chinois, par sa taille et par le nombre de tiges notamment, permet de séparer les différentes classes assez facilement.
Premièrement, il est important de revoir sur le boulier l'inscription économique des nombres allant jusqu'à 1000, à savoir celle qui utilise le moins de boules. Une proposition est de masquer les tiges inutilisées pour permettre à l'élève de se concentrer sur l’essentiel : les trois tiges dont il se servira potentiellement. Voici un exemple de nombres : 37, 491 ou 862.
37 491 862
La question peut être posée de la manière suivante : Comment inscrire « 37 » sur le boulier ? Et
« 491 » ? Et « 862 » ?
En masquant les tiges inutilisées :
ou
37 491 862
Une fiche exercice a été publiée par le groupe MARENE (cf. Annexes) et va dans le même sens de ce que propose, ce qui me conforte dans mon choix d’activité. La fiche permet d’inscrire des nombres inférieurs à 1000 et met également l’accent sur la décomposition du nombre inscrit sur le boulier, la décomposition économique de celui-ci, l’écriture chiffrée et l’écriture en lettres. Contrairement à la fiche, mon activité se veut plus « manipulatoire » et expérimentale, dans le sens où les élèves peuvent manipuler le plus possible le boulier et peuvent également interagir avec l’enseignant et/ou les camarades.
59 Une fois que les élèves maîtrisent les nombres allant jusqu'à 999, il est possible de se concentrer sur les trois tiges suivantes, celles qui concernent la classe des milliers. Il importe de
« nommer » les tiges, car certains élèves ont du mal à le faire : la quatrième tige est celle des milliers, la cinquième celle des dizaines de milliers et la sixième celle des centaines de milliers.
Ainsi dans la même idée que l'activité précédente, des nombres ne dépassant pas le million peuvent être proposés. De ce fait, masquer les tiges utilisées est préférable. Seul les six premières tiges sont donc mises à disposition. De plus, un crayon ou autre objet fin et long peut être placé entre les troisième et quatrième tiges de façon à bien séparer les classes des unités et les classes des milliers afin d'aider les élèves en difficulté. Le marqueur peut ainsi être lu
« mille ». Le nombre dicté pourra en quelque sorte être séparé en deux : ce qui est prononcé
« mille ». Le nombre dicté pourra en quelque sorte être séparé en deux : ce qui est prononcé