Petit bilan

Valeurs critiques de Ma et Ra

Pr´ecisons ici les valeurs des seuils des diff´erentes ondes en termes de nombre de Maran- goni et Rayleigh : hauteur ∆T Rac Mac structure h = 1, 2 mm 7,8 K 80 500 OH2 18 K 190 1150 OH1 h = 1, 9 mm 11 K 730 1760 OH1 −5, 2 K 350 830 fleurs −10 K 670 1600 OH1

Nous voyons que le seuil des OH1 est du mˆeme ordre de grandeur lorsque la hauteur varie. Rappelons que dans le cas de l’anneau, pour h = 1, 7 mm et Lk = 10 mm, le seuil

des ondes (OH1) se situe `a Ma ' 2500, c’est `a dire plus haut que dans le disque ; ceci provient sans doute du confinement. A titre indicatif, la th´eorie en g´eom´etrie infinie et sans courbure pr´edit (§ 1.3.4 et figure 1.16) Ma = 400 pour h = 1, 7 mm.

L’influence de la courbure est `a prendre en compte pour expliquer un tel ´ecart. Mais surtout, nous avons montr´e en 4.1 qu’il existe une couche limite thermique pr`es des bords de la cellule qui r´eduit la valeur effective du gradient de temp´erature appliqu´e. Connaissant le profil de temp´erature dans la direction du gradient, nous pouvons remonter au nombre de Marangoni effectif loin des bords de la cellule. D’apr`es les r´esultats expos´es en § 4.1.2,

5.2. DIAGRAMME DES PHASES DANS LE DISQUE 161

Fig. 5.20 – Diagramme des phases quantitatif dans l’exp´erience(( Lotus )), pour ∆T > 0. Chaque point exp´erimental est obtenu par extrapolation de l’´evolution du carr´e de l’ampli- tude des ondes (cf § 5.3, Fig 5.25 par exemple) : ◦ pour OH1 et  pour OH2. Les courbes sont des ajustements qualitatifs (trait continu pour OH1 et pointill´es pour OH2).

celui-ci est de deux `a trois fois plus faible que celui calcul´e `a partir de Text − Tint. Nous

trouvons alors un accord satisfaisant avec la th´eorie lin´eaire en g´eom´etrie infinie. Effet de la hauteur

Pour une vue d’ensemble des diff´erentes phases observ´ees dans l’exp´erience, nous nous r´ef´erons `a la figure 5.7.

Les seuils d´efinis dans les sections pr´ec´edantes — pour h = 1, 9 mm comme h = 1, 2 mm et ∆T de signe variable — sont d´ependants de la hauteur de fluide h. Nous avons :

∆T_OH2(+) = ∆T_OH2(+)(h), ∆T_OH1(+) = ∆T_OH1(+)(h), ∆T_OH1(−) = ∆T_OH1(−)(h)...

Si nous supposons que cette d´ependance en h est continue pour chacun des seuils — cela revient `a dire que les seuils se d´eplacent continˆument lorsque h est vari´ee —, nous pouvons interpoler les courbes critiques pour des hauteurs interm´ediaires. Nous proposons ainsi les courbes de la figure 5.7. Afin d’obtenir plus pr´ecis´ement ces courbes de seuils en fonction de h, nous avons effectu´e une s´erie d’exp´eriences avec ∆T > 0 et h variable. Les r´esultats sont reproduits sur la figure 5.20.

Comme nous le constatons sur la figure 5.20, aux grandes hauteurs, les OH1 appa- raissent, sans OH2 alors qu’aux petites hauteurs, les OH2 apparaissent tout d’abord, sans OH1.

Point de codimension 2

Pour ∆T > 0, il existe une hauteur interm´ediaire — environ 1,55 mm — pour laquelle les deux types d’ondes hydrothermales OH1 et OH2 ont le mˆeme seuil; il s’agit d’un point de codimension 2 dans l’espace des phases du syst`eme.

Pour les plus petites hauteurs (inf´erieures `a 1,55 mm), les OH2 apparaissent seules et nous mesurons leur seuil. Si la diff´erence de temp´erature est augment´ee, les OH1 appa- raissent `a leur tour et nous pouvons d´efinir de mˆeme le seuil de ces derni`eres. Pour les plus grandes hauteurs (sup´erieures `a 1,55 mm), les OH1 apparaissent seules et nous mesurons leur seuil. Si la diff´erence de temp´erature est augment´ee, les OH2 apparaissent `a leur tour et il est l`a encore possible de d´efinir le seuil de cette nouvelle structure.

Chacune des structures semble ainsi r´esulter d’un mode d’intabilit´e ind´ependant et aucune interaction entre les deux structures n’est observ´ee : Les OH1 et les OH2 semblent (( ne pas se voir )). Aucun comportement particulier n’est `a signaler au voisinage du point de codimension 2.

5.3. COMPORTEMENTS CRITIQUES 163

Fig. 5.21 – Evolution de l’amplitude des OH1 pour h = 1, 9 mm et ∆T > 0. A gauche : amplitude moyenn´ee sur un rayon. A droite : amplitude moyenn´ee sur des cercles de rayon r = 25, 5 mm () et r = 34, 8 mm (◦) ; l’onde inverse est aussi repr´esent´ee — (+) et (×) respectivement — qui est n´egligeable pr`es du seuil mais pousse avec les instabilit´es secondaires. Le seuil des ondes est mesur´e `a 11 K .

5.3

Comportements critiques

Nous pr´esentons maintenant les comportements critiques des structures oscillantes isol´ees dans la section pr´ec´edente. Nous montrons notamment que toutes les instabilit´es correspondantes sont du type Hopf supercritique.

Les ondes hydrothermales du second type — OH2 — sont ´etudi´ees en d´etail en § 5.3.2 ; l’´evolution originale de leur distribution spatiale avec ∆T , ainsi que leur nature non mo- nochromatique sont mise en avant.

5.3.1

OH1

Tout comme dans les cellules 1D, l’apparition des OH1 se fait via une bifurcation de Hopf supercritique. Nous retrouvons en effet un comportement continu de l’amplitude qui varie en (∆T − ∆TOH1)1/2 `a chaque apparition des OH1 : pour les petites et les grandes

hauteurs, et dans le cas Tint < Text ou son oppos´e. La fr´equence est quant `a elle toujours

finie au seuil ; il en est de mˆeme pour les deux composantes kr et kθ du vecteur d’onde.

L’ensemble de ces r´esultats est pr´esent´e sur les figures 5.21, 5.22, 5.23 et 5.24 dans le cas g´en´erique h = 1, 9 mm et ∆T > 0 pour lequel les OH1 sont les seules structures propagatives existantes.

Remarquons ici que la fr´equence critique des OH1 est toujours du mˆeme ordre (le quart de Hertz) et que sa d´ependance essentielle est vis-`a-vis de la hauteur de fluide dans la

Fig. 5.22 – Evolution de l’amplitude des OH1 pour h = 1, 9 mm et ∆T > 0, amplitude moyenne sur un cercle de rayon r = 25, 5 mm. Le seuil des OH1 est situ´e autour de 11 K, mais cette s´erie de points a ´et´e effectu´ee en pr´esence d’un d´efaut. Un changement de r´egime survient lorsque l’onde n’est plus li´ee `a ce d´efaut (rayon). Au contraire, les exp´eriences r´ealis´ees pour la figure 5.21 ´etait exemptes d’un tel d´efaut.

Fig. 5.23 – Evolution de la fr´equence moyenne des OH1 pour h = 1, 9 mm et ∆T > 0. La mesure est effectu´ee le long de rayons.

5.3. COMPORTEMENTS CRITIQUES 165

Fig. 5.24 – Evolution du vecteur d’onde moyen des OH1 pour h = 1, 9 mm et ∆T > 0. A gauche : nombre d’onde radial kr; A droite : nombre d’onde orthoradial n = rkθ mesur´e

pour r = 25, 5 mm (◦) et pour r = 34, 8 mm (). Pour les plus fortes valeurs de ∆T , n n’est plus constant le long d’un rayon car des instabilit´es secondaires surviennent.

cellule :

rectangle h=1.7 mm f = 0,24 Hz au seuil anneau h=1.7 mm f = 0,24 Hz au seuil

((Lotus)) h=1.2 mm f= 0,34 Hz au seuil (OH2) ((Lotus)) h=1.9 mm f= 0,21 Hz au seuil (OH1)

Le tableau ci-dessus r´ecapitule les valeurs des fr´equences critiques des OH1 observ´ees dans les diff´erentes g´eom´etries. Dans le cas du rectangle, la variation de la fr´equence avec la hauteur est d´etaill´ee en annexe C. Notons alors qu’une fois la hauteur fix´ee, la fr´equence est quasiment identique pour tous les rapports d’aspects horizontaux ; il est ´eventuellement possible d’utiliser cette information pour caract´eriser les OH1 par rapport `a d’autres in- stabilit´es oscillantes.

