Proposition de solutions

Dans un souci de clarté, la démarche complète pour la mise au point d’une maquette de structure est disponible en Annexe C page 325. Ne seront présentés ici que les principes généraux et les résultats majeurs permettant le choix du modèle de structure.

Tous les éléments de la maquette de structure, poutres et poteaux, présentent la même section, ce qui permet de simplifier la conception.

4.1.3.1 Jeux de conditions aux limites retenus

Tout d’abord un certain nombre de configurations de conditions aux limites sont défi-nies. Elles vont permettre d’établir le comportement de la structure sous des sollicitations qui se rapprochent de celles engendrées par un fontis. Le comportement des semelles vis-à-vis du sol n’est ici pas pris en compte.

Trois configurations d’appuis sont considérées. Elles correspondent à l’apparition d’un fontis de 2-3 m de diamètre sous une semelle intermédiaire de la structure ou à l’apparition d’un fontis de 5-6 m de diamètre sous deux semelles voisines.

FIG. 4.2 – Les trois configurations de base pour les vérifications des niveaux de contraintes.

Ces trois cas doivent théoriquement permettre de s’assurer que le comportement de la structure sera conforme à celui prévu en terme de souplesse et que la plastification ne pourra pas avoir lieu lorsque la maquette sera soumise aux mouvements de terrain.

4.1.3.2 Matériau et modélisation sous CESAR

Dans le but de définir les matériaux et les sections correspondantes, le logiciel de cal-cul en Eléments Finis CESAR développé par le LCPC est utilisé pour tester les différentes configurations de conditions aux limites et ainsi déterminer les paramètres qui respectent le mieux les objectifs. Un certain nombre d’hypothèses de dimensionnement sont prises :

– Modèle : Modèle mécanique de typepoutre élastique linéaire. – Maillage : Eléments de type poutre découpés en 50 segments chacun. – Chargement : Chargement linéaire sur les travées.

– Conditions aux limites : Les semelles non-libres sont rotulées.

Les points vérifiés sont ceux abordés précédemment : les maxima de contrainte vis-à-vis des contraintes limites élastiques et la déformabilité de la structure.

En prenant quelques valeurs de modules d’Young, par exemple celui de l’acier et celui du béton ramené au modèle réduit (33000 × 3/40 = 2475MPa), on peut déterminer les sections de matériau correspondantes ainsi que les inerties.

Caractéristiques E = 210000 MPa E = 2475 MPa

Section (mm2) 14 1188

Inertie mm4 0.57 48.5

TAB. 4.4 – Section et inertie pour les deux modules d’Young de l’acier et du matériau mis à l’échelle du modèle réduit

Les deux valeurs en gras désignent les caractéristiques qui s’avèrent déterminantes dans le choix des dimensions des deux sections. Pour l’acier, ce sera ainsi la section qui sera privilégiée, pour le matériau recherché, ce sera l’inertie car la section obtenue est bien trop grande.

La section entrant en jeu pour le matériau acier est donc assez faible. Celle pour le matériau recherché est beaucoup plus importante, de l’ordre de 80 fois plus. Pour le ma-tériau acier, il n’apparaît pas réalisable de concevoir une structure présentant un portique en une seule trame vis-à-vis des instabilités. Il est donc choisi de séparer la structure en deux parties identiques qui seront placées parallèlement tel qu’illustré sur la figure 4.3.

Pour l’étude de différentes solutions techniques et le choix de l’une d’elle, il est néces-saire d’envisager un matériau présentant un module d’Young proche de celui recherché (2475 MPa). Un des matériaux présent dans la littérature qui possède un module d’Young compatible est le PVC. Le module d’Young d’une nuance courante vaut 2875 MPa comme déterminé en Annexe C page 325. Le second matériau envisagé est donc l’acier. Les li-mites éléastiques en traction et en compression sont présentées dans le tableau 4.5.

Maintenant que les caractéristiques des matériaux sont connues, les valeurs ES et EI issues de l’étude avec CESAR-LCPC sont utilisées pour déterminer les sections qui vont satisfaire les objectifs de souplesse et de contrainte pour chaque matériau, tout en évitant les configurations sujettes à instabilités (par flambement par exemple).

Deux jeux de sections donnent des résultats satisfaisants au niveau de la stabilité : une section acier de dimensions 0.8 × 8 mm2 et une section PVC de dimensions 4 × 6 mm2

Le tableau 4.6 synthétise les résultats pour chaque section envisagée pour la structure. Les critères de souplesse et de contraintes apparaissent, ainsi que la stabilité au

flambe-FIG. 4.3 – Schéma de principe pour la conception de la maquette de structure

Caractéristiques Acier PVC

E (MPa) 210000 2875

¯

σ(MPa) 235 >40

TAB. 4.5 – Module d’Young et limite élastique à la traction et à la compression pour l’acier et le PVC

ment mais aussi des critères plus subjectifs comme la facilité de mise en œuvre, le coût et la facilité de modélisation liée à la rhéologie du matériau.

Pour ce projet de recherche, la solution acier est retenue.

La structure est ensuite fabriquée. Les poutres et les poteaux sont des éléments conti-nus présentant des saignées de 4 mm au niveau des assemblages. L’assemblage se fait par emboitement puis par brasure des éléments afin de solidariser l’ensemble sans pour autant modifier le comportement de l’acier par une soudure.

4.1.3.3 Le chargement

Le mode d’application du chargement proposé par les règles de l’art est un chargement surfacique. Cependant comme le montre Mahamma (2002), il n’est pas évident de mettre en place un chargement réparti qui n’influence pas le comportement de la structure. Il n’est en effet pas envisageable d’utiliser un contact surfacique avec un corps rigide. Les poutres de la maquette de structure seront amenées à se déformer au cours des essais et il est nécessaire que la surface de contact reste constante au cours de l’essai. Il est aussi nécessaire que le chargement ne participe pas à augmenter artificiellement la raideur de la structure.

Caractéristiques Acier PVC

Section 0.8×8 mm 4×6 mm

Souplesse Bien Bien

Contraintes Moyen Bien

Instabilité Bien Bien

Mise en œuvre Bien Moyen

Modélisation Bien Moyen

Coût Bien Moyen

TAB. 4.6 – Qualité et défauts des différentes solutions pour la structure

Il est donc choisi d’appliquer deux charges ponctuelles identiques sur chaque travée de l’ouvrage. Des petits lingots de métal pesant 3,6 N et comportant deux rouleaux collés sur leur face inférieure (figure 4.4) sont utilisés.

FIG. 4.4 – Détail d’un bloc de métal pesant 3,6 N utilisé pour le chargement de la structure (vue de dessous)

Ces lingots sont numérotés de 1 à 6 et placés sur la structure tel que représentée sur la figure 4.5.

4.1.3.4 Les fondations

Les fondations posent un problème particulier. En effet, si le facteur d’échelle géomé-trique est appliqué directement, on obtient une largeur de semelle proche de 15 à 20 mm (en supposant que la taille réelle de la semelle filante soit de 60 à 80 cm) soit de l’ordre de quelques rouleaux du matériau analogique. Cela ne respecte donc pas le nombre de contacts minimum établi par Ovesen (1979) qui est de 10. De plus, il est nécessaire d’étu-dier la capacité portante du sol afin de s’assurer que celui-ci ne sera pas en rupture avant même le début de l’essai.

Il est tout d’abord nécessaire de déterminer la charge initiale que doit reprendre une semelle. On prend comme hypothèse qu’une semelle reprend les charges des demi-poutres qui lui sont associées. Les deux semelles centrales reprennent donc un effort d’environ

FIG. 4.5 – Positionnement des poids pour le chargement de la structure

8.2 N, pour un effort proche de 5 N pour les deux appuis de rive (Ces efforts correspondent à la descente de charge du chargement de la structure et de son poids propre).

La mise hors gel est de 60 cm au minimum en France. Si le facteur d’échelle est appliqué, cela se ramène à 15 mm sur le modèle réduit.

Il est donc possible de déterminer la largeur minimale des semelles pour reprendre les charges appliquées. La formule suivante, issue de la réglementation française2, permet de déterminer la capacité portante d’une fondation superficielle sous une charge verticale centrée. Q = B × L  γ^B 2 × Nγ + q × Nq+ c × Nc  (4.1) La couche de sol en surface ne possède pas de cohésion, le terme afférent c × Ncest donc nul. L’angle de frottement obtenu pour le matériau analogique pulvérulent est de 25.5˚. On considérera par la suite les valeurs de Nγ et Nqcorrespondant à un angle de 25˚. Les valeurs obtenues sont présentées dans le tableau 4.7.

φ Nγ Nq

25˚ 8.1 10.7

TAB. 4.7 – Valeurs des coefficients Nq et Nγ pour un angle de frottement de 25˚ La largeur minimale pour reprendre une charge de 8.2 N est donc de 18 mm en tenant compte d’un coefficient de sécurité égal à 2. Cette largeur est cependant largement infé-rieure à la valeur minimale préconisée pour éviter les effets d’échelle. Il est donc choisi d’utiliser une largeur de semelle de 41 mm lors des essais ce qui permet de s’assurer de l’homogénéité des contacts entre le sol analogique et les semelles.

Le fonctionnement de celle-ci ne sera pas représentatif des semelles réelles mais il nous semble préférable d’éviter l’apparition de comportement hasardeux en ne posant les fondations que sur un nombre réduit de rouleaux.