Instabilit´ es stationnaires

Nous n’avons pas recherch´e d’instabilit´e stationnaire, pour nous concentrer sur les ph´enom`enes ondulatoires. Nous nous contentons donc ici de rappeller que deux types d’in- stabilit´es stationnaires ont ´et´e rapport´es. Toutes les deux prennent la forme de rouleaux, mais elles sont de nature tr`es diff´erentes.

La pr´esence de la courbure est susceptible de modifier les r´esultats rappell´es ci-apr`es. Les modifications attendues doivent ˆetre du mˆeme acabit que celles que nous pr´esenterons dans la section suivante, consacr´ee `a l’instabilit´e oscillante en ondes hydrothermales. Rouleaux corotatifs de l’´ecoulement de base

Outre les ondes hydrothermales, l’´ecoulement de base se r´ev`ele instable vis-`a-vis de mo- dulations stationnaires de vecteur d’onde colin´eaire au gradient de temp´erature appliqu´e. Ces modulations, vues sur la variable vitesse, se superposent `a l’´ecoulement de base pour donner un ´ecoulement structur´e en rouleaux stationnaires co-rotatifs d’axe perpendiculaire au gradient de temp´erature.

Strani et al. (1983) ont observ´e num´eriquement ces rouleaux et Laure et al. (1990) ont donn´e les valeurs critiques associ´ees `a leur apparition. Comme l’ont montr´e Mercier et Normand (2000), ces rouleaux doivent ˆetre vus comme le d´eveloppement spatial des perturbations dues `a la pr´esence de bords dans la direction du gradient de temp´erature ; un taux de croissance spatial est ainsi attach´e `a cette structuration de l’´ecoulement. Le

r´ef´erence dim. c.l.(z=0)/(z=h) P r k r´esultats

Laure et al. (1990) (g = 0) 2D C/C 0 _{∈ C} RC

Mercier (1997) 3D C/B 0 − ∞ _{∈ C} RC

Priede et Gerbeth (1997a) 2D I/I 10−3− 103 _{∈ C RC, OH}

Mancho et Herrero (2000) 3D C/Bc ∞ ∈ IR RC, OH, RS

Fig. 1.7 – R´esum´e des ´etudes th´eoriques des ´ecoulements thermocapillaires en g´eom´etrie confin´ee dans la direction horizontale du gradient. La colonne (( dim. )) indique la dimen- sionnalit´e des perturbations ´etudi´ees. Les conditions aux limites sont abr´eg´ees : C : conduc- teur, I : isolant, B : loi de Newton et nombre de Biot avec profil de temp´erature conductif dans l’air, Bc : loi de Newton avec profil de temp´erature constant dans l’air. La colonne k indique si le nombre d’onde est pris complexe (analyse de stabilit´e spatiale) ou non. Les r´esultats sont not´es RC : rouleaux corotatifs, OH : ondes hydrothermales, RS : rouleaux stationnaires longitudinaux.

tableau 1.7 r´esume les ´etudes th´eoriques ayant r´ev´el´e la pr´esence de rouleaux corotatifs grˆace `a la prise en compte du confinement dans la direction du gradient de la boˆıte ´etudi´ee. Le tableau 1.9 pr´esente quant `a lui les principales ´etudes num´eriques de l’´ecoulement de base et de sa structuration. Toutes confirment le r´esultat suivant de Mercier et Normand (2000), Mercier (1997) : les rouleaux apparaissent du cˆot´e froid pour les petits nombres de Prandtl (P r ≤ 0, 01), du cˆot´e chaud pour les grands nombres de Prandtl (P r ≥ 4) et des deux cˆot´es pour les nombres de Prandtl interm´ediaires.

Notons d`es `a pr´esent l’analogie formelle de notre probl`eme avec celui dit de la(( cavit´e entraˆın´ee )) ´etudi´e par Bye (1966) o`u une contrainte m´ecanique4 _{est appliqu´ee `a la surface}

libre d’un liquide contenu dans une cavit´e identique aux nˆotres, et dans une moindre mesure avec le probl`eme de Taylor-Dean. En effet, dans ces trois cas, le profil de vitesse est identique : il s’agit d’un profil de Couette-Poiseuille dont les m´ecanismes de d´estabilisation peuvent ˆetre retrouv´es dans chacun des syst`emes.

