En rassemblant les r´esultats pour toutes les valeurs possibles de l’´energie, on voit que le coefficient de r´eflexionRvaut 1 tant queE ≤V0, puis d´ecroˆıt et tend vers z´ero `a haute ´energie ; sa d´ecroissance pourE V0
est en (V0/E)2.
Notons que le courant total a en g´en´eral les expressions : j(x) =
(k/m) (|A|2− |B|2) six <0
(|K|/m) (|C|2− |D|2) six >0 . (16.155) de sorte que la conservation du courant s’´ecrit42 ici:
k(|A|2− |B|2) = |K|(|C|2− |D|2) . (16.156)
16.5 La barri` ere de potentiel
L’´etude des ´etats li´es du puits carr´e, tout autant que celle des ´etats d’´energie inf´erieure `a la hauteur de la marche, a en particulier r´ev´el´e une propri´et´e assez extraordinaire : quand l’´energie de la particule estinf´erieure
`
a celle fixant le haut du puits (´etat li´e,−V0 < En <0), ou le haut de la marche (0< E < V0), la probabilit´e n’est pas nulle de trouver la particule en dehors du puits, ou au-del`a de la marche. Dans ces r´egions, interdites classiquement, la fonction d’onde d´ecroˆıt, certes exponentiellement, mais n’est pas identiquement nulle (on a vu toutefois que le courant y est identiquement nul). La longueur typique de d´ecroissance est 1/kn ; dans le cas du puits carr´e, cette quantit´e est reli´ee au vecteur d’ondekn de l’´etat li´e consid´er´e par :
kn =
k02−Kn2 = 1
2m 2m(−En) = −1 p2n . (16.157) Cette ´echelle de longueur est donc d’autant plus grande que l’´etat est moins li´e (|E|petit), traduisant d’ailleurs le fait que les ´etats sont naturellement d’autant plus diffus (moins localis´es) qu’ils correspondent `a une grande
´ energie.
Ce ph´enom`ene de p´en´etration dans les r´egions inaccessibles classiquement est encore plus spectaculaire si on consid`ere non pas un puits mais une barri`ere43de potentiel, dans le cas o`u l’´energie est inf´erieure `a la hauteur V0 de la barri`ere. Une particule classique incidente de la gauche avec une ´energie (cin´etique)E inf´erieure`aV0
rebondit simplement sur le mur. On va voir que la particule quantique, dans les mˆemes conditions (E < V0 !), peutpasser`a travers la barri`ere (le courant n’est pas nul `a droite si la source est enx=−∞) : c’est ce que l’on appelle l’effet tunnel (passer de l’autre cˆot´e de la montagne sans l’escalader).
Pour mettre en ´evidence l’effet en question, seuls importent les ´etats d’´energie inf´erieure `a V0 ; pour les autres, on trouve qu’il existe `a la fois une onde transmise et une onde r´efl´echie, ph´enom`ene surprenant au premier abord mais auquel on doit maintenant ˆetre habitu´e ; examinons donc exclusivement les ´etatsE < V0, la m´ethode
´
etant toujours la mˆeme : r´esolution de l’´equation aux valeurs propres dans chaque r´egion et raccordement aux points o`uV(x) a un saut. Il est inutile de faire les calculs : tout ce qui a ´et´e fait dans le cas du puits carr´e est utilisable directement, `a condition simplement de changer V0 en−V0. On pose donc :
E = 2k2
2m , E−V0 = 2K2
2m . (16.158)
CommeE < V0,Kest maintenant imaginaire pur ; les relations de continuit´e ´ecrites `a propos des ´etats non-li´es du puits fini restent valables et il suffit, si on souhaite les expliciter, de prendre en compte le fait que maintenant K = i|K|. Les relations de continuit´e se traduisent toujours par (16.102) (mais comme K est maintenant
42Noter que la pr´esence deket de|K|aux premier et second membre respectivement.