5.3.2

OH2

Les ondes hydrothermales de type 2 apparaissent — tout comme les OH1 — via une bifurcation de Hopf supercritique. L’´evolution continue de l’amplitude au seuil est ainsi visible sur la figure 5.25 et l’´evolution de la fr´equence sur la figure 5.27.

La distribution spatiale de ces ondes est — comme pr´esent´e dans la section pr´ec´e- dente — bien particuli`ere au seuil et son ´evolution avec ∆T est originale. L’information spatiale est de deux types : distribution du vecteur d’onde et position de la structure dans la cellule. Sur la figure 5.28 sont visibles les ´evolutions avec le param`etre de contrˆole des deux composantes kr et kθ du vecteur d’onde. Alors que la composante kr est finie au seuil

Fig. 5.25 – Evolution de l’amplitude des OH2 pour h = 1, 2 mm et ∆T > 0. L’amplitude est mesur´ee le long de rayons et sa valeur moyenn´ee dans l’espace hAi est pr´esent´ee ; il s’agit donc d’une information globale.

Fig. 5.26 – Evolution de l’amplitude au carr´e des OH2 pour h = 1, 2 mm et ∆T > 0. L’amplitude est mesur´ee le long d’un cercle et sa valeur moyenne est pr´esent´ee, pour des cercles de rayons r = 11, 7 mm (♦), r = 16, 4 mm (+), et r = 25, 7 mm (◦). L’amplitude des ondes OH1, mesur´ee sur un cercle de rayon r = 49, 1 mm est aussi report´ee `a titre indicatif. Les courbes continues repr´esentent des ajustements et guident l’œil.

5.3. COMPORTEMENTS CRITIQUES 167

Fig. 5.27 – Evolution de la fr´equence des OH2 pour h = 1, 2 mm et ∆T > 0.

alors des cibles pulsantes — et augmente r´eguli`erement avec ∆T — les ondes sont alors des spirales de plus en plus (( ouvertes )).

L’´evolution de kθ avec le param`etre de contrˆole est tr`es bien ajust´ee par une loi lin´eaire.

L’extrapolation de cette loi lin´eaire au point kθ = 0 nous redonne approximativement la

valeur du seuil, bien que la mesure soit moins pr´ecise que celle de l’amplitude. Nous avons ainsi la possibilit´e de d´efinir un second param`etre d’ordre variant continˆument au seuil et avec l’exposant +1 dans la r´egion supercritique. Nous n’avons pas d’interpr´etation pr´ecise de ce nouveau param`etre d’ordre ; toute explication ne doit pas n´egliger la bidimensionnalit´e non seulement des OH2, mais aussi de la g´eom´etrie de la cellule.

La structure des OH2 est localis´ee pr`es du plot central. La figure 5.29 pr´esente une succession de profils radiaux d’amplitude : nous y voyons l’instabilit´e s’´etendre lorsque ∆T est augment´e. Nous avons quantifi´e l’envahissement progressif de la cellule par les OH2. Comme dans le cas des rouleaux corotatifs de l’´ecoulement de base, nous avons mesur´e la position du front des OH2 dans la cellule en d´efinissant cette position comme le rayon du point dont l’amplitude est la moiti´e de l’amplitude maximale. Cette grandeur est report´ee sur la figure 5.30. Nous observons un comportement r´egulier, lin´eaire en ∆T de la position du front des OH2 dans la cellule.

Un ´elargissement du pic correspondant aux OH2 dans les spectres est observ´e lorsque la diff´erence de temp´erature est augment´ee (figure 5.31). Nous mesurons alors la largeur du pic `a mi-hauteur et la reportons sur la figure 5.32. Cette grandeur est une mesure de l’´elargissement de la bande de modes instables. De plus, si la hauteur du pic principal est fix´ee — ce qui semble `a peu pr`es le cas —, sa largeur est proportionnelle `a l’aire sous le pic, qui mesure l’´energie contenue dans l’ensemble des modes instables. Le th´eor`eme de Parseval relie alors cette ´energie `a l’´energie moyenne mesur´ee dans l’espace direct, i.e., la moyenne spatiale du carr´e de l’amplitude de l’onde apr`es filtrage. Nous observons le mˆeme comportement que sur la figure 5.25 qui repr´esente le carr´e de l’amplitude moyenne. La largeur du pic principal correspondant aux OH2 se comporte comme un param`etre d’ordre avec la puissance 1/2.

Fig. 5.28 – Evolution du vecteur d’onde des OH2 pour h = 1, 2 mm et ∆T > 0. A gauche : kr; `a droite : kθ.

