Je n'ai donné aucune précision quant à l'utilisation du boulier.
Les élèves commencent par placer le boulier devant eux : à plat, « debout », verticalement, horizontalement, les boules toutes d'un côté. Un élève fait l'hypothèse que les unaires, qu'il nomme « boules du bas » sont les unités alors que les quinaires, « boules du haut », sont considérées comme des dizaines. Pour écrire « 5 », un élève laisse entendre qu'il suffit d'activer cinq « boules du bas ». Et pour « 78 » ? Les élèves ont activé sept boules du haut et huit boules du bas (figure 1) ; d'autres ont tenté d'utiliser toutes les boules du bas mais ils sont arrivés à la conclusion qu'ils ne pouvaient qu'écrire jusqu'à « 65 » et qu'il fallait donc utiliser quelques boules du haut (figure 2).
Figure 1 Figure 2
Et 1078 ? Un élève prend dix boules du haut pour faire 1000 mais se rend compte que ça ne fait que « 100 ». Il observe qu'il peut écrire « 26x10, donc 260 » et ajouter les boules du bas, mais il est loin du nombre demandé. Il fait alors l'hypothèse de boules qui valent « 100 ».
A force de manipuler, des élèves demandent si le boulier se tient verticalement ou horizontalement, si l'on peut écrire un nombre jusqu'à l'infini, si l'on peut faire des divisions, ce
à quoi je réponds par l'affirmative. Ma réponse étonne fortement les élèves présents.
Dans un deuxième temps, j'explique comment on tient un boulier et comment on active les boules sur celui-ci. Il s'agit d'un système de position. La première tige en partant de la droite est
28 celle des unités, la deuxième celle des dizaines, la troisième celle des centaines et ainsi de suite.
Pour activer un nombre, il faut rapprocher les boules de la barre horizontale centrale.
Ainsi, on s'intéresse à la manière d'écrire 1, 2, 3, 4, 5. Jusque-là, tout se fait correctement :
les élèves inscrivent 1... ...et 5...
Et pour 6 ? et 9 ? Certains élèves activent une boule supplémentaire sur la deuxième tige pour faire 6 :
Pour faire avancer les élèves dans l'activité, j'explique alors qu'une unaire (boule du bas) vaut 1 et une quinaire (boule du haut) vaut 5. Je demande alors à un élève que vaut une quinaire sur la deuxième tige. Un élève rétorque « 5 » et se corrige quelques secondes plus tard par « 50 », car
« c'est la deuxième tige ». Et une unaire et une quinaire sur la deuxième tige ? Le même élève répond « 51 » puis se corrige tout de suite par « 60 ». Pour voir si les élèves ont compris la difficulté liée à la quinaire, je leur propose d'inscrire « 8 », ce qu'ils effectuent facilement.
Nous nous consacrons ensuite à l'inscription de « 10 » pour lequel il y a plusieurs possibilités : les élèves les trouvent !
29 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 5 + 5 = 10 1 dizaine = 10
Les élèves remarquent que pour la dernière proposition ci-dessus, une seule boule est activée.
Je mets l'accent sur le fait qu'il est question de « simplification » quand on utilise le moins de boules pour écrire un nombre. Nous continuons à inscrire 15, puis 21, puis 68 jusqu'à dépasser 100. Il est toujours demandé de décomposer et décortiquer le nombre aux élèves. Pour 21 = 10 + 10 +1, pour 68 = 50 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1... Depuis les stages effectués dans plusieurs classes, j'ai remarqué qu'il n'est pas facile pour un élève de découper un nombre pour réaliser, grâce à des techniques opératoires, des calculs (mentaux) de manière aisée.
Plus tard, par binôme, les élèves proposent à leur camarade d'inscrire des nombres de leur choix. Une élève se rend compte que 83 peut être écrit de manière différente, à savoir 83 = 50 + 10 + 10 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1. Ceci montre une certaine habileté avec la décomposition du nombre qui me semble être encore très fragile à la fin de la scolarité du primaire.
Inscription de 83
D'elle-même, cette élève propose une autre manière d'écrire 100.
