2.4 Analyse des signaux
2.4.5 Quantit´ es mesur´ ees
Apr`es transformation de Hilbert et second filtrage, nous avons acc`es `a la grandeur suivante :
a0f(x, t) = A(x, t)eiφ(x,t)
pour l’onde droite et pour l’onde gauche. Ceci nous donne acc`es aux quantit´es r´eelles suivantes :
– l’amplitude locale A(x, t) = |a0f(x, t)| – le nombre d’onde local k(x, t) = ∂φ
∂x = k0+ q(x, t) – la fr´equence locale ω(x, t) = ∂φ
∂t = f0+ f (x, t)
Chacune de ces quantit´es se pr´esente comme un diagramme spatio-temporel r´eel et peut ´eventuellement faire l’objet d’un traitement analogue `a celui subi par le diagramme brut. Cela nous permet par exemple d’avoir acc`es `a l’amplitude, au nombre d’onde et `a la fr´equence d’une modulation d’amplitude, ou de phase.
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Chapitre 3
Transition convectif/absolu pour les
instabilit´es oscillantes 1D
L
a stabilit´e d’un syt`eme physique est g´en´eralement ´etudi´ee grˆace au signe d’un taux de croissance temporel (voir Chandrasekhar (1961)). Par exemple, la stabilit´e lin´eaire de la position d’´equilibre d’un pendule est donn´ee par le signe du taux de croissance temporel d’une petite perturbation solution de l’´equation d’´evolution lin´earis´ee autour du point d’´equilibre en question. Nous avons utilis´e cette approche en proc´edant `a l’analyse de stabilit´e lin´eaire de l’´ecoulement de base thermocapillaire dans le chapitre 1, § 1.3. Mais la notion de taux de croissance temporel d´epend directement du r´ef´erentiel spatio-temporel utilis´e pour formaliser le probl`eme. Une fois ce constat ´etabli, la notion de stabilit´e peut ˆetre affin´ee. L’instabilit´e est ainsi qualifi´ee de convective si le taux de croissance temporel est positif aux temps longs dans un r´ef´erentiel particulier mais pas dans celui du laboratoire. De fa¸con compl´ementaire, elle est qualifi´ee d’absolue si le taux de croissance est positif dans le r´ef´erentiel du laboratoire. La figure 3.1 illustre les diff´erents cas qui se pr´esentent `a l’ordre lin´eaire. Nous voyons donc apparaˆıtre l’importance du r´ef´erentiel particulier dit (( du laboratoire )), dans lequel l’instabilit´e a la possibilit´e d’ˆetre convective, c’est `a dire en quelque sorte, fugitive.
Lors d’exp´eriences, y compris d’exp´eriences de pens´ee, un tel r´ef´erentiel se d´egage en effet toujours : dans le cas d’un sillage par exemple, l’obstacle est fixe dans ce r´ef´erentiel, mais l’´ecoulement advecte l’instabilit´e et l’on pressent l’int´erˆet d’un second r´ef´erentiel, mo- bile par rapport `a celui du laboratoire. Dans le cas de la convection de Rayleigh-B´enard, nous avons une cellule finie dont les bords sont fixes dans le r´ef´erentiel du laboratoire ; si la structure qui apparaˆıt est stationnaire, aucun autre r´ef´erentiel ne peut-ˆetre mis en avant, et l’instabilit´e n’est jamais convective. Au contraire, une instabilit´e oscillante en ondes propa- gatives est convective au voisinage de son seuil. Une description rigoureuse des instabilit´es lin´eaires convectives/absolues a ´et´e produite par Huerre et Monkewitz (1990) `a l’aide de fonctions de Green d´ecrivant l’´evolution spatio-temporelle d’une perturbation localis´ee en temps et en espace (paquet d’onde) en fonction de la vitesse relative du r´ef´erentiel d’´etude par rapport au r´ef´erentiel du laboratoire. L’aspect convectif ou absolu apparaˆıt alors comme
x t Stable < c = 0 A(x − vt) → 0 ∀x, ∀v x t Convectivement Instable c < < a A(x) → 0 ∀x mais ∃v t.q. A(x − vt) → ∞ x t Absolument Instable > a A(x − vt) → ∞ ∀x, ∀v
Fig. 3.1 – Repr´esentations sch´ematiques de l’´evolution d’une perturbation d’un ´etat stable, convectivement instable et absolument instable, dans le r´ef´erentiel du laboratoire. La sta- bilit´e lin´eaire d’une perturbation infinit´esimale est ici consid´er´ee. Des diff´erences existent si les effets non-lin´eaires sont pris en compte (perturbation forte et satur´ee). Le domaine spatial consid´er´e peut ˆetre indiff´eremment fini ou infini.