43Une barri`ere est la juxtaposition d’une marche et d’une “antimarche” de potentiel.
imaginaire pur cos ix= coshx, sin x= i sinhx). Les coefficientsR etT sont toujours donn´es par (16.111). En particulier, on trouveT sous la forme :
T = 4E(V0−E)
4E(V0−E) +V02 sinh2 2ma2(V0−E)/2 ≡ 4ε(1−ε)
4ε(1−ε) + sinh2 µ(1−ε) , (16.159) o`uµetεsont d´efinis en (16.115). Cette expression se simplifie pour une barri`ere haute (EV0 soitε1) et large (k0a 1) ; dans ces conditions :
T 16 E V0
exp
−2−1 2ma2(V0−E)
, (16.160)
Dans ces conditions extrˆemes, le coefficient de transmission est exponentiellement petit et, tant que εn’est pas trop proche de 1, croˆıt en gros commeε. Quandε → 1 (`a gauche),T tend vers 4/(4 +µ).
Dans l’autre cas,E > V0, le coefficient de transmission est donn´e par :
T = 4E(E−V0)
4E(E−V0) +V02 sin2 2ma2(E−V0)/2 ≡ 4ε(ε−1)
4ε(ε−1) + sin2 µ(ε−1) , (16.161) Ceci ach`eve de d´eterminerT quelle que soit la valeur de l’´energie. Bien ´evidemment, les deux expressions deT, (16.159) et (16.161), donnent la mˆeme valeur pourE =V0 `a savoirT = 4/(4 +µ). A nouveau, des r´esonances tr`es fines se produisent `a chaque fois que le sinus s’annule et alorsTvaut exactement 1. La plupart des remarques faites `a propos des ´etats non-li´es du puits fini, peuvent ˆetre reprises ici ; en particulier, si µ 1 (vrai si la particule est tr`es massive),T vaut `a peu pr`es soit 0 soit 1 (suivant que l’´energieEest plus petite ou plus grande queV0) ; la mont´ee entre 0 et 1 (T est une fonction continue !) se fait sur un intervalle d’ordre 1/µ.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 1.0 2.0 3.0
T
ε µ = 1000 µ = 1
Figure 16.18: Variation de la transmission de la barri`ere en fonction de E/V0, pour deux valeurs de µ = 2ma2V0/2.
Le coefficient de transmission d´epend de fa¸con spectaculaire de la masse de la particule. Pour une particule de masse ´elev´ee (µ 1), le coefficient est pratiquement nul tant que l’´energie est inf´erieure `a V0. Au contraire, pour une particule l´eg`ere,T prend des valeurs importantes, mˆeme `a basse ´energie. Ceci est confirm´e par une application num´erique ; pour une barri`ere atomique :
a= 1˚A , V0= 2 eV . (16.162)
Si la particule incidente est un ´electron (m= 9×10−31kg) d’´energie 1 eV44, on trouve :
T´electron0.78 . (16.163)
En revanche, dans les mˆemes conditions, pour un proton, on trouve :
Tproton4×10−19 . (16.164)
Ainsi, pour cette barri`ere de dimensions atomiques, l’´electron se comporte ultra-quantiquement, alors que le proton, en raison de sa masse ´elev´ee, est quasi-classique : la probabilit´e de trouver ce dernier au-del`a de la barri`ere est tr`es petite.
44Une telle ´energie est faible, mais pour un ´electron, elle correspond `a une vitesse de l’ordre de 600 km/s.
16.5. LA BARRI `ERE DE POTENTIEL 151
L’effet tunnel joue un rˆole fondamental en microphysique et poss`ede bien des applications. C’est lui qui est responsable de la d´esint´egrationαde certains noyaux. On fabrique des diodes utilisant cet effet (diode tunnel).
Le microscope `a effet tunnel permet d’obtenir des images extraordinairement pr´ecises de la surface des m´etaux et constitue un appareil d’une sensibilit´e extraordinaire45. Le maser `a ammoniac utilise une transition tunnel (l’atome d’azote passe d’un cˆot´e `a l’autre du plan des trois atomes d’hydrog`ene `a une fr´equence relativement faible (correspondant `a une longueur d’onde centim´etrique :ν ∼1011 s−1, λ∼1 cm). Un m´elange isotopique peut ˆetre enrichi dans l’isotope le moins massif par passage `a travers une (ou plusieurs) barri`ere(s), etc.
45La sensibilit´e r´esulte essentiellement de la d´ependanceexponentielledu courant tunnel par rapport `a la distance entre la pointe et la surface.
Chapitre 17
L’oscillateur harmonique
Le but de ce chapitre est de donner un traitement ´el´ementaire et aussi complet que possible de l’oscillateur harmonique lin´eaire (au sens : une dimension d’espace). Comme on le sait, ce syst`eme a ´et´e le terrain d’essai de la M´ecanique des Matrices de Heisenberg et une partie des r´esultats ´etablis dans la suite sont d´ej`a connus (par exemple : la quantification de l’´energie,En= (n+12)ω), de sorte que ce dernier chapitre, d’une certaine fa¸con, referme la boucle. Le point de d´epart sera ici l’´equation aux valeurs propres de Schr¨odinger, dont on s’attachera
`
a d´eterminer les solutions (modes propres), rencontrant `a nouveau le rˆole crucial des conditions requises pour toute fonction acceptable quant `a l’apparition de la quantification1– dans une situation toutefois moins simple qu’au chapitre pr´ec´edent puisqu’ici le potentiel varie continˆument. En outre, l’introduction des op´erateurs de cr´eation et d’annihilation donnera l’occasion de toucher du doigt une ´etape suppl´ementaire de l’´elaboration de la Th´eorie Quantique2, o`u on laisse “flotter” le nombre de particules, bosons ou fermions.
17.1 L’importance de l’oscillateur harmonique
L’oscillateur harmonique joue en Physique un rˆole de premier plan. Le plus souvent, ce syst`eme apparaˆıt pour la premi`ere fois `a propos des oscillations d’une masse (ponctuelle) mfix´ee `a l’extr´emit´e d’un ressort parfait3de raideurk. En l’absence de frottements, on sait que, `a partir d’un ´etat initial hors d’´equilibre (vitesse initiale non nulle et/ou position initiale distincte de la position d’´equilibre), le point mat´eriel effectue des oscillations `a une fr´equence ν0 bien d´etermin´ee, reli´ee `a la pulsationω0= (k/m)1/2 parν0=ω/2π. En pr´esence de frottements, les oscillations sont amorties, le caract`ere ´eph´em`ere du mouvement ´etant une simple cons´equence de la non-conservation de l’´energie m´ecanique du syst`eme constitu´e par la masse et le ressort, le milieu ext´erieur absorbant peu `a peu l’´energie m´ecanique initialement disponible sous forme potentielle et/ou cin´etique ; l’amortissement est caract´eris´e par une ´echelle de tempsτ que l’on peut appeler dur´ee de vie. On distingue usuellement, deux types de r´egimes (facilement mis en ´evidence th´eoriquement lorsque la force de freinage est proportionnelle `a la vitesse4) : le r´egime sous-amorti, pour lequel la petite masse effectue un grand nombre d’oscillations durant le temps τ (ω−01 τ) et le r´egime sur-amorti o`u, le frottement ´etant tr`es fort, la masse n’a gu`ere le temps d’osciller et perd tr`es vite toute son ´energie m´ecanique (ω−01 τ). On caract´erise souvent la nature du r´egime par la valeur du facteur de qualit´eQ=ω0τ /2π=ν0τ ;Qest tr`es grand pour le r´egime sous-amorti, tr`es petit dans le cas contraire. Lorsque τ est tr`es grand par rapport `a toute autre ´echelle de temps d´ej`a pr´esente par ailleurs, le syst`eme physique consid´er´e peut, de fait, ˆetre assimil´e `a un oscillateur id´eal, non-dissipatif.
Dans le cas le plus simple, l’oscillateur n’implique qu’un seul degr´e de libert´e (coordonn´ee pour la masse fix´ee au ressort, angle par rapport `a la verticale pour le pendule dans la limite des petites oscillations, etc.) ; il existe ´evidemment des oscillateurs `a plusieurs degr´es de libert´e, qui peuvent d’ailleurs ˆetre isotropes ou anisotropes. Tous ont la mˆeme propri´et´e remarquable : ce sont des syst`emes lin´eaires. En effet, comme l’´energie potentielle est – par d´efinition – quadratique par rapport aux degr´es de libert´e, la force est une fonction du
1Comme on le verra, l’oscillateur harmonique ne poss`ede que des ´etats li´es.