Ensuite, nous travaillons sur de plus grands nombres, plus précisément 15'853. Les bons élèves parviennent au début difficilement à représenter 15'853. Dès que l'on dépasse les milliers, les élèves ne savent plus trop comment nommer les puissances supérieures à 10^4. Cette difficulté pourrait montrer que le système de position est encore fragile pour de bons élèves. Qu'en est-il
30 pour les élèves moyens ? Et ceux en difficulté ? Les différentes situations que j'ai vécues avec ce type d'élèves vont dans ce sens. Les élèves ont en effet beaucoup de mal à se représenter mais également à lire correctement un nombre dès que l'on passe dans les milliers et les dizaines de milliers.
Pour éclaircir la situation, je montre méthodiquement pour chaque tige : les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, les dizaines de milliers... Les élèves pensent dans un premier temps qu'il est impossible d'écrire 15'853 sur le boulier, mais activent tout de même une quinaire (=50'000) sur la 5e tige :
Une élève trouve tout de même une solution et décompose tige par tige le nombre en l'expliquant à ses camarades. Elle prend le « 1 » (des dizaines de milliers) et monte une unaire, ensuite 5 mille en descendant une quinaire sur la quatrième tige et poursuit de la sorte pour
« 500 », « 80 » et « 3 ».
Inscription de 15'853 par une élève
A noter que certains élèves ne s'intéressent qu'au chiffre de la tige en question pour inscrire un nombre et parlent de « numéros ». A chaque fois que leur réponse est validée, ils demandent s'ils peuvent « effacer » ce qu'ils ont inscrit.
31 Pour récapituler, je mets l'accent sur le fait que la quinaire permet de faire « 5 fois 10 puissance 1 ou 2 ou 3, ... » et que cela dépend de la tige sur laquelle on se trouve.
Nous nous concentrons désormais sur les additions. Je propose aux élèves d'effectuer 3 + 2, puis 3 + 6, puis 3 + 10 sans trouver le résultat de tête et en simplifiant le résultat quand il le faut.
L'addition n'est pas forcément facile, car il faut faire un échange ensuite :
->
5 unaires = 1+1+1+1+1 = 5 -> 1 quinaire = 5
Pour 3 + 6, il est important de placer 3 unaires et ensuite d'ajouter d'abord une quinaire puis une unaire. Lors de ces additions, certains élèves font le calcul de tête et inscrivent le résultat.
Je suggère aux élèves de se servir de la partie gauche du boulier pour faire des
« expérimentations » et donc « enregistrer » le 2e terme de l'addition. Par exemple, pour 3 + 8, les élèves inscrivent « 3 » sur le boulier (partie droite) et « 8 » sur la partie gauche, puis font une correspondance terme à terme. Ils ajoutent donc une quinaire et deux unaires, mais se rendent compte qu'ils restent une unaire à ajouter. Certains élèves restent bloqués. Alors une élève propose de faire un échange : 5 unaires contre une quinaire, ce qui permet ensuite d'ajouter l'unaire manquante. Finalement, les deux quinaires peuvent être retirées pour ajouter une unaire sur la tige supérieure.
-> ->
8 (à gauche) et 3 (à droite) transfert des boules possibles échange de 5 unaires contre 1 quinaire
32
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ajout de la boule manquante échange de 2 quinaires avec 1 unaire de la tige supérieure
En compliquant la tâche, nous poursuivons avec 8 + 7, puis 8 + 8. Je remarque que les élèves à l'aise ont plus de facilité à simplifier. D'autres élèves cherchent d'abord le résultat. Pour 8 + 8, je leur montre qu'il est possible de faire « 8 + une dizaine et enlever 2 unités », à savoir 8 + 10 - 2.
Une élève suggère de faire 20 - 4, ce qui est déjà assez difficile. Les élèves demandent tout de suite comment faire une soustraction.
Et 13 + 7 ? Un élève parvient facilement à faire les échanges. Et 137 + 9 ? Certains proposent dans un premier temps de décomposer 9 en 4 et 5. Je demande de le faire comme précédemment. Alors un élève utilise la technique de « 10-1 ».