Le phénomène de fontis
1.3 L’interaction sol-structure
1.3.1 Etude de la stabilité des cavités
1.3.1.2 Les approches analytiques
Les méthodes analytiques sont basées sur la résolution des équations d’équilibre mé-canique reliant les états de contraintes-déformations dans le milieu concerné. Elles sont fréquemment utilisées pour l’analyse de la stabilité du toit de la cavité5.
Elles considèrent les bancs du toit d’une cavité comme des dalles ou des poutres en flexion. Un calcul de Résistance des Matériaux permet de déterminer, avec plus ou moins de précision selon les hypothèses retenues, les déformations et les contraintes dans le
4L’élancement d’un banc est relatif au ratio épaisseur sur portée sollicitée.
5Il existe cependant des méthodes analytiques pour déterminer la zone déconsolidée et donc potentiel-lement instable en fonction de la distribution des contraintes autour des cavités (Herget 1988; Betournay et al. 1994).
FIG. 1.6 – Coupe schématique d’une carrière de calcaire du bassin parisien (Vachat 1982) recouvrement. Le principal avantage de ces méthodes provient de leur simplicité d’utili-sation, ce qui les rend rapides et peu coûteuses.
1. L’approche de type dalle mince
Deux modèles classiques, rapportés par Tritsch (1987 et 2002), étudient la stabilité du toit en fonction de l’épaisseur du premier banc.
Le premier est le modèle de la plaque de Timoschenko (1961, 1968) qui suppose une dalle monolithique entièrement pesante. Ce modèle considère deux hypothèses distinctes :
– Une dalle encastrée dans quatre piliers rigides. – Une dalle posée sur quatre piliers rigides.
Selon l’hypothèse retenue, la rupture par flexion se fera dans des zones différentes (au niveau des parements pour la première hypothèse, au centre de la dalle pour la seconde).
Le deuxième modèle prend en compte une dalle encastrée dans des bords compres-sibles. Deux hypothèses différentes peuvent être réalisées sur la dalle :
– Une dalle monolithique qui supporte un recouvrement uniquement pesant. – Une dalle monolithique ou litée avec un recouvrement raide, porteur ce qui
dimi-nue d’autant la charge sur le premier banc.
Les méthodes analytiques se limitent souvent aux excavations de géométrie simple (rectangulaire) avec des chargements simples. L’état de contrainte initial doit de préférence être isotrope et la loi de comportement envisagée élastique linéaire. Un certain nombre de facteurs ne sont pas pris en compte :
– Les contraintes initiales ou induites à proximité de la cavité et l’influence de la géométrie de celle-ci sur leur répartition dans le massif de sol.
– La constitution (failles, fractures, joints de stratification) du massif et son com-portement mécanique.
FIG. 1.7 – Schéma de principe d’une modélisation par plaques ou poutres (LCPC-INERIS 2002)
– La présence de facteurs supplémentaires tels que les eaux souterraines et des surcharges en surface ou le caractère dynamique.
– Le vieillissement des matériaux avec le temps. – Le comportement rhéologique complexe des terrains.
De même que pour les méthodes empiriques, elles ne permettent pas d’estimer les mouvements en surface induits par un fontis.
2. Implémentation logicielle d’une approche analytique : le logiciel PRF2P
A partir de ces constatations, Abbass-Fayad (2004) a étudié le phénomène de fontis en utilisant une approche basée sur une méthode analytique modélisant les diffé-rents bancs consituant le massif de sol par des poutres superposées. Sous leur poids propre et le poids des matériaux sus-jacents, les poutres vont se déformer. L’ap-proche analytique retenue permet de déterminer la déformée et l’état de contrainte dans chaque couche de matériau.
A partir de cela, il est introduit la notion de fracturation induite. Lorsque la plasticité (par traction, compression et/ou cisaillement) apparaît, une fracture est manuelle-ment initiée qui pourra ensuite provoquer la chute de blocs.
L’ensemble de cette démarche fut implémentée dans un code de calcul analytique capable de tenir compte de l’auto-comblement par foisonnement des vides (cavité initiale et vide créé par la chute des matériaux). Pour un cas d’étude donné, le lo-giciel va itérer le schéma retenu (détermination des zones plastiques, fissuration induite, chute de blocs et calcul du volume de sol effondré grâce au coefficient de foisonnement) jusqu’à obtenir une des trois conditions d’arrêt :
– Absence de nouvelles zones plastiques. Il y a donc présence d’un banc suffisam-ment résistant.
