J'explique le fonctionnement du boulier aux élèves. Quelques tâches semblables sont effectuées. Une élève a un peu de peine pour écrire certains nombres, parce qu'elle tient le boulier trop loin d'elle. Une autre élève fait remarquer que le boulier chinois est différent de ce que l'on a en Suisse.
Lorsque nous inscrivons le nombre « 10 », certains élèves constatent qu'il est possible de le faire de plusieurs manières. Les élèves sont amenés à inscrire d'autres nombres tels que 23, 66, 135, 2471... et il est intéressant de voir que les élèves les inscrivent parfois avec la façon économique et d'autres avec la façon qui utilise plus de boules. On voit ici que les élèves décomposent le nombre.
Plus tard, je demande aux élèves de réaliser des additions : « 2 + 2 » sans faire le calcul de tête mais en l'effectuant sur le boulier. Les élèves inscrivent « 2 » puis on ajoute 2 unaires, puis « 2 + 3 ».
Et pour « 2 + 4 » ? Certains élèves constatent qu'ils sont bloqués. Comment arrive-t-on à « 6 » ? Une élève propose d'activer une quinaire et d'enlever une unaire. Je répète la procédure exacte de l'élève pour les autres.
38 Et pour « 8 + 7 » ? Comment faire « + 7 » sur le boulier ? Un élève répond « + 5 + 2 ». Y aurait-il une autre manière ? Les élèves prennent beaucoup de temps pour réfléchir, c'est pourquoi je suggère de travailler avec « 10 ». Une élève clame alors « + 10 – 3 ».
Si je vous dis de faire « 8 + 99 » ? Une élève propose directement « + 100 – 1 ».
Ensuite, je propose à un élève de faire le calcul sur papier et à un autre de le faire sur le boulier :
« 5 + 98 » et « 123 + 99 ». L'élève utilisant le boulier a réalisé les opérations plus rapidement et correctement. Celui qui a utilisé le boulier a dit qu'il pouvait « voir l'opération ».
A la fin de la séance, les élèves ont trouvé l'activité trop courte et auraient aimé travailler davantage sur le boulier.
Quelques jours plus tard, je reprends le dernier groupe avec lequel j'ai travaillé. Je demande de me restituer ce qu'il se souvient du boulier. On fait le rappel sur la manière d'activer un nombre.
Quelques élèves se trompent au début. Les élèves ajoutent que l'on peut y faire des additions, qu'il y a plusieurs manières d'écrire certains nombres. Petit à petit, les élèves inscrivent des nombres avec rapidité : « 23 », « 1234 », « 588 » … Lorsque « 15'334 » est proposé, les élèves ont besoin de plus de temps. Je l'écris donc sur une feuille pour qu’ils le visualisent. Un élève écrit « 50'334 » ; un autre l'écrit de manière non simplifiée. Pour « 935'247 », un élève inscrit le nombre sur neuf tiges du boulier de la manière suivante : « 935 ' 000 ' 247 ». Une autre camarade l’inscrit ainsi : « 9 ' 351 ' 000 ' 247 ». A noter que plusieurs élèves ont fait ces types d'erreurs. D’autres inscrivent les nombres de la sorte : pour « 233'043 », un élève a besoin que le nombre lui soit répété plusieurs fois et inscrit « 231'043 » ; pour « 34'048'902 », certains élèves posent « 3'448'902 ». Nous poursuivons avec « 47'518 », ce que les élèves parviennent finalement à effectuer sur le boulier.
Plus tard, nous nous intéressons aux échanges que permet de faire le boulier. Par exemple, que se passe-t-il quand 2 quinaires sont activées sur la même tige ? A partir de cette question, un élève se demande l'utilité de l'échange (qu'il peut le faire de tête) ; un autre demande comment on fait l'échange si ce sont les quinaires de la dernière tige qui sont activées. Un élève dit que s'il y a 5 unaires activées, on peut les descendre et activer une quinaire. Un élève propose une
39 astuce à laquelle je n'ai pas forcément pensé : il retire 5 unaires et une quinaire et active directement une unaire sur la tige supérieure. Les élèves trouvent cette activité compliquée.
Je demande aux élèves d'effectuer « 4+8 ». Un élève se base sur le résultat de tête et inscrit ensuite le nombre. « 4+8 » est difficile à réaliser sur le boulier sans décomposer. Un élève dit que c’est impossible. Une autre élève propose « d'ajouter 10 et enlever 2 » et fait la démonstration à ses camarades.
