2.7 Conclusion et perspectives
3.1.3 Description théorique de la propagation quasi-1D
Nous nous intéressons ici à la description de la propagation du laser à atomes guidé dans le potentiel Vlaser(ρ, z) = V⊥(ρ, z) + Vk(z). Bien que ce potentiel ne
soit pas séparable dans la zone de recouvrement avec le condensat, nous traitons le laser à atomes dans l’approximation quasi-1D, que nous avons introduite dans le chapitre 1. Comme nous l’avons déjà mentionné, ceci suppose de faire une approximation adiabatique. Il a été vérifié que cette approximation était valable pour le laser à atomes [76], celui-ci se propageant dans le guide optique avec une vitesse faible. En conséquence, on peut écrire la fonction d’onde du laser à atomes sous la forme Ψ(ρ, z, t) = φ(z, t)ψ⊥(ρ, z, t) et la propagation du laser
à atomes est décrite par deux équations (1.15) et (1.16). Rappelons que ces équations sont couplées via le potentiel chimique effectif ˜µ(z), qui caractérise à la fois la dynamique transverse et les interactions à l’interieur du laser à atomes.
3.1 Laser à atomes guidé : principe et propriétés 123
La résolution des équations (1.15) et (1.16) permet de déterminer la fonction d’onde du laser à atomes guidé et ainsi de décrire complètement la propagation du laser à atomes.
3.1.3.1 Etude dans la direction transverse
Nous nous intéressons tout d’abord au comportement du laser à atomes dans le guide optique (en dehors de la zone de recouvrement avec le condensat) puis dans la zone de recouvrement où il faut tenir compte du potentiel de champ moyen.
Dans le guide :
Le potentiel ressenti par le laser à atomes dans les directions transverses est alors celui d’un oscillateur harmonique de courbure ω⊥. La fonction d’onde
de l’état fondamental dépend néanmoins des interactions à l’intérieur du laser à atomes via le potentiel chimique effectif ˜µ. Expérimentalement, la densité li- néique n1D du laser à atomes est inférieure à 50 at/µm environ. Le paramètre
d’interaction an1D est alors inférieur à 0.3 et on peut considérer qu’on se trouve
dans le régime de faibles interactions, valide lorsque an1D < 1. Dans ce régime
on peut considérer que les interactions ne déforment pas la fonction d’onde du mode fondamental transverse du guide. Cette dernière est alors gaussienne 2D de largeur r.m.s σ =p~/mω⊥. Dans ce cas, le potentiel chimique effectif s’écrit
alors simplement : ˜µ = ~ω⊥(1 + 2an1D).
Dans la zone de recouvrement avec le condensat :
Dans cette zone, nous avons vu que le laser à atomes et le condensat subissent le même potentiel transverse dû au piège optique, le confinement magnétique sup- plémentaire que subit le condensat étant négligeable dans cette direction. Dans le régime de couplage faible, on peut considérer que les interactions intra-laser ne déforment pas la fonction d’onde transverse Ψ⊥ du laser à atomes. Celle-ci
a donc la même forme que la fonction d’onde du condensat. De plus, on consi- dère que dans le régime de couplage faible le condensat n’est pas perturbé par le couplage. Il est alors bien décrit dans l’approximation de Thomas-Fermi et sa fonction d’onde est (sauf dans la zone intermédiaire z ∼ Rz) une parabole inver-
sée de rayon R⊥(z), donné par la formule (3.8). De plus, le laser à atomes étant
de plus beaucoup plus dilué que le condensat, son potentiel chimique effectif ˜µ est faible devant le potentiel chimique du condensat et donc devant Vk. Nous
Nous connaissons donc la fonction d’onde transverse du laser à atomes dans la zone de recouvrement avec le condensat comme en dehors. De plus, compte tenu que l’approximation adiabatique s’applique à notre laser à atomes, sa fonction d’onde transverse Ψ⊥ s’adapte progressivement à la variation longitudinale du
potentiel transverse : elle passe continuement de la fonction d’onde du condensat piégé (parabole 2D inversée) à une fonction d’onde gaussienne 2D correspondant au mode fondamental transverse du guide optique (Fig. 3.3). Ceci implique en particulier qu’il est possible de réaliser un laser à atomes monomode transverse.
BEC
Lieu du couplage Zone intermédiaire dans le guidePropagation
z = 0 z = 0.8 Rz z > Rz |y (r , z )| ^ 2 a) b) c)
Fonction d'onde initiale Mode fondamental du guide
-3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 r (µm)
Fig. 3.3: Adaptation progressive de la fonction d’onde transverse Ψ⊥du laser à atomes guidé au cours de la propagation.
3.1.3.2 Dynamique longitudinale
La fonction d’onde transverse du laser à atomes étant connue en tout point de la propagation, on peut alors déterminer entièrement la dynamique longitudinale du laser à atomes. Celle-ci est donnée par l’équation (1.16) que nous rappelons ci-dessous : i~∂φ ∂t = −~ 2 2m ∂2 ∂z2 + (Vk(z) + ˜µ(z)) φ (3.10)
Cette équation n’est rien d’autre que l’équation de Schrödinger non-linéaire compte tenu du potentiel chimique effectif ˜µ, que l’on peut calculer en tout point
3.1 Laser à atomes guidé : principe et propriétés 125
de la propagation. Le problème est ainsi essentiellement 1D, justifiant a poste- riori la présentation du laser à atomes dans la partie §.3.1.1.
L’équation précédente (3.10) peut se réