Cette relation est propre `a la particule libre, n’a aucun caract`ere de g´en´eralit´e, ni aucun sens particulier ; par exemple, dans le cas de l’oscillateur harmonique, on verra que le propagateur est donn´e par :
U(x, t;x0,0) =
mω
2iπsinωte2imωsinωt[(x+x0)2cosωt−2xx0sinωt] . (15.117) Son int´egrale vaut (cosωt)−1/2e[mωx20/(2i)] tanωt = 1, sauf35siω= 0 (ou aux instantstn tels queωtn = 0 (2π)). Il n’y a d’ailleurs aucune raison que l’int´egrale de U sur l’espace soit ´egale `a 1, sauf pr´ecis´ement pour la particule libre o`u aucun point de l’espace n’est privil´egi´e.
15.3 S´ eparation espace – temps et ´ etats stationnaires
Consid´erons le cas o`u, `at= 0, l’´etat est l’un des ´etats propres du Hamiltonien, soit|ψm0(suppos´e non d´eg´en´er´e) d’´energie Em0 =ωm0. L’´etat qui en d´ecoule `a l’instantt s’obtient par application de l’op´erateur d’´evolution U(t). Il en r´esulte, dans les mˆemes notations que pr´ec´edemment :
|Ψ(t) =
n
|ψne−iωntψn|ψm0 = e−iωm0t|ψm0 ≡ |Ψst(t) . (15.118)
Un tel ´etat, o`u la d´ependance en temps se r´eduit `a un facteur de phase global, est appel´e ´etat stationnaire. La fonction d’onde est alors de la forme Ψ(r, t) = e−iωm0tψm0(r) et les variables temps et espace sont s´epar´ees.
La terminologie vient du fait que la moyenne de toute observable ind´ependante du temps A dans un tel ´etat est une constante dans le temps, que cette observable soit ou non une constante du mouvement. Il est facile de v´erifier ce fait, en raisonnant soit`a laHeisenberg, soit`a laSchr¨odinger.
Il en va ´evidemment tout autrement si l’´etat initial est une combinaison lin´eaire de plusieurs ´etats propres d’´energies diff´erentes ; ce cas permet la distinction explicite entre une observable commutant avecH (constante du mouvement) et une observable ne commutant pas avec H. Pour montrer ceci, il suffit de consid´erer une combinaison `a deux termes ; soit donc l’´etat initial suivant, form´e `a partir de deux ´etats associ´es `a deux valeurs propres distinctes deH (Em1 =Em2) :
|Ψ(0) = c1|ψm1+c2|ψm2 , (15.119) o`u les deux coefficientsci sont donn´es une fois pour toutes. Le vecteur d’´etat au tempst est (Em=ωm) :
|Ψ(t) = c1e−iωm1t|ψm1 +c2e−iωm2t|ψm2 (15.120) et la valeur moyenne d’une observable quelconqueAest :
A(t) ≡ Ψ(t)|A|Ψ(t)
= |c1|2ψm1|A|ψm1+|c2|2ψm2|A|ψm2+ 2*
ei(ωm2−ωm1)tc1c∗2ψm2|A|ψm1
. (15.121) Maintenant, de deux choses l’une :
• ou bien Aest une constante du mouvement ; alors, son commutateur avec H est nul, ainsi que l’´el´ement de matriceψm2|A|ψm1, d’o`u il r´esulte queAest ind´ependant du temps.
• ou bien An’est pas une constante du mouvement ; alors, en g´en´eral l’´el´ement de matrice ψm2|A|ψm1 n’est pas nul. Dans ces conditions,A(t) oscille dans le temps `a la pulsation de Bohrωm2−ωm1.
La g´en´eralisation `a une combinaison lin´eaire quelconque est imm´ediate. On se convainc ainsi `a nouveau que toute observable qui commute avecH a une valeur moyenne constante dans le temps, quel que soit l’´etat consid´er´e. En revanche, si [A, H]= 0, les termes oscillants sont bel et bien pr´esents : les probabilit´es Pm de trouver les diff´erentes valeurs am lors d’une mesure de A `a l’instantt sont des fonctions explicites du temps
´
ecoul´e depuis la derni`ere pr´eparation.
35D’ailleurs, siω= 0, l’expression (15.117) redonne la particule libre, comme il se doit.
A propos des ´etats stationnaires, on peut d´emontrer l’analogue quantique du th´eor`eme du Viriel ([23], p.
82) bien connu en M´ecanique Classique. Sous sa forme g´en´erale, ce th´eor`eme affirme que pour un mouvement p´eriodique classique et pour un ensemble deN points mat´eriels, l’´egalit´e suivante est vraie :
T¯ = −1 2
N i=1
Fi.ri , (15.122)
o`uT d´esigne l’´energie cin´etique, Fi la force appliqu´ee au point mat´erieli et o`u la barre horizontale d´esigne la moyenne sur une p´eriode du mouvement. Le second membre porte le nom de Viriel de Clausius et il existe une d´emonstration tr`es simple de la loi des gaz parfaits utilisant la relation ci-dessus ([23], p. 84) ; la base de la d´emonstration de ce th´eor`eme est la loi fondamentale de la Dynamique.
En pratique, le th´eor`eme du Viriel est tr`es commode lorsque l’´energie potentielle V est une fonction homog`ene des coordonn´ees. En consid´erant un seul point mat´eriel pour simplifier et en prenant par exemple un potentiel `a sym´etrie sph´erique de la formeV(r) =arn (alorsV(r) = (n/r)V(r)), le th´eor`eme du Viriel prend imm´ediatement la forme :
2 ¯T = nV .¯ (15.123)
Compte tenu de l’identit´e formelle entre les ´equations du mouvement classiques et quantiques, on se doute qu’il existe un th´eor`eme semblable en M´ecanique Quantique, la d´emonstration s’inspirant de la d´emonstration classique. Pour une seule particule, consid´erons la quantit´er.pet son ´equation de Heisenberg :
i d
dt(r.p)H = [r.p, H]H . (15.124) Un petit calcul montre que :
[r.p, H] = −r. ∇V +p2
m . (15.125)
Si on prend la moyenne membre `a membre de (15.124), tout est nul puisque dans un tel ´etat aucune moyenne ne d´epend du temps. Donc, pour un ´etat stationnaire, ou encore plus simplement pour n’importe quel ´etat propre deH :
−r. ∇V +p2
m = 0 ⇐⇒ 2T = r. ∇V . (15.126)
Ceci est l’expression du th´eor`eme du Viriel en M´ecanique Quantique. Dans le cas o`u l’´energie potentielleV est
`
a sym´etrie sph´erique, le gradient deV ne produit que la composante radiale dV /dret (15.126) devient :
−r. ∇V +p2
m = 0 ⇐⇒ 2T = rdV
dr . (15.127)
Enfin, siV est une fonction homog`ene de r,V(r) =arn, alorsV(r) =narn−1=nr−1V(r) et (15.127) prend la forme simple :
2T = nV(r) . (15.128)
Pour que ces ´ecritures aient un sens, il faut ´evidemment que les moyennes soient finies, ce qui est le cas pour tout ´etat li´e.
Remarque
La forme (15.128) est l’expression traditionnelle du th´eor`eme du Viriel, reposant sur l’hypoth`ese queV est une fonction homog`ene de degr´en. En r´ealit´e, la relation importante est (15.127). `A une dimension pour simplifier, cette relation est :
2T = x V(x) , (15.129)
qui d´ecoule donc directement des ´equations de Heisenberg. On peut ´ecrire une relation du genre Viriel chaque fois que l’on sait exprimer simplement la moyenne de xV en fonction de celle de V, ce qui est possible s’il
15.3. S ´EPARATION ESPACE – TEMPS ET ´ETATS STATIONNAIRES 119
existe un lien entre les fonctionsV et xV – par exemple quand V est une fonction homog`ene. Cette derni`ere hypoth`ese, suffisante, n’est toutefois pas n´ecessaire : il peut arriver que les moyennes elles-mˆemes – et non pas V(r) etV(r) – sont dans en relation simple. `A titre d’exemple, soit un potentiel de Diracgδ(x) et soit `a calculer la moyenne dexV sur un ´etat normalisable36,ψ(x). Les r`egles op´erationnelles ´enonc´ees plus haut `a propos de δ(et de ses d´eriv´ees) conduisent `a :
xV(x) = g +∞
−∞
dx δ(x)x|ψ(x)|2 = −g +∞
−∞
dx δ(x)
|ψ(x)|2+x d
dx|ψ(x)|2
(15.130) Le second terme ne contribue pas : la d´eriv´ee a bien un saut en x= 0 (sa valeur `a droite est diff´erente de sa valeur `a gauche), mais de toute fa¸conxδ(x) est nul. Il reste donc :
xV(x) = −g +∞
−∞
dx δ(x)|ψ(x)|2 = −g|ψ(0)|2 (15.131) et ceci n’est autre que−V. Dans le cas du puits de Dirac, on a donc :
2T = − V (15.132)
exactement comme dans le cas du champ coulombien (n=−1) – alors qu’ici,V(x) n’est visiblement pas une fonction homog`ene de degr´e−1 !
36Pour qu’il y ait des ´etats li´es, il faut ´evidemment que la constante de couplagegsoit n´egative ; ceci ´etant, on verra qu’un tel puits a toujours un et un seul ´etat li´e.
Chapitre 16
Probl` emes ` a une dimension
Ce chapitre pr´esente la m´ethode de r´esolution de l’´equation aux valeurs propres de Schr¨odinger dans quelques cas simples (`a une dimension d’espace) o`u les effets quantiques sont le plus souvent spectaculaires. On se souvient que ceux-ci se manifestent en particulier quand le potentiel1 o`u se d´eplace la particule varie vite sur une longueur comparable `a la longueur d’onde associ´ee de de Broglie ; c’est ´evidemment le cas lorsque ce potentiel varie “instantan´ement” en pr´esentant des discontinuit´es de premi`ere esp`ece, c’est-`a-dire des sauts d’amplitude finie. Plusieurs effets surprenants seront mis en ´evidence ; on verra ainsi qu’une particule incidente sur un puits d’´energie peut ˆetrer´efl´echie(classiquement, elle passe toujours) ; de mˆeme, une particule arrivant sur un “mur”
avec une petite ´energie est capable de “passer `a travers le mur” (effet tunnel) alors que, classiquement, elle ne peut que rebondir.
En outre, l’´etude de ces situations, en soi physiquement int´eressantes, donne l’occasion de se familiariser avec l’´equation aux valeurs propres et surtout de r´ealiser le lien tr`es fort existant entre les conditions impos´ees `a la fonction d’onde, r´esultant de l’interpr´etation physique de celle-ci, et l’apparition spontan´ee de la quantification.
Dans la suite on consid´erera typiquement les trois cas suivants :
x x x
marche puits
V(x)
barrière
Figure 16.1: Exemples de potentiels constants par morceaux.
L’int´erˆet de ces potentiels variant par morceaux est de conduire, intervalle par intervalle, `a une ´equation aux valeurs propres tr`es simple `a r´esoudre.