Ces rouleaux ont ´et´e observ´es exp´erimentalement pour les grands nombres de Prandtl. En g´eom´etrie rectangulaire(( unidimensionelle )) Garcimart´ın et al. (1997) les ont vus dans une cellule de rapport d’aspect horizontal et de hauteur appropri´es (Γ = 0, 1, h = 3 mm) ; il en est de mˆeme pour Villers et Platten (1992) et De Saedeleer et al. (1996). Ces derniers ont mesur´e pr´ecisement l’amortissement spatial de la structure, en parfait accord avec les pr´edictions de Mercier et Normand (2000). Les rouleaux corotatifs ont ´et´e rapport´es en g´eom´etrie rectangulaire ´etendue par Mukolobwiez (1998), Riley et Neitzel (1998) et Pelacho et Burguete (1999). Schwabe et al. (1992) les ont observ´es en g´eom´etrie cylindrique ; nous les avons ´etudi´e en d´etail — avec la visualisation de grande qualit´e n´ecessaire — en g´eom´etrie

4. Cette contrainte a par exemple pour origine un vent de vitesse uniforme ; il est remarquable que les ´

equations en volume soient les mˆemes que dans notre probl`eme thermocapillaire, ainsi que les conditions aux limites m´ecaniques. Notre syst`eme diff`ere (( juste )) par l’adjonction de la variable T et les conditions aux limites thermiques enrichissent le probl`eme jusqu’`a le rendre tr`es diff´erent de celui du vent en surface.

1.3. ANALYSE DE STABILIT ´E LIN ´EAIRE DE L’ ´ECOULEMENT DE BASE 29 cylindrique bidimensionnelle et nous rapportons des r´esultats quantitatifs dans le chapitre 4 (§ 4.2).

Instabilit´e en rouleaux pour les tr`es grandes hauteurs

Pour les (( tr`es )) grandes hauteurs de fluide (h > 3 mm), une instabilit´e sous forme de rouleaux d’axe colin´eaire au gradient de temp´erature a ´et´e observ´ee dans la cellule rectangu- laire unidimensionnelle. Cette instabilit´e exclut alors la pr´esence d’ondes hydrothermales : ces derni`eres n’ont jamais ´et´e observ´ees dans les r´egimes o`u les rouleaux existent.

Cette instabilit´e a ´et´e observ´ee dans une cellule rectangulaire ´etendue par Daviaud et Vince (1993) et en g´eom´etrie cylindrique par Favre (1997), Favre et al. (1997). Dans cette derni`ere exp´erience, les rouleaux sont align´es selon le gradient de temp´erature et ils ont alors l’aspect de (( rayons de bicyclette )) (la cellule constituant la roue proprement dite). Du point de vue analytique, Mercier et Normand (1996) ont retrouv´e cette instabilit´e en consid´erant le cas de conditions aux limites thermiques conductrices sur le fond de la cellule tout en introduisant un nombre de Biot en surface.

Notre analyse comparative des effets gravitaires et thermocapillaires en termes de va- riation de hauteur et de nombre de Bond dynamique B d (cf § 1.1) a mis en avant une hauteur he s´eparant les r´egimes `a dominante gravitaire (h > he) des r´egimes `a domi-

nante thermocapillaire (h < he). Il est remarquable de noter que pour l’huile utilis´ee dans

toutes les exp´eriences o`u les rouleaux stationnaires ont ´et´e observ´es, nous avons justement he = 3 mm. Si le lien ´etait confirm´e, cela signifierait que les ondes hydrothermales n’ap-

paraissent que dans des conditions o`u les effets thermocapillaires sont pr´edominants. Cela est bien sˆur en accord avec les tous premiers r´esultats de Smith et Davis (1983a).