D'autres élèves proposent alors de faire « 8+4 ». Les élèves inscrivent « 8 » ajoutent « 5 » et enlèvent « 1 ». Une élève enlève « 2 » et se rend compte de son erreur.
Lorsque les élèves doivent additionner « 44 + 99 », un élève note seulement « 100 » et enlève 1 mais oublie « 44 ». Un autre élève fait « 104 + 40 » mais a l'impression que son résultat est incorrect. Un autre élève propose 40 + 4 + 90 + 9, essaie de le faire sur le boulier mais se dit bloqué. Il met « 4 » (quatre unaires sur la 1ère tige) puis « 40 » (quatre unaires sur la 2e tige) et ajoute « 50 » (une quinaire sur la 2e tige) et « 10 » (une unaire sur la 2e tige). Il avoue que ce n’est pas suffisant. Il essaie de tête et dit de manière erronée « 133 ».
Suit alors une addition de tête : « 33 + 99 ». Le résultat est donné correctement pas les élèves : 33 + 100 - 1 = 132. Je poursuis par « 37 + 97 ». Cependant, un élève dit avoir besoin du boulier pour effectuer cette opération.
Il inscrit donc « 37 » mais est bloqué car il aimerait enlever 3 unaires, mais il ne peut en enlever que 2 sur le boulier. Il réfléchit un peu et enlève une quinaire qui vaut 5 et ajoute 2. Je le félicite d'avoir décomposé de cette manière.
Nous poursuivons avec « 55 + 97 » de tête. La réponse est correcte : « 152 ». Un élève doit expliquer son raisonnement mais se trompe en trouvant 142, puis 143. Alors il utilise le boulier pour expliquer sa démarche.
Et pour « 123 + 137 » ? La réponse est correcte. Je propose une addition plus difficile avec l'obligation de simplifier le résultat. Un élève trouve le résultat mais sans simplifier, un autre met plus de temps. Alors il me montre sa démarche : 123 + 100 + 30 + 5 + 2 = 260
40 Nous enchaînons ensuite par une activité de calcul mental : « 13 + 15 + 12 + 60 + 22 ». Un élève répond « 122 » alors qu'un autre dit « 132 », Nous vérifions à l'aide du boulier. L'élève se rend de son erreur : au lieu de « 40 » il avait calculé « 50 ».
Pour réaliser la soustraction « 122 – 8 », une élève propose de retirer une dizaine. Elle continue en ajoutant « 5 » (une quinaire) mais constate qu'elle doit ajouter plutôt « 2 ». Pour « 114 – 9 », je leur suggère de décomposer « 9 » comme il a été fait précédemment. Un élève crie « 123 ».
Un autre propose d'enlever « 10 » et d'enlever « 1 » puis se corrige en disant ajouter « 1 ».
Je dicte un dernier calcul : « 100 + 300 (un élève inscrit 30) + 100 + 1000 - 300 (jusque-là, il n'y a pas de souci) - 150 (les élèves veulent déjà retirer 100, ce qui est correct. Ils ne savent pas comment retirer 50 étant donné qu'il n'y a qu'une unaire sur la tige des milliers qui est activée.
Je leur propose de décomposer. Ils font « -100 + 50 – 45 » (un élève ajoute 50 et retire 5 mais je lui annonce qu'il s'agit du contraire) - 3 (les élèves retirent sans souci 3 unaires) - 3 (une élève veut enlever 1000 mais il faut enlever 3. Etant donné que l'opération sur le boulier prend du temps, je leur dis qu'ils peuvent le faire de tête si besoin.)
A la fin de la séance, les élèves demandent de faire un petit défi « boulier contre calcul de tête » et comment on fait pour simplifier.
Voici le petit concours « boulier contre tête » : je précise que je souhaite le bon résultat et qu'il ne s'agit pas d'un exercice de rapidité : 14 + 16 + 15 + 3 - 2 + 6 + 100 + 1000. Les élèves trouvent la bonne réponse (avec le boulier et de tête). Nous faisons une inversion des outils entre élèves et reproduisons le petit concours : 25 + 25 + 25 - 20 + 30 + 4 + 1 + 5. La première élève trouve 60 mais se trompe dans la lecture du boulier 100 et l'autre élève (qui a calculé de tête) trouve 105.
Aucun des deux n'a trouvé la solution 95.
En conclusion, un élève avoue qu'il est plus simple de calculer avec l'aide du boulier car on peut voir ce que l'on fait alors que l'autre élève préfère de tête car on a directement le nombre
« enregistré » en tête.
J'en fais un dernier : 25 + 98 + 33 + 43, mais les élèves n'arrivent plus à suivre. Une élève trouve 188, mais le résultat est 189.
