Le modèle physique bidimensionnel
2.1 Etude bibliographique
Les modèles réduits sont encore très utilisés, en particulier en raison de leur capacité à prendre en compte des conditions aux limites complexes mais aussi à cause de leur matérialité qui séduit souvent les maîtres d’ouvrages. Les modèles analogiques ont pra-tiquement disparus au profit des modèles mathématiques pour des raisons de facilité de mise en oeuvre et surtout de coût.
L’utilisation de modèle physique est un moyen relativement simple d’étudier un phé-nomène dans le domaine du Génie Civil et de la géotechnique. De nombreuses études ont utilisés ou utilisent cet outil pour caractériser tel ou tel phénomène. L’expression "modèle physique" est un terme assez général pour désigner "un concept ou un objet qui est la
re-présentation d’un autre" (source Wikipédia : http ://fr.wikipedia.org). Cela regroupe donc
les modèles à pleine échelle, les modèles réduits, les maquettes d’architecture, . . .
2.1.1 Les règles de similitudes
La principale source de problèmes et de complexité dans la conception de modèle physique est l’importance que l’on accorde au respect des règles de similitudes par rapport au phénomène d’origine. Il est bien entendu évident que pour un modèle à une échelle réelle ou vraie grandeur, ceci n’est pas limitatif. La principale limite dans ce cas provient du coût et de la faisabilité des essais.
Numéro Loi de similitude Signification des facteurs d’échelles.
1 x∗
L∗ = 1 Égalité des coordonnées par rapport à l’échelle des longueurs
2 u∗
L∗ = 1 Égalité des déplacements par rapport à l’échelle des longueurs
3 u0∗
L∗ = 1 Égalité des déplacements à l’origine par rapport à l’échelle des longueurs
4 g∗
γ∗= 1 Égalité de l’échelle des accélérations par rapport à celle de la gravité
5 E∗L∗2
F ∗ = 1 Conservation du rapport des échelles du module d’élasticité par longueur au carré par rapport à celle des forces
6 γ∗t∗2
L∗ = 1 Identité des échelles d’accélération et de longueur car le temps ne peut pas être modifié.
7 p∗L∗2
F ∗ = 1 Conservation du rapport des échelles de pression fois longueur au carré par rapport à celle des forces
8 σO∗L2∗
F ∗ = 1 Conservation du rapport des échelles de contraintes fois longueur au carré par rapport à celle des forces
9 ρ∗γ∗L3
∗
F ∗ = 1 Conservation du rapport entre les échelles des grandeurs déterminant la force d’inertie par rapport à celle des forces
Chaque lettre accompagnée d’une étoile (*) représente le facteur d’échelle associé au changement d’échelle pour la grandeur concernée. Le tableau 2.2 donne les significations de chaque grandeur.
C’est pourquoi il est courant d’avoir recours à des modèles réduits qui présentent un certains nombre d’avantages : rapidité, reproductibilité et possibilité de travailler jusqu’à la rupture. Cependant pour s’assurer que le phénomène obtenu dans le modèle réduit présente un comportement assimilable au comportement observé en vraie grandeur, il est nécessaire de s’assurer du respect d’un certain nombre de règles. Ce sont les lois de similitudes, telles que présentées par Dehousse & Arnould (1971) et par Bazant (2004). Depuis, Garnier a précisé leur application au domaine de la géotechnique (Garnier 2001a; Garnier 2001b).
Le tableau 2.1 présente la liste des lois de similitude pour la géométrie, les forces et les caractéristiques physiques.
Symbole Facteur d’échelle concernée Dimension L* Longueur de référence L
x* Coordonnées L
E* Module d’élasticité M L−1t−2 ρ∗ Masse volumique M L−3
g* Accélération de la pesanteur Lt−2
F* Force extérieure ponctuelle M Lt−2
p* Force superficielle M L−1t−2
u* Déplacement L
σ∗ Contrainte M L−1t−2
γ∗ Accélération d’inertie Lt−2
TAB. 2.2 – Liste des facteurs d’échelle.
Si l’on examine attentivement les équation listées dans le tableau 2.1, il apparaît que seuls trois facteurs d’échelle sont indépendants (longueur, gravité et masse volumique dans notre cas). Le choix du bâti expérimental de test, du matériau qui sera utilisé pour modéliser le sol va définir les facteurs d’échelle restant. Selon le matériau choisi pour représenter le sol et le facteur d’échelle géométrique retenu, l’emploi d’une centrifugeuse peut s’avérer recommandé ou non. En effet, lorsque pour un modèle donné, un facteur de réduction géométrique est utilisé, il s’avère théoriquement nécessaire d’accroître le poids volumique des matériaux utilisés pour conserver des sollicitations équivalentes à la pleine échelle. Cela ne peut s’effectuer que par deux moyens.
– Le premier est la réalisation du modèle physique réduit en centrifugeuse, sous une gravité "artificielle". Par exemple, une centrifugeuse qui permet d’atteindre une ac-célération de 100g, autorise la réalisation d’essais employant un facteur de réduc-tion géométrique de 1/100.
– Le second moyen qui peut permettre de compenser l’utilisation d’une échelle géo-métrique réduite, est l’utilisation de matériaux présentant une masse volumique bien supérieure aux matériaux originaux. L’expérimentateur est alors rapidement limité par le panel de matériau à sa disposition.
Si le modèle physique utilisé satisfait à ces différentes conditions, il permet de réa-liser des comparaisons quantitatives avec le phénomène observé en pleine échelle. Au
contraire, si l’une des conditions de similitudes n’est pas satisfaite, alors le modèle se dit qualitatif et permettra principalement l’étude phénoménologique du sujet.
2.1.2 Modèles physiques de fontis
L’utilisation d’un modèle tridimensionnel ou bidimensionnel dépend d’un certain nombre de facteurs tels que :
– Le phénomène étudié. – La géométrie du cas étudié. – Les grandeurs mesurées.
– Les simplifications géométriques possibles. – Les moyens disponibles.
– Les desiderata de l’expérimentateur.
En effet, avant de se lancer dans la conception et la mise au point d’un modèle ré-duit physique, chose longue et délicate, il est nécessaire de bien établir le but de celui-ci. Par exemple, il n’est pas forcément nécessaire de concevoir un modèle 3D pour un phéno-mène et une géométrie qui peuvent se ramener à l’étude d’un problème plan. De même, en fonction des mesures demandées, il peut être nécessaire d’utiliser l’un ou l’autre modèle (l’obtention du champ de déplacement dans le massif de sol pousse à utiliser une modé-lisation bidimensionnelle associée à un suivi des déformations par photographie (White et al. 2003).
Dans notre cas, la maîtrise et le suivi des déformations et ruptures dans le massif présente un intérêt certain quand à la compréhension et au suivi du phénomène et de sa propagation jusqu’en surface.
Dans la littérature, différentes modélisations expérimentales sont présentées pour mo-déliser l’effondrement de cavités souterraines et l’impact sur un bâti en surface. On peut par exemple mentionner le travail de Mahamma (2002) en partenariat avec l’INERIS qui étudia les phénomènes d’interactions sol-structure lors de l’effondrement d’une galerie de mine. Un modèle physique bidimensionnel fût employé ainsi qu’une maquette de bâti-ment. L’effondrement de la galerie de mine était modélisé par enfoncement successif d’un cylindre selon l’axe de propagation de la rupture. Les résultats furent comparés pour des essais à surface libre et des essais avec une structure en surface.
Le "Virginia Polytechnic Institute and State University" a construit un modèle phy-sique permettant l’observation de la formation d’un fontis ou de sa cheminée, suite à l’effondrement d’une cavité souterraine. Présenté dans le mémoire de Dyne (1998), il est constitué d’un massif de sable enchassé dans un bâti rigide en bois, comportant deux pa-rois en plexiglas à l’avant et à l’arrière. De part sa faible épaisseur (10 centimètres), c’est un modèle réduit bidimensionnel qui autorise l’étude de différents paramètres : l’ouver-ture de la cavité, la largeur de la cavité et la hauteur du recouvrement (cf. figure 2.1).
Boumalla (2005) a étudié la faisabilité pour l’INERIS d’un modèle réduit tridimen-sionnel permettant l’étude des mouvements de sol liés à la présence de cavités souterraines et leur impact sur le bâti en surface. Ce modèle physique permet de plus de faire varier un certain nombre de paramètres tel que l’ouverture de la cavité, la hauteur de recouvre-ment, la vitesse de déclenchement d’un fontis ou de l’affaissement des sols. Le modèle réduit 2.2 présente une surface horizontale de 3m par 2m et pourra recevoir un massif de sol d’une hauteur maximale de 1m. Une des parois latérales est en verre afin de pouvoir suivre les déformations dans le sol au niveau de cette face. Les sollicitations qu’il est pos-sible d’appliquer au modèle, se font par l’intermédiaire de plaques mobiles montées sur
FIG. 2.1 – Modèle réduit bidimensionnel du Virginia Polytechnic Institute and State Uni-versity (Dyne 1998)
vérins électromécaniques pour piloter les déplacements au niveau du fond du massif de sol.
Il existe donc différentes solutions expérimentales pour représenter la formation d’un affaissement ou d’un fontis. Cependant parmi les différentes méthodes présentées, aucune n’est pleinement satisfaisante jusqu’à présent. Le modèle présenté par Mahamma (2002) utilise un sol analogique purement pulvérulent. De même, le modèle cité par Dyne (1998) utilise un sol non cohérent et peut présenter, de plus, de fortes perturbations dans les dé-placements au sein du massif de sol, dûes à la présence de la paroi de confinement. Le modèle étudié et conçu par Boumalla (2005) n’est pas encore fabriqué mais reste le plus prometteur.
Ces différents modèles physiques ne nous paraissent pas satisfaisant sur différents points. Tout d’abord, pour observer la formation d’un fontis, la présence d’un banc raide en toit de cavité est nécessaire. Sans lui, la création d’une cavité est impossible, le maté-riau purement pulvérulent comblant instantanément toute tentative dont le volume serait plus important que quelques particules. Par ailleurs les deux modèles de Boumalla et Dyne utilisent une paroi de confinement en verre. Or cela peut introduire une perturbation non souhaitable dans les résultats. Un modèle bidimensionnel ne nécessitant pas de paroi de confinement nous semble donc tout indiqué, tel le modèle de Mahamma employant le matériau analogique de Schneebeli. Par contre, le processus de création de cavité par enfoncement successif d’un cylindre paraît peu compatible avec la nécessité de maîtrise de cette étape, capitale pour la compréhension du phénomène. Il semble donc important qu’un mécanisme permettant de piloter de manière satisfaisante les étapes de création de la cavité soit développé.
Les prochaines sections seront donc consacrées à la présentation du matériau analo-gique bidimensionnel retenu, à la mise au point d’une solution pour obtenir une version
FIG. 2.2 – Modèle réduit tridimensionnel envisagé par Boumalla (2005)
cohérente de ce matériau, à la conception d’un bâti expérimental qui soit satisfaisant. Nous aborderons ensuite l’instrumentation des essais, le programme d’essais et l’analyse des résultats obtenus. Cependant, avant d’aborder les aspects plutôt techniques de la mo-délisation, les facteurs d’échelle retenus seront présentés.