17.3 Quantification canonique, op´ erateurs de cr´ eation et d’annihilation
La proc´edure qui va ˆetre d´ecrite est due `a Dirac34 et utilise syst´ematiquement le fait que le Hamiltonien de l’oscillateur harmonique (17.4) est quadratique enxet pet peut mˆeme recevoir une forme plus sym´etrique en d´efinissant de nouveaux op´erateurs hermitiques X et P sans dimension :
X = mω
x , P = 1
√mω p . (17.70)
La relation de commutation fondamentale [x, p] = i1revˆet maintenant la forme :
[X, P] = i1 . (17.71)
et, avec ces variables, (17.4) s’´ecrit simplement : H = ω
2 (X2+P2) . (17.72)
Introduisons maintenant deux op´erateurs not´es aet a†, hermitiques conjugu´es l’un de l’autre : a = 1
Les deux op´erateurs aet a† ne sont pas hermitiques, `a cause du facteur i devantP (qui est hermitique). Leur relation de commutation se d´eduit de celle deX et P ; on trouve facilement :
[a, a†] = 1 . (17.76)
Le Hamiltonien s’exprime tr`es simplement `a l’aide des a et a†. En effet, partant de (17.72) et en utilisant (17.74) : En rempla¸cantaa† paraa†+ 1 en vertu de (17.76), il vient finalement l’expression remarquable :
H = ω
L’op´erateur N = a†a est manifestement hermitique et sans dimension ; par comparaison avec les r´esultats obtenus dans la section 17.2 (et notamment l’expression des ´energies possibles (17.29)), on voit que le spectre de N est constitu´e de tous les entiers positifs ou nuls et que ses vecteurs propres sont les mˆemes que ceux de H. Toutefois, il est tr`es instructif de retrouver ceci en raisonnant directement surN en proc´edant comme suit ; cette d´emarche `a l’´el´egance extrˆeme est due `a Dirac.
En utilisant l’identit´e [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B on obtient :
[N, a] = [a†a, a] = a†[a, a] + [a†, a]a = −a . (17.79)
34C’est le point de d´epart de sa th´eorie quantique du champ ´electromagn´etique.
et, comme [N, a†] =−[N†, a]†=−[N, a]†, on a aussi :
[N, a†] = a† . (17.80)
Soit|νun vecteur propre deN,suppos´e de norme finie :
N|ν= ν|ν . (17.81)
En utilisant (17.79), il vient :
N a|ν ≡ ([N, a] +aN)|ν= −a|ν+aν|ν = (ν−1)a|ν . (17.82) ce qui se lit :
N(a|ν) = (ν−1) (a|ν) , (17.83)
et montre que le vecteur a|νest aussi vecteur propre de N mais cette fois avec la valeur propre ν −1 – `a condition bien sˆur que ce vecteur ne soit pas le vecteur nul. La norme carr´ee de ce vecteur est :
(a|ν, a|ν) = ν|a†a|ν ≡ ν|N|ν= νν|ν . (17.84) Comme la norme carr´ee de tout vecteur est positive ou nulle, on en d´eduit ν≥0 : toutes les valeurs propres de l’op´erateur N sont donc des nombres r´eels positifs ou nuls. Maintenant, on peut recommencer ces op´erations et consid´erer :
N a2|ν = ([N, a2] +a2N)|ν = ([N, a]a+a[N, a])|ν+a2N|ν
= (−a2−a2)|ν+a2N|ν = (ν−2)a2|ν . (17.85) Ceci qui montre que le vecteura2|νest propre deN avec la valeur propreν−2. Par application r´ep´et´ee dea, on peut ainsi mettre en ´evidence une suite de vecteurs propres deN ayant les valeurs propresν,ν−1,ν−2, etc. Cette suite ne peut ˆetre infinie, puisque l’on vient de montrer que les valeurs propres de N sont toutes positives ou nulles ; si ν n’´etait pas un entier, on finirait par construire un ´etat propre de N avec une valeur propre strictement n´egative. Il faut donc que, tˆot ou tard, la diff´erence (ν− un entier) soit nulle, ce qui montre queν est lui-mˆeme un entier, positif ou nul35. Alors, la s´equence de vecteurs se termine avec :
N aν|ν = (ν−ν)aν|ν = 0 . (17.86)
Revenant `a (17.83) pour la plus petite valeur propreν = 0 (´etat fondamental), on a :
N a|ν= 0 = (0−1)a|ν ⇐⇒ N(a|0) = −(a|0) ; (17.87) mais commeN ne peut avoir de valeur propre n´egative, ceci n’est possible que sia|0est le vecteur nul :
a|0 = 0 . (17.88)
On voit ainsi que l’op´erateur ad´etruitl’´etat fondamental (souvent appel´e dans ce contexte : ´etat vide, ou plus simplement,|vide). D’une fa¸con g´en´erale, l’op´erateuraengendre, `a partir de|ν, le vecteur propre deN ayant la valeur propreν−1, r´eduite d’une unit´e par rapport `a la premi`ere : en quelque sorte,aannihileune excitation et fait passer d’un ´etat `a l’´etat imm´ediatement inf´erieur en ´energie. Comme on ne peut pas d´etruire ce qui n’existe pas,aagissant sur l’´etat|vide(le fondamental) donne z´ero.
La mˆeme gymnastique peut s’effectuer `a partir de l’autre relation, (17.80). On a ainsi :
N a†|ν ≡ ([N, a†] +a†N)|ν = a†|ν+a†ν|ν = (ν+ 1)a†|ν . (17.89) Le vecteura†|νest donc propre deN avec la valeur propreν+ 1 ; sa norme est :
(a†|ν, a†|ν) = ν|aa†|ν = ν|a†a+ 1|ν ≡ ν|N+ 1|ν = (ν+ 1)ν|ν . (17.90)
35Ce r´esultat s’obtient aussi en se souvenant que l’´energie est sup´erieure au minimum deV(x), ici ´egal `a z´ero. En vertu de (17.78), il faut donc queν+ 1/2 soit toujours positif. Siν n’´etait pas entier, tˆot ou tard la quantit´eν+ 1/2−entier deviendrait n´egative.
17.3. QUANTIFICATION CANONIQUE, OPERATEURS DE CREATION
ET D’ANNIHILATION 167
Cette norme n’est jamais nulle puisque ν ≥ 0 ; par application r´ep´et´ee de a†, on peut ainsi engendrer une suite infinie de vecteurs propres deN correspondant aux valeurs propresν+ 1, ν+ 2,etc. L’op´erateura† fait ainsi passer d’un ´etat|ν`a l’´etat imm´ediatement sup´erieur |ν+ 1: ilcr´eeune excitation suppl´ementaire. Par ailleurs, il est clair que le spectre deN n’est pas limit´e vers le haut.
Au total, le spectre de N est constitu´e de tous les entiers positifs ou nuls. On notera d´esormais ν =n pour rappeler ce fait et on d´esignera par|nun vecteur propre normalis´e deN :
N|n = n|ν , n|n = 1 . (17.91)
Les deux op´erateurs aet a† respectivement annihile et cr´ee une excitation ; pour cette raison, ils sont respectivement appel´es op´erateur d’annihilation et op´erateur de destruction. L’un cr´ee, l’autre annihile un quantum d’excitation : on peut imaginer que, dans un contexte `a pr´eciser, ces op´erateurs cr´eent ou annihilent des particules, la notion de particule ´etant alors identifi´ee avec celle de quantum ´el´ementaire (d’un champ).
L’op´erateurN, lui, “compte” le nombre d’excitations (= nombre de quanta,i.e. nombre de particules) : il est pour cette raison naturellement appel´e op´erateur “nombre de particules”. Compte tenu de l’expression deH (17.78), il r´esulte queH a bien pour valeurs propres les ´energies ω(n+ 1/2).
Remarque
Dans la premi`ere pr´esentation (m´ethode polynˆomiale de Sommerfeld), le lien entre la n´ecessit´e d’avoir des ´etats propres normalisables et la quantification des valeurs propres deH a ´et´e clairement mis en ´evidence.
Ce lien est peu visible dans la discussion ci-dessus mais il est ´evidemment toujours pr´esent. En r´ealit´e, on a suppos´e implicitement d`es le d´ebut que tous les ´etats propres deN ´etaient denorme finie.
Pr´ecisons maintenant l’action des op´erateursaeta† sur les ´etats propres|nnormalis´es, que l’on suppose d´esormais normalis´es `a l’unit´e. Comme a†|n est propre de N avec la valeur propre n+ 1, ce vecteur est
A une phase pr`` es, on peut toujours choisirCn r´eel positif. Avec cette convention, (17.92) devient : a†|n = √
36C’est bien une base orthonorm´ee : tous les|nsont propres d’un op´erateur hermitique (N,H) et il n’y a pas de d´eg´en´erescence.
Par ailleurs, commeaest le hermitique conjugu´e dea† et que la base {|n}nest orthonorm´ee, on a :
On retrouve bien quea, agissant sur l’´etat fondamental (vide) donne z´ero : si on veut d´etruire une excitation (particule) qui n’existe pas, on obtient rien du tout.
Ayant trouv´e les matrices dea eta†, il est facile d’en d´eduire celles37 de la positionxet de l’impulsion p, en utilisant (17.75) :
Etablissons maintenant le lien explicite entre l’approche de Dirac et la formulation polynˆomiale de Som-merfeld op´erant directement sur l’´equation de Schr¨odinger. Comme on l’a vu, l’´etat |n peut s’obtenir par application r´ep´et´ee de a† sur l’´etat fondamental (voir (17.98)). Par ailleurs, compte tenu de (17.70) et de (17.73), l’expression dea† en repr´esentation coordonn´ee est(p → −i(d/dx)) :
a† = 1
37Les matrices dexet deppeuvent aussi s’obtenir directement en suivant l’approche alg´ebrique de Heisenberg (M´ecanique des Matrices).