2appel´ee “Seconde Quantification”.
3On parle alors d’oscillateurmat´eriel.
4Ce que l’on appelle le frottementfluide.
premier degr´e (lin´eaire) de ces mˆemes variables ; il en r´esulte que l’´equation fondamentale de la dynamique est une ´equation (ou un syst`eme d’´equations) lin´eaire. C’est la raison profonde pour laquelle l’oscillateur harmonique a une dynamique tr`es simple, aussi bien d’ailleurs en M´ecanique Classique qu’en M´ecanique Quantique.
Les aspects dynamiques se retrouvent dans la susceptibilit´e5 de l’oscillateur, χ, fonction qui traduit la r´eponse du syst`eme `a une excitation ext´erieure ; comme l’oscillateur est un syst`eme lin´eaire, l’´etude de la r´eponse peut ˆetre abord´ee en d´ecomposant la perturbation externe en ses composantes de Fourier et l’analyse de la variation en fr´equence engendre spontan´ement une fonctionχ(ω). Dans le cas du frottement faible, cette fonction pr´esente une variation r´esonnante `a une valeur tr`es proche deω0, si proche d’ailleurs que le plus souvent on admet que la r´esonance se produit `aω0strictement (le d´eplacement de la r´esonance est du second ordre par rapport `a 1/(ω0τ) qui, dans le cas sous-amorti, est tr`es petit devant 1) ; le maximum est d’autant plus aigu et la largeur d’autant plus faible que le frottement est faible et, en pratique, c’est la dissipation d’´energie induite par le couplage avec l’ext´erieur sous forme de frottements qui empˆeche le syst`eme d’exploser6. En pr´esence de frottement fort, χ(ω) est une fonction variant lentement, tr`es large et passant par un maximum pour une fr´equence, tr`es diff´erente deω0, dont la d´ependance par rapport `aτ ne peut plus ˆetre ignor´ee.
On sait qu’il existe ´egalement des oscillateurs ´electriques, le plus simple ´etant constitu´e par un circuit LC parall`ele ; la fr´equence propre est alorsω0=√
LCet la composante dissipative est constitu´ee par les in´evitables r´esistances pr´esentes dans le circuit (fils de connexion, r´esistance de fuite du condensateur, r´esistance de la bobine). Un int´erˆet majeur d’un tel dispositif est son aptitude `a filtrer les diff´erentes composantes de Fourier d’une source et constitue la base du circuit d’accord d’un appareil de r´eception. Par des associations diverses, on peut aussi fabriquer des filtres passe-haut, passe-bas ou passe-bande, utilis´es par exemple dans les enceintes acoustiques.
L’apparition de l’oscillateur harmonique ne se limite pas, loin de l`a, aux exemples qui viennent d’ˆetre cit´es. D’ailleurs, l’atome de Thomson classique est un oscillateur harmonique dans le r´egime sous-amorti7. D’une fa¸con tout `a fait g´en´erale, l’oscillateur surgit d`es qu’un syst`eme caract´eris´e par un degr´e de libert´eq poss`ede une “position” d’´equilibre stableq0 r´esultant de l’existence d’un minimum pour une fonctionV(q) qui joue le rˆole d’une ´energie potentielle dans une ´equation du mouvement, pourvu que l’on se borne `a examiner les petites oscillations autour de la position d’´equilibreq0 (V(q0) = 0). Par hypoth`ese, dans ce contexte, on introduit le d´eveloppement :
V(q) = V(q0) +1
2(q−q0)2V(q0) +. . . , (17.1) et, par la suite, on ne consid`ere que les termes explicitement ´ecrits. Par identification avec l’´energie potentielle d’un oscillateur mat´eriel parfait :
V(x) = 1
2kx2 ≡ 1
2mω20x2 , (17.2)
on voit que :
V(q0) = mω20 . (17.3)
L’hypoth`ese de l’´equilibrestable est contenue dans le fait que la d´eriv´ee secondeV(q0) est positive. Dans le cas des ´etats m´etastables (quand q0est un minimum relatif assez profond deV(q)),ω0repr´esente la fr´equence d’oscillation sur une ´echelle de temps petite par rapport au temps d’´echappement (par fluctuations thermiques, par exemple).