– Auto-comblement. Le volume de matériau effondré et foisonné est donc supé-rieur ou égal au volume de la cavité plus le volume de la cloche de fontis. Il s’agit donc d’un code analytique qui permet :
– La vérification de l’état de stabilité des différents bancs en comportement élasto-plastique non-linéaire.
– La propagation de fractures dans les sections plastifiées. – La prise en compte de l’autocomblement par foisonnement.
– La prise en compte de charges extérieures (fondations, remblais, . . .).
Cet outil présente de plus l’avantage d’être très rapide à utiliser. La figure 1.8 montre l’un des cas traité avec ce code de calcul.
FIG. 1.8 – Géométrie simulée, les chutes par plastification et fracturation induite (Abbass-Fayad 2004)
Cependant certaines limitations sont inhérentes à l’approche retenue. Le découpage du recouvrement en un certain nombre de poutres conditionne de manière impor-tante l’apparition d’instabilités. La décomposition d’un banc suffisamment résistant pour stopper la remontée du vide en deux bancs équivalents qui eux vont céder sous le poids du recouvrement est très délicate et nécessite de parfaitement connaître la constitution et les caractéristiques mécaniques des différentes strates.
De plus, la fracturation induite est créée manuellement par l’utilisateur en fonction d’une étude bibliographique de cas similaires. Cette fracturation conditionne aussi la forme de la cloche de fontis et la remontée de celle-ci dans le recouvrement. 1.3.1.3 Les méthodes numériques
1. Rappels préliminaires
La dernière famille de méthodes concerne la modélisation numérique. A l’opposé des méthodes empiriques et analytiques qui se limitent à un domaine de validité, les méthodes numériques sont des outils généraux de résolution de systèmes complexes qui ne fournissent cependant qu’une solution approximative au problème. L’intérêt
réside dans leur capacité à prendre en compte des paramètres très variés (géométrie complexe avec des discontinuités, loi de comportement évoluée, coupe géologique des terrains, présence d’une nappe phéatique et sollicitations diverses). Elles sont donc beaucoup moins restrictives que ne peuvent l’être les méthodes empiriques et analytiques.
En contre-partie, elles sont généralement coûteuses, longues à utiliser et demandent une certaine expérience de la part de l’opérateur.
Quatre familles différentes de méthodes numériques sont fréquemment employées dans le domaine de la géotechnique :
– La méthode des Eléments Finis (EF). Elle est particulièrement adaptée aux mi-lieux continus où la prise en compte de quelques discontinuités ou de fractura-tions n’est pas le plus important.
– La méthode des Différences Finies (DF). Elle est adaptée au milieu continu. – La méthode des Eléments Distincts (MED). Développée par Cundall (1971, 1979),
elle est bien adaptée de par sa nature aux milieux affectés de nombreuses dis-continuités ou lorsque la fracturation des matériaux est une part importante de l’étude. Les éléments de base peuvent être soit des particules circulaires (ou sphé-riques en 3D) soit des blocs quadrangulaires déformables ou non.
– La méthode de l’Equilibre Limite (EL). Elle est généralement utilisée pour traiter des milieux discontinus très fracturés. Il existe principalement deux méthodes basées sur l’analyse de l’équilibre limite de blocs isolés (Kheder 1996).
Il apparaît donc que les méthodes numériques sont très variées, aussi bien par leur domaine d’application préférentiel que par les phénomènes qu’elles permettent de modéliser. Trois exemples d’application vont donc être présentés : le premier utilise une approche en milieu continu, le deuxième emploie une formulation en éléments distincts, tandis que la dernière utilise la méthode de l’équilibre limite.
2. La méthode des Différences Finies : le logiciel FLAC
FLAC est un logiciel qui permet la résolution de problèmes en contraintes–déformation dans un milieu continu. Il détermine en chaque point du maillage choisi le tenseur des contraintes et des déformations, ce qui permet de visualiser les phénomènes en jeu.
Le schéma de résolution utilisé est explicite. Ceci, associé à une formulation en Dif-férences Finies, implique que les variables sont connues en des points discrets de l’espace et que les variables au temps t+δt ne dépendent que de variables au temps t. Pour passer de l’instant t à l’instant t + δt, le logiciel va appliquer en chaque noeud la relation contrainte–déformation (issue du modèle de comportement) et les équations de mouvement afin d’acualiser la position des noeuds.
La condition nécessaire pour s’assurer de la convergence du calcul est que le pas de temps utilisé soit suffisamment petit. En effet, il convient de s’assurer que la vitesse de "l’onde de calcul" soit supérieure à la vitesse des "ondes physiques" des phéno-mènes modélisés. Cela permet de s’assurer que la perturbation ne peut pas sauter des noeuds au cours du pas de temps.
Ce schéma de résolution est donc itératif. Un certain nombre de cycles de calcul sont nécessaires avant d’atteindre un état d’équilibre, à la suite d’une perturbation. Plus le pas de temps utilisé doit être faible, plus le temps nécessaire au calcul sera
conséquent, même pour un cas aussi simple que de l’élasticité linéaire.
Il apparaît donc que cette approche est plus particulièrement adaptée à l’étude de systèmes comportant des modèles de comportement complexes, de grandes défor-mations ou des instabilités physiques. Le tableau 1.1 compare les avantages et les inconvénients des deux schémas couramment employés : explicite et implicite.
Explicite Implicite
Le pas de temps doit être inférieur à une
valeur critique pour assurer la stabilité. Pas de restriction sur le pas de temps demanière générale. Faible charge de calcul par itération. Charge de calcul importante par pas detemps.
Pas d’amortissement numérique significatif introduit pour les problèmes
dynamiques.
Amortissement numérique dépendant du temps pour les schémas
inconditionnellement stables. Prise en compte de lois de comportement
non-linéaires sans itération supplémentaires.
Obligation d’une procédure itérative pour la prise en compte de comportements
non-linéaire. Si le pas de temps est inférieur au seuil
critique, une loi non-linéaire est toujours suivie d’une manière correcte.
Il est toujours nécessaire de démontrer que la procédure est stable et
physiquement correcte. Pas de matrice de rigidité construite.
Faible charge de mémoire.
La matrice de rigidité est construite à chaque étape. La charge mémoire peut
être très importante si le problème présente un grand nombre d’éléments. Aucune matrice de rigidité n’étant
construite, les grandes déformations peuvent être prise en compte avec un minimum de charge supplémentaire.
Des calculs supplémentaires sont nécessaires pour la prise en compte des
grandes déformations. TAB. 1.1 – Caractéristiques des schémas explicites et implicites.
Le principal avantage de cette méthode est qu’elle utilise une formulation assez simple et ne nécessite pas la construction d’une matrice de rigidité globale, étape très gourmande en mémoire. Par contre, la discrétisation de l’espace étudié peut être délicate pour des géométries complexes du fait de l’utilisation d’un ensemble de lieux discrets.
Des cavités karstiques près de Zagreb ont été étudiées par Kovacevic Zelic et al. (2001) pour déterminer les conditions de stabilité du toit. Les géophysiciens avaient abouti à la présence d’une cavité sous un recouvrement de 25 m. Sa forme et ses dimensions n’étant pas bien déterminées, une étude de sensibilité fut menée. Le code de calcul FLAC2D fut retenu.
L’approche retenue prévoyait la définition de la zone potentiellement instable en fonction de la géométrie de la cavité. Le modèle rhéologique utilisé est le modèle de
Mohr-Coulomb comme critère de plasticité. La première partie suppose une cavité de section verticale constante : 4 m2. Trois formes différentes sont envisagées : carré, circulaire et rectangulaire. Les résultats sont présentés dans le tableau 1.2.
Section Largeur de lacavité Hauteur de lacavité maximale de laHauteur zone plastifiée
Carré 2 m 2 m 7 m
Cercle 2.26 m 2.26 m 13 m
Rectangle 4 m 1 m Instable >25 m
TAB. 1.2 – Influence de la forme de la cavité sur le développement du vide
Le cas le plus défavorable est obtenu pour une cavité rectangulaire présentant sa dimension la plus importante dans le sens de la largeur. Il faut pondérer ce résultat par le fait que l’autocomblement par foisonnement des terrains n’a pas été pris en compte. Kovacevic Zelic et al. (2001) ont en effet considéré que la dissolution du calcaire par les eaux de circulations empêchera les terrains effondrés de rester en place. Le tableau 1.3 présente les résultats.
Surface de la
section Largeur de lacavité
Hauteur maximale de la zone plastifiée 4 m2 2 m 7 m 6.25 m2 2.5 m 10.5 m 9 m2 3 m Instable >25 m
TAB. 1.3 – Influence du volume de la cavité sur le développement du vide pour une cavité de forme donnée (Kovacevic Zelic et al. 2001)
Il apparaît donc que la cavité souterraine ne représente pas un risque d’instabilité pouvant remonter jusqu’en surface tant que sa largeur ne dépasse pas 2.5 m. Cette méthode présente deux inconvénients principaux. Tout d’abord, l’apparition de plasticité dans un élément ne signifie pas pour autant la rupture et la chute de celui-ci. Ensuite, comme les blocs ne peuvent pas se détacher et tomber dans la cavité, cette méthode n’est pas adaptée à l’estimation des caractéristiques du fontis en terme d’angle à la base, de surface et de foisonnement. C’est donc une méthode qui se limite à l’étude de la stabilité du toit mais pas à l’évaluation des conséquences de l’effondrement (en terme de mouvements à la surface par exemple).
3. La méthode des Eléments Distincts : exemple d’application au cas de Grande Mine– Bassin houiller de Provence
La méthode des éléments distincts considère les sols et les roches comme un en-semble d’éléments dont la forme peut être a priori quelconque. Cependant, plus la forme retenue sera simple et moins le modèle sera gourmand en terme de calcul. C’est pourquoi les éléments les plus courants sont de forme cylindrique (sphérique en 3D) ou quadrilatère. Deux sous-méthodes existent selon l’approche retenue. La méthode dite de la Dynamique Moléculaire considère des interactions continues entre particules pour des ensembles de particules considérées comme déformables (au moins au niveau du contact). Par exemple, la Discrete Element Method (DEM) de Cundall & Strack (1979) est mise en oeuvre dans les codes de calcul P F C2Det P F C3D pour des particules de forme circulaire et dans UDEC et 3DEC pour des blocs quadrangulaires qui peuvent être déformables. De même, la Granular Element Method développé par Kishino (1989) est une autre approche non pas basée sur l’intégration de l’équation de la dynamique mais sur la constitution de matrice de raideur pour mettre à jour la position des particules.
D’autres méthodes existent dans le domaine des éléments distincts : le code de cal-cul LMGC (Jean 1995), SDEC, GRADIA (Liu et al. 2003) et bien d’autres. Chacun possède certaines spécifités qui le rende plus adapté à certaines modélisations. La seconde sous-méthode considèrent les interactions entre particules par l’inter-médiaire de loi de chocs. Par exemple la méthode dite Event Driven est applicable à des milieux granulaires relativement lâches. Deux hypothèses sont généralement faites : les collisions présentent une durée nulle et il ne se produit pas plus d’une collision à la fois. Le schéma de résolution est alors simple. On avance de collision en collision en appliquant l’équation de la dynamique pour déterminer la trajectoire des particules et la loi de choc à restitution de Newton pour définir les vitesses des deux particules concernées par la collision après le choc.
L’exemple choisi porte en partie sur le secteur de Grande Mine, dans le bassin houiller de Provence. Didier et al. (2003) ont étudié les possibles conséquences d’un effondrement localisé par instabilité du toit ou rupture isolée de piliers. Le processus d’effondrement au toit des vides résiduels de la mine6 est étudié de ma-nière analytique. Par contre, les conséquences de la rupture d’un pilier de petites dimensions sont modélisées avec le logiciel UDEC.
L’exemple choisi correspond à une cavité isolée présentant les caractéristiques sui-vantes :
– Une largeur non soutenue de 30m après l’effondrement d’un pilier de 5m de largeur, placé au centre de la galerie.
– Une ouverture de 4m.
– Un pendage de la couche exploitée de 5˚.