41 Narration 6 – Sixième séance (en collectif - en demi-classe)
Les élèves regardent au tableau. J'ai fait un boulier au tableau grâce à des aimants. Pour faciliter la visualisation des classes (unités, milliers, etc.), la tige des unités a été représentée à l'aide de sept aimants verts, la tige des dizaines avec des aimants jaunes, celle des centaines avec des aimants bleus, celle des milliers avec des aimants rouges (cf. boulier au tableau). Je fais un rapide rappel du fonctionnement du boulier à l'ensemble de la classe. Nous regardons comment y inscrire un nombre.
Boulier au tableau
Certains pensent qu'une unaire fait « 5 » sur la 2e tige alors que le nombre inscrit est « 10 ».
Certains se trompent entre les inscriptions de « 100 » et « 500 ».
Et si 2 quinaires sont activées (qui valent chacune 500 sur la 2e tige) ? Les élèves répondent
« 1'000 » et un d'entre eux avoue qu'il y a une autre manière de l'écrire. Je demande comment on peut inscrire différemment le même nombre.
Juste avant d'inscrire le premier nombre, l'élève D n'a pas encore placé son boulier à 0, mais laisse toutes ces quinaires activées, tout comme l'élève E et F. L'élève D monte toutes ses quinaires
42 Comment écrire 423 ?
L'élève A inscrit en premier 3 unaires sur la 1ère tige, 2 unaires sur la 2e tige et 4 unaires sur la 3e tige. Elle prend directement le bon nombre de boules. De cette manière, elle commence donc par les unités, puis les dizaines et les centaines.
L'élève B commence par mettre 4 unaires sur la 6e tige puis retire ses boules. Il procède ensuite de manière correcte en commençant par les centaines, dizaines et unités.
L'élève D place 4 unaires sur le 3e tige. En laissant toutes les quinaires activées, l'élève E fait pareil que l'élève D mais plus lentement.
En laissant toutes les quinaires activées, l'élève F place 4 unaires sur la 3e tige, puis 2 unaires sur la 2e tige et 4 unaires sur la 3e tige.
L'élève G place ses unaires de manière inversée 3-2-4 et sur la partie gauche du boulier (elle fera tous les exercices à l’envers !!! mais cette inversion ne semblera pas la perturber).
Pour 1'867 ?
Les élèves A et B inscrivent correctement le nombre : l'élève A en commençant par les milliers puis dans l'ordre décroissant alors que l'élève B dans l'ordre croissant.
L'élève C dit oralement ce qu'il fait et décompose. Il dit « 1'000 » en posant une unaire sur la 4e tige, puis « 500 » en posant une quinaire sur la 3e tige, puis « 300 » avec 3 unaires sur cette même tige, ensuite « 50 » et il ajoute « 10 » par une unaire sur la 2e tige et finalement « 5 » et ajoute « 2 ».
Pour « 1'867 », tous les élèves ont cette fois-ci les bouliers « à zéro ». Tous les élèves font correctement tandis que l'élève G inverse toujours son nombre.
43 Pour 100 ?
Je leur demande d'inscrire « 100 » sur le boulier et de le schématiser sur le boulier. Je suggère la possibilité qu'il y ait plusieurs manières. Les élèves demandent s'ils doivent dessiner le boulier entier avec le cadre, les 13 tiges, les boules mais je leur dis de représenter seulement les boules activées. L'élève C utilise la manière économique, à savoir une unaire sur la 3e tige alors que les élèves A et B utilisent deux quinaires sur la 2e tige, à savoir 2 x 50.
Tous les élèves utilisent soit la première soit la deuxième façon. L'élève G inscrit correctement les deux façons puis modifie en inscrivant 1000, toujours à l'envers.
Pour la troisième manière, les élèves sont surpris et essaient. L'élève E écrit « 60 ». L'élève D parvient à la réponse en activant une quinaire et cinq unaires sur la 2e tige, à savoir 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10.
L'élève C utilise une quinaire et quatre unaires sur la 2e tige et deux quinaires sur la 1ère tige, à savoir « 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 5 ». Un camarade demande à l'élève C d'arrêter de parler à haute voix lorsqu'il inscrit le nombre, car ça le dérange. Lorsque l'élève C propose sa réponse, l'élève F demande combien ça fait.
Pour la cinquième manière, l'élève D propose d'activer toutes les boules de la 1ère tige mais cela fait « 15 ». L'élève F propose de mettre « 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 », mais je lui rétorque que son nombre fait 92. Alors elle dit de rajouter 1 + 1 + 1 et enfin 5.
--- Pour la deuxième partie de la séance, je demande aux élèves d'inscrire le plus grand nombre.
La plupart des élèves active directement toutes les boules :
44 Je leur demande d'écrire le nombre sur une feuille mais une élève rétorque qu'on ne sait pas combien c'est. Un autre dit ne pas connaître le « nombre maximum » ; il ne sait qu'aller
« jusqu'aux millions ». Je les encourage à essayer.
L'élève D compte les tiges : « 1, 2, 3, 4, ... 13 ». Il annonce que son nombre aura « cinq avec 13 zéros ».
L'élève F dit que pour chaque tige, elle a « 10 », à savoir « 5 en bas » (avec 5 unaires) et puis
« 10 en haut » (avec 2 quinaires). Mais elle est vite corrigée par son voisin qui lui dit que la première tige vaut 15 avec toutes les boules activées.
Les élèves D et E disent qu'il y a toujours des « 5 ». L'élève F ajoute même que le nombre fait
« 5-5-5-5-5...13 fois 5 ».
L'élève G propose « 15 » sur la première tige, car il y a « 5 + 10 ». Ensuite, sur la deuxième tige, il y a « 150 ». Donc elle additionne « 150 + 15 ». L'élève E dit de rajouter un zéro à chaque fois : donc on a 15, puis 150, puis 1500. Mais une voisine lui rétorque sur les deux premières tiges, on a 165.
Lors de la mise en commun, nous nous rendons compte que nous pouvons difficilement lire le nombre inscrit. Un élève en plaisantant crie « un trillard de millions ».
L'élève qui a trouvé la solution dit qu'on ajoute un zéro car « il y a une dizaine de plus, puis deux zéros car on est dans les centaines. Puis on doit tout additionner ».
Je dis que même leur enseignant et moi-même ne pouvons pas lire ce nombre, mais les élèves demandent tout de même quel est ce nombre. Ils ont envie de savoir, ce qui ne me déplaît pas, car les élèves semblent fascinés.
--- Pour la troisième partie de la séance, nous nous intéressons aux additions.
Comment faire « 2 + 3 » sans le calculer de tête mais en le montrant sur le boulier ?
45 Un élève propose d'utiliser la partie gauche du boulier pour « enregistrer » le deuxième terme de l'addition tout en inscrivant le premier terme sur la partie droite. En voyant qu'il a trois boules sur la gauche, il va ajouter trois boules sur la droite. Etant donné que cinq unaires sont activées, un autre camarade annonce que l'on peut simplifier et descendre un quinaire.
Pour « 4 + 12 », l'addition est plus compliquée.
Un élève met « 4 » sur la partie droite. Ensuite, il se rend compte qu'il doit ajouter deux unaires mais il n'y en a qu'une seule disponible. De ce fait, il ajoute une unaire puis procède à un échange. Il échange une quinaire avec cinq unaires puis ajoute une unaire sur la 1ère tige et enfin une unaire sur la 2e tige.
Un autre élève utilise la technique où il ajoute une quinaire et enlève trois unaires, en faisant
« + 5 – 3 ». Une bonne partie des élèves ont fait de tête pour trouver le résultat et inscrit celui-ci sans procéder à l'addition de manière visible.
Pour 452 + 98 ?
Un élève (E) dit déjà le savoir de tête. Une autre inscrit « 452 » puis ajoute une unaire (+100) sur la troisième tige puis enlève deux unaires (-2) sur la première tige. L'élève E fait la même chose que cette dernière mais ajoute encore « 8 » à la fin.
L'élève G inscrit « 452 » puis fait comme si le nombre inscrit n'existe plus car elle enlève « 50 » de « 452 » et inscrit « 90 » de « 98 », mais se rend compte qu'il y a une erreur.
Nous faisons au tableau tous les échanges et simplifications de l'addition 452 + 98.
Pour 1234 + 99, des erreurs concernent des boules qui sont maladroitement activées, ce qui fausse le résultat alors que la démarche est juste.
46 Pour la quatrième et dernière partie, un travail est effectué sur les nombres décimaux.
Une élève (F) pense qu'on ne peut pas écrire de nombres décimaux sur un boulier car il n'y a pas de virgule sur un boulier. Un élève (E) propose de se baser sur la ligne dorée à l'arrière du boulier pour marquer la virgule. Une camarade propose de considérer les boules du bas comme ce qui vient après la virgule et les boules du haut ce qui vient avant. A partir de là, d'autres élèves demandent pourquoi il y a deux lignes dorées sur le boulier. On utilise donc un crayon sur le boulier pour marquer la virgule, ce qui semble aider les élèves.
Pour « 1,35 » ? Un élève (C) utilise une tige pour marquer la virgule.
Pour « 1,035 » ? L'élève B fait abstraction du zéro et écrit « 135 ».
Un autre élève (B) utilise encore une des tiges pour marquer la virgule.
Nous effectuons ensuite la comparaison : quel est le plus grand entre « 1,35 » et « 1,035 » ? Certains pensent qu'ils sont égaux, que l'on pourrait supprimer le zéro intercalé. On compare alors tige par tige. Les élèves remarquent que le zéro est important dans « 1,035 ». Pour un élève (E), étant donné qu'un nombre a trois chiffres après la virgule et que l'autre en a deux, il est plus grand.
Un élève propose que les boules sur le boulier pourraient être plus petites que celles qui les précèdent.
Je reprends deux autres nombres mais en les contextualisant dans un cas de la vie quotidienne :
« J'ai un franc 50 et 1 franc et 5 centimes » que je note « 1,50 » et « 1,05 ». En nommant ces nombres, je pense que j'ai peut-être donné une réponse.
Je fais alors avec « 21,5 » et « 21,05 » (21 francs et 50 centimes et 21 francs et 5 centimes). Les élèves paraissent dubitatifs.
Leur enseignant reprend « 1,35 » et « 1,035 » et dit que « c'est comme quand on compare les longueurs ». Il note « 1,35 cm » et « 1,035 cm » au tableau.
47 Peut-on les comparer ? Les élèves répondent oui car ils ont la même unité (des centimètres) et d'autres non car il faut rajouter un zéro dans la partie décimale qui n'a que deux chiffres.
Leur enseignant rappelle qu'il faut avoir le même nombre de chiffres dans la partie décimale pour pouvoir les comparer et écrit « 1,350 » et « 1,035 ». Il accentue qu’« il faut le même nombre de chiffres après la virgule partout ». Il fait un parallèle avec les unités de mesure en parlant d'équilibre pour pouvoir comparer.
Je rebondis sur un autre exemple. J'achète une veste à 100 euros nonante que j'écris « 100,9 » et une veste dont je ne lis pas le nombre volontairement mais que j'écris au tableau par
« 100,09 ».
Certains élèves ne parviennent pas expliquer lequel est le plus grand. Un bon élève parvient à dire qu'il y a un nombre à « 100 euros et 90 centimes » et un autre à « 100 euros et 9 centimes ».
--- A la fin de chaque activité, j'ai demandé aux élèves de faire un bilan de ce qui avait été fait. J'ai tenté, à travers un tableau (cf. Annexes), de recenser « cliniquement » ce que les élèves ont apprécié ou pas à travers les activités proposées, ce qui était facile et/ou difficile. Pour les élèves, il a été compliqué de développer leur opinion sur celles-ci.
48
V. Analyse des données
L'utilisation du boulier par les élèves laisse entrevoir des lacunes importantes liées à certaines notions mathématiques mais montre également que les élèves se posent de nombreuses questions sur la numération à travers des activités proposées « à la manière du jeu de tâches ».
Pour l’analyse des données, je me baserai principalement sur les narrations, notamment sur des points saillants de celles-ci. Dans un premier temps, je regarderai quelles ont été les principales difficultés sur la numération, rencontrées par les élèves. Ensuite, je mettrai en avant les notions acquises par ceux-ci, mais également les questionnements soulevés par les élèves au sujet de la représentation du nombre à travers l’utilisation du boulier, qu’ils soient d’ordre purement mathématique ou même philosophique. Ces deux premiers gros chapitres permettront de dégager et de comprendre les procédures utilisées par les élèves. Ainsi, je soulèverai par la suite ce que le boulier peut amener aux élèves pour combler les difficultés mathématiques et proposerai des activités permettant d'y remédier mais aussi de réfléchir sur la représentation du nombre.
Difficultés rencontrées par les élèves dans notre système de numération
Les difficultés rencontrées par les élèves lors des expérimentations tournent autour de trois grands thèmes découpés de la manière suivante : les grands nombres, la décomposition des nombres ainsi que les nombres décimaux. De ce fait, je m’intéresserai dans les sous-chapitres suivants aux différents types d’erreurs tout en observant les procédures engagées par les
Les difficultés rencontrées par les élèves lors des expérimentations tournent autour de trois grands thèmes découpés de la manière suivante : les grands nombres, la décomposition des nombres ainsi que les nombres décimaux. De ce fait, je m’intéresserai dans les sous-chapitres suivants aux différents types d’erreurs tout en observant les procédures engagées par les