Ce point ´etant r´ealis´e, on imagine facilement l’immense vari´et´e des situations o`u l’oscillateur harmonique apparaˆıt spontan´ement. Par exemple, une mol´ecule diatomique AB est caract´eris´ee notamment par la longueur
5A prendre au mˆ` eme sens que lasusceptibilit´ede caract`ere, traduisant l’aptitude pour une personne `a partir “au quart de tour”.
6Les frottements, souvent consid´er´es comme nuisibles, sont aussi malgr´e tout d’une utilit´e extrˆeme. Un galvanom`etre non-amorti est totalement inutilisable (l’aiguille ne cesse d’osciller !). Un r´egulateur `a boules trop bien “huil´e” se met `a osciller et ne remplit plus son rˆole (d’une fa¸con g´en´erale, un amortissement optimis´e est essentiel dans tous les dispositifs de r´egulation). Pour un syst`eme `a tr`es grand nombre de degr´es de libert´e, l’existence d’un ´equilibre macroscopique r´esulte d’une comp´etition subtile entre les fluctuations (thermiques par exemple) et la dissipation d’´energie ; ceci se traduit par les th´eor`emes fondamentaux dits “th´eor`emes de fluctuation-dissipation”. Enfin, dans le cas de syst`emes complexes, les frottements sont d´eterminants pour limiter et contenir les explosions chaotiques : on s’accorde parfois `a penser que leskrachs boursiers peuvent r´esulter d’une mise en communication trop fiable (il manque un peu de “bruit”) et trop rapide des diff´erents agents prenant des d´ecisions ultra-rapides inconsid´er´ees, d´etermin´ees dans la hˆate par le comportement erratique des uns et des autres.
7L’´electron effectue environ un million de vibrations avant de chuter au centre.
17.1. L’IMPORTANCE DE L’OSCILLATEUR HARMONIQUE 155
d’´equilibre de la liaison chimique A-B ; mais les noyaux ne sont pas immobiles et, dans les cas ordinaires, effectuent des petites8 vibrations autour de leurs positions d’´equilibre9. D’une fa¸con g´en´erale, la th´eorie des vibrations mol´eculaires, et donc celle des r´eactions chimiques o`u intervient une ´etape dissociative10, fait un usage intensif de la th´eorie de l’oscillateur harmonique. Il en va de mˆeme dans un solide : les ions vibrent autour de leurs positions stables et les mouvements de petite amplitude sont d´ecrits par des excitations (par rapport
`
a un ´etat d’immobilit´e compl`ete), appel´ees g´en´eralement phonons car certaines d’entre elles sont responsables de la propagation du son dans le cristal. Ces phonons sont des “particules”, au sens o`u il existe une relation de dispersion reliant l’´energie `a l’impulsion.
Il existe bien d’autres cas, en Physique de la mati`ere condens´ee, o`u l’oscillateur harmonique joue un rˆole majeur, et o`u interviennent d’ailleurs des degr´es de libert´e qui ne sont pas“mat´eriels” au sens usuel. Il en va ainsi lorsqu’une structure magn´etique peut exister parce que, pour des raisons subtiles11, des moments perma-nents pr´ealablement existants, peuvent s’organiser pour donner lieu `a l’apparition d’un ordre `a longue distance (ferromagn´etisme, antiferromagn´etisme). Dans les syst`emes poss´edant cette inclination, on d´efinit des excita-tions de type magn´etique (par exemple les magnons) qui sont des excitations ´el´ementaires au-dessus de l’´etat fondamental ordonn´e dans l’espace (tous les moments pointent dans la mˆeme direction, ou sont alternativement en haut et en bas ; tout ´ecart par rapport `a cet ordre ne peut apparaˆıtre que par un apport d’´energie, par fluctuations thermiques par exemple). Un magnon est l’excitation, compatible avec la sym´etrie de translation discr`ete, construite sur tous les ´etats possibles o`u une seul spin est retourn´e (a “flipp´e”). `A `a basse densit´e, les magnons ont les propri´et´es d’oscillateurs harmoniques.