– Quatre profondeurs différentes ont été envisagées : 30m, 40m, 60m et 80m. – Le recouvrement est composé de bancs calcaires. La fracturation est de densité
variable. Cela va d’un recouvrement très fracturé à un recouvrement stratifié sans fracturation. Deux familles de simulations correspondantes ont donc été réalisées
(figures 1.9 et 1.10), afin d’évaluer le risque d’effondrement pour ces deux confi-gurations extrêmes.
FIG. 1.9 – Formation d’une cloche de fontis obtenue par Didier et al. (2003) pour un recouvrement fracturé, l’épaisseur du recouvrement variant de 30 à 80 m.
Les figures 1.9 et 1.10 montrent les résultats obtenus lors de l’étude. La première illustre l’effondrement du recouvrement fracturé selon la profondeur de la cavité. La seconde montre l’apparition de zones plastifiées dans le recouvrement pour dif-férentes profondeurs, dans le cas du recouvrement stratifié non-fracturé.
Les différentes simulations ont mis en évidence l’importante influence de la profon-deur de la cavité sur la forme de la cloche d’éboulement. Avec ou sans fracturation, l’augmentation de la profondeur a provoqué un accroissement du nombre de chutes de blocs ou de points plastiques au toit de la galerie. Le tableau 1.4 illustre quanti-tativement les résultats obtenus pour les différents cas modélisés.
Profondeur (m) Surface de blocs chutés (mCas Fracturé 2) Surface de la zone plastifiée (mCas non-fracturé 2)
30 70 (1 banc chuté) 120 (2 bancs très plastifiés)
40 120 (3 bancs chutés) 170 (3 bancs très plastifiés)
60 150 (3 bancs chutés) 220 (4 bancs très plastifiés)
80 180 (3 bancs chutés) 270 (4 bancs très plastifiés)
TAB. 1.4 – Nombre de blocs chutés et zones de plastification dans le recouvrement Il apparaît que l’étendue des surfaces plastifiées croît dans un rythme proche de celui des zones éboulées. La création de fractures induites dans ce modèle en tenant
FIG. 1.10 – Plastification obtenue par Didier et al. (2003) pour le recouvrement stratifié non-fracturé, l’épaisseur du recouvrement variant de 30 à 80 m.
compte de la distribution des zones plastiques peut permettre de simuler, dans le cas d’un recouvrement stratifié non fracturé, la chute de blocs et le cas échéant la formation d’une cloche de fontis.
A noter : dans le cas fracturé, il y a une surface moindre de blocs effondrés.
4. La méthode de l’Equilibre Limite : le logiciel RESOBLOCK
Elle consiste à définir la géométrie des blocs autour de la zone qui nous inté-resse (ouvrage souterrain, cavité, . . .) et à étudier ensuite leur comportement mé-canique et leur mouvement. Les deux principales approches sont celles de Good-man (1989) et de Warburton (1988). Le code RESOBLOK est le plus connu utili-sant cette approche. Thoraval (2005) étudia dans le cadre du programme européen CAD-PUMA7l’optimisation de l’exploitation du marbre en terme de taille de blocs découpés. La méthode d’exploitation utilisée est celle des chambres et piliers aban-donnés.
La fracturation étant un paramètre clé de la stabilité de l’exploitation, c’est donc assez naturellement que la méthode de l’équilibre limite fut utilisée par l’intermé-diaire du logiciel RESOBLOCK.
C’est un outil de représentation tridimensionnelle des massifs rocheux fracturés, développé par l’INERIS et le LAEGO (Heliot 1988). Il permet de créer des modèles géométriques de fracturation comportant deux types de fractures : les fractures dites d’"extension infinie" qui ne s’interrompent que sur les limites du modèles ou sur
7Development of an integrated computer aided design and planning methodology for underground marble quarries.
une autre fracture et les fractures "polygonales" dont l’extension est précisément définie.
La figure 1.11 présente une vue du modèle utilisé et son réseau de fractures. La sta-bilité au cours de l’exploitation d’une chambre a été étudiée en fonction de l’orien-tation des galeries envisagées.
FIG. 1.11 – Massif de marbre modélisé et le réseau de fractures considérées (Asof 1991) Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau 1.5 en terme de volume moyen de blocs instables.
Orientation de la
galerie selon . . . . . .l’azimut des principalesfamille de fractures . . .l’orientation desgaleries actuelles