la d´ependance ou non du taux de croissance effectif avec la vitesse relative du r´ef´erentiel et cette distinction n’a un sens que dans les syst`emes o`u l’invariance gallil´eenne est bris´ee. Ce formalisme s’est r´ev´el´e tr`es riche pour la description des instabilit´es survenant dans des syst`emes ouverts. En hydrodynamique notamment, la pr´esence d’un ´ecoulement moyen — cas des sillages par exemple — autorise l’instabilit´e `a ˆetre convective pour les plus petites valeurs du param`etre de contrˆole avant d’ˆetre absolue pour les plus grandes valeurs. Une variation spatiale du param`etre de contrˆole peut de plus permettre `a l’instabilit´e d’ˆetre absolue au voisinage imm´ediat de l’obstacle, puis convective en aval.
Dans le cas des syst`emes ferm´es, i.e., sans advection moyenne, la distinction entre caract`ere absolu et convectif d’une instabilit´e en ondes propagatives se r´ev`ele tout aussi int´eressante. En effet, si l’instabilit´e donne naissance `a des ondes de vitesse de groupe finie au seuil, cette instabilit´e est toujours convective au seuil. Quelle que soit la vitesse de groupe, il lui est toujours possible d’advecter des perturbations dont le taux de croissance, variant comme , est aussi petit que l’on veut pour peu que l’on soit suffisamment pr`es du seuil. Ce caract`ere convectif a, comme nous le verrons, de profondes cons´equences sur les possibilit´es d’observation de la structure.
3.1. INSTABILIT ´E PRIMAIRE EN ONDES HYDROTHERMALES 73 L’´etude pr´esent´ee ici est celle d’un syst`eme ferm´e, sans flux de mati`ere impos´e par l’ext´erieur. Parmi les syt`emes ´equivalents produisant des ondes propagatives, nous pou- vons citer l’´ecoulement de Taylor-Dean (Laure et Mutabazi (1994), Bot et al. (1998)) o`u des ondes apparaissent par bifurcation primaire. De plus nombreux syst`emes produisent des ondes propagatives par bifurcation secondaire ; citons l’instabilit´e secondaire oscillatoire en convection de rayleigh-B´enard, ainsi que l’´ecoulement de Taylor-Couette lorsqu’appa- raissent des rouleaux propagatifs (wavy vortex flow) par d´estabilisation des rouleaux de Taylor. Dans ce dernier cas, Tagg et al. (1990) ont d’ailleurs distingu´e la nature convective au seuil de l’instabilit´e.
Nous nous limitons au cas unidimensionel des cellules (( rectangle )) et (( anneau )) et nous ´etudions donc la propagation des ondes dans la direction perpendiculaire `a l’´ecoule- ment de base, i.e., la direction suivant laquelle il n’existe `a priori aucun type d’advection (cf principe de Curie, § 1.1). Cette constatation nous permet d’utiliser le formalisme d’une ´
equation d’amplitude de Ginzburg-Landau complexe.
3.1
Instabilit´e primaire en ondes hydrothermales
Dans un premier temps, nous reproduisons et compl´etons les ´etudes analytiques du mod`ele de Ginzburg-Landau complexe. Nous pr´esenterons ensuite les r´esultats obtenus exp´erimentalement `a la lumi`ere de ce mod`ele : le cas simple des conditions limites p´erio- diques pr´ec`ede celui, plus riche, de la cellule de taille finie. Un dernier paragraphe est consacr´e aux interpr´etations de ces r´esultats ; nous y parlons notamment d’autres raisons possibles d’existence d’un mode global dans une boˆıte finie.
Nous notons dans tout ce chapitre L = L⊥ la taille de la boˆıte ´etudi´ee ; il s’agit de la
dimension dans la direction perpendiculaire au gradient de temp´erature. De mˆeme, nous noterons y la variable d’espace dans cette direction, x n’intervient plus dans tout le chapitre.