L’oscillateur harmonique s’introduit aussi lors de l’´etude des propri´et´es magn´etiques de l’atome. En effet, si un champ magn´etique statique B parall`ele `a Oz est appliqu´e `a un atome, il apparaˆıt d’une part un couplage du genre Zeeman donnant lieu au paramagn´etisme ordinaire, d’autre part un terme diamagn´etique proportionnel `a (x2+y2) constituant un oscillateur harmonique `a deux dimensions et produisant les niveaux quantiques dits niveaux de Landau. Ces niveaux jouent un rˆole important en Astrophysique : en champ intense, la distribution ´electronique d’un atome a tendance `a “s’aplatir” puisque le champ intense fait tourner rapidement les ´electrons dans un plan qui lui est perpendiculaire ; dans des conditions physiques exotiques extrˆemes apparaissant dans certains milieux astrophysiques, l’atome a tendance `a devenir quasi-bidimensionnel ; il en r´esulte une spectroscopie bien diff´erente de celle connue sur la Terre.
Enfin, il existe un autre cas tr`es important o`u l’oscillateur harmonique joue un rˆole fondamental : c’est lors de l’´etude du champ ´electromagn´etique. L’analyse du rayonnement thermique a donn´e l’occasion de voir que le champ ´electromagn´etique (classique) dans une cavit´e poss`ede un ensemble infini de modes propres, chacun d’entre eux ´etant strictement identique `a un oscillateur harmonique (immat´eriel) de fr´equence bien d´etermin´ee ; cette identification est possible par la forme du Hamiltonien du champ (voir Chapitre 4). Comme toute quantification peut s’effectuer `a partir de l’expression du Hamiltonien (classique), la Th´eorie Quantique du rayonnement repose, elle aussi, sur celle de l’oscillateur harmonique.
Ces diff´erents exemples montrent l’omnipr´esence de l’oscillateur harmonique en Physique et justifient une pr´esentation d´etaill´ee de la quantification de ce syst`eme tr`es simple. Celle-ci ne concernera qu’un oscillateur non-dissipatif : la th´eorie quantique de la dissipation est un monde en soi et sort r´esolument du cadre de ce cours.
8Cette hypoth`ese est essentielle pour que l’on puisse s’en tenir au d´eveloppement (17.1).
9Cette vision r´esulte de l’approximation dite de Born - Oppenheimer (aussi dite adiabatique), justifi´ee par le fait que les noyaux ont un mouvement lent (compte tenu de leur grande inertie) par rapport `a celui des ´electrons, tr`es rapides en raison de leur faible masse ; bien ´evidemment, la distance internucl´eaire d’´equilibre d´epend `a son tour du mouvement ´electronique, dont les noyaux ne voient, en quelque sorte, que la moyenne temporelle.
10Si l’amplitude des vibrations devient grande, la mol´ecule peut se dissocier. Pour un solide, c’est la fusion qui commence.
11L’origine de ces structures n’est pas l’existence d’interactions du genre dipˆole magn´etique entre les moments permanents, mˆeme si ces interactions jouent finalement un rˆole important pour la structure macroscopique (domaines de Bloch) ; en r´ealit´e, ce sont les ´electrons, leurs interactions ´electrostatiques et le principe de Pauli qui sont la base de tout. D’une part, c’est la structure
´
electronique des ions du solide qui produit ou ne produit pas les moments permanents individuels ; d’autre part, c’est le mouvement
´
electronique dans le syst`eme ´etendu dans l’espace qui, par des m´ecanismes subtils, provoque l’apparition d’une interaction effective
electronique dans le syst`eme ´etendu dans l’espace qui, par des m´ecanismes subtils, provoque l’apparition d’une interaction effective