Fig. 5.29 – Empilement de profils radiaux d’amplitude locale pour h = 1, 2 mm et diff´erents ∆T > 0 : 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18 et 20 K. Pour des raisons de clart´e, les profils ont ´et´e d´ecal´es dans la direction verticale d’un facteur proportionnel `a ∆T . Sur le dernier profil (∆T = 20 K), les OH1 sont pr´esentes et l’amplitude est finie partout dans la cellule.

5.3. COMPORTEMENTS CRITIQUES 169

Fig. 5.30 – Evolution de la position du front des OH2 pour h = 1, 2 mm et ∆T > 0.

Fig. 5.31 – Empilement de spectres r´ealis´es pour h = 1, 2 mm et diff´erents ∆T > 0 : 8, 10, 12, 16 et 20 K. L’´elargissement du pic correspondant aux OH2 est visible alors que sa hauteur par rapport au niveau de bruit est `a peu pr`es constante.

Fig. 5.32 – Evolution de la largeur du pic des OH2 dans le spectre temporel pour h = 1, 2 mm et ∆T > 0 ; une moyenne est effectu´ee selon la direction radiale. Un comportement critique se d´egage nettement.

5.3.3

Fleurs

Le r´egime particulier des fleurs a lui aussi ´et´e ´etudi´e en d´etail du fait de ses a priori similitudes avec les exp´eriences de Schwabe et al. (1992).

L’apparition des fleurs s’effectue continˆument via une bifurcation supercritique (cf fi- gure 5.33). La fr´equence est finie au seuil (figure 5.34).

Nous avons toujours observ´e une onde unique bien que des battements existent au seuil et que des traces d’onde inverse soient alors pr´esentes. Le nombre d’onde orthora- dial adimensionn´e — qui est aussi le nombre de p´etales, i.e. de longueurs d’ondes selon l’azimuth — est discret et vaut 6 au seuil et 7 apr`es s´election par une instabilit´e modu- lationnelle. Remarquons que la forme des p´etales induit une signature spectrale fortement non-monochromatique : le premier harmonique est ainsi tr`es d´evelopp´e car il traduit la pr´esence de deux bords `a chaque p´etale.

Du fait de la tr`es grande localisation dans la direction radiale, nous n’avons pas pu mesurer le nombre d’onde radial ; la structure semble en effet s’´etendre sur moins d’une longueur d’onde dans cette direction ce qui ne permet pas un traitement du signal efficace. Remarquons juste qu’il ne semble pas y avoir de propagation dans la direction radiale et que la structure(( fleurs )) constitue ainsi un mode purement azimuthal.

Apparition des OH1

Comme nous l’avons not´e en 5.2.2, les ondes hydrothermales(( classiques )) finissent par apparaˆıtre dans la zone vierge de fleurs.

La figure 5.35 illustre l’´evolution de leur amplitude qui signe une nouvelle fois l’appari- tion supercritique des OH1 et nous observons sur la figure 5.36 l’´evolution de la fr´equence,

5.3. COMPORTEMENTS CRITIQUES 171

Fig. 5.33 – Evolution de l’amplitude des fleurs pour h = 1, 9 mm et ∆T < 0. A gauche : amplitude de l’onde majoritaire (◦) et amplitude de l’onde minoritaire (+). A droite : carr´e de l’amplitude de l’onde majoritaire (le carr´e de l’amplitude de l’onde minoritaire est n´egligeable).

Fig. 5.35 – Evolution de l’amplitude des OH1 pour h = 1, 9 mm et ∆T < 0.

Fig. 5.36 – Evolution de la fr´equence des OH1 pour h = 1, 9 mm et ∆T < 0.

dont la valeur est de l’ordre de 0,25-0,3 Hz au seuil, c’est `a dire plus faible que la fr´equence des OH2. Un peu plus loin du seuil, la fr´equence des OH1 s’accroche sur celle des OH2.

5.3.4

Conclusion

Toutes les structures dont nous avons pr´esent´e les comportements en fonction du pa- ram`etre de contrˆole apparaissent par bifurcations supercritiques. Il en est de mˆeme pour les autres structures (rayons, ondes spirales `a petite hauteur et ∆T < 0) : nous avons observ´e leur apparition continue, sans hyst´er´esis.

De mˆeme, les instabilit´es secondaires de toutes ces ondes apparaissent et disparaissent aux mˆeme valeurs de ∆T .

5.4. INTERPR ´ETATIONS EN TERMES G ´EOM ´ETRIQUES 173