désordre
Considérons dans cette partie le cas d’un condensat de 1.7 104 atomes obtenu dans le piège hybride (ω⊥/2π = 70 Hz, ωz/2π = 5.4 Hz), soit de potentiel chimique
µIN = 219 Hz, supérieur à la fréquence transverse du piège. le condensat est ainsi
initialement dans le régime de Thomas-Fermi 3D. Afin de déterminer le type de propagation du condensat dans le guide optique, des simulations numériques ont été réalisées par L. Sanchez-Palencia et B. Hambrecht et comparées à nos mesures expérimentales. Ces simulations résolvent numériquement l’équation de Gross-Pitaevskii dans le régime quasi-1D :
i~∂φ ∂t = −~ 2 2m ∂2 ∂z2 + Uint φ (A.6)
où l’énergie d’interaction Uint tient compte des interactions et de la dynamique
transverse et s’écrit [183] :
Uint= ~ω⊥
√
Annexe A - Propagation d’un condensat dans un guide 185
Cette formule correspond à une généralisation de l’énergie d’interaction dans les deux cas limites présentés au chapitre 1, à savoir le régime de Thomas-Fermi (an1D = a |φ|
2
>> 1) et le régime de faible interaction (an1D << 1).
Ces simulations ont montré que, dans ces conditions expérimentales choisies, la propagation du condensat était 1D à partir d’environ 200 ms d’expansion. Le profil de densité d’un condensat en expansion ainsi que la distribution en k du condensat sont alors décrits par des paraboles inversées1. Le condensat étant
initialement dans le régime de Thomas-Fermi 3D, sa propagation n’est ni pure- ment 1D ni purement 3D : il se propage en particulier avec une vitesse cinétique maximale supérieure à celle qu’il aurait si il était initialement dans le régime de Thomas-Fermi 1D. Ce supplément d’énergie cinétique correspond à l’énergie transverse du condensat initial, convertie en énergie cinétique pendant la phase initiale de propagation (t < 200 ms). Ainsi les équations de scaling, 1D comme 3D, ne permettent pas de décrire l’évolution du condensat dans notre situation expérimentale.
Néanmoins, sachant que la distribution en k du condensat est une parabole inversée, il est possible de déterminer, à partir de kmax, l’énergie par particule
Eppdans le condensat, dont on déduit le potentiel chimique initial du condensat :
Epp = ~ω⊥+ ~ 2k2 max 10m (A.8) µIN = 1 8 7Epp− 6~ω⊥+ √ 7q7E2 pp+ 12~ω⊥(Epp− ~ω⊥) (A.9) On peut alors en déduire le nombre d’atomes N dans le condensat initial et ainsi vérifier nos mesures expérimentales :
N = √ 2σ2 z 15aσ⊥ ˜ µ5/2p1 − ˜µ−1 4 + 2 ˜ µ− 6 ˜ µ2 (A.10) où ˜µ = µIN/~ω⊥ et σ⊥,z = p
~/mω⊥,z est la taille du mode fondamental de
l’oscillateur harmonique associée à ω⊥,z.
1Pour déterminer la valeur de kmax, nous avons donc déterminé le rayon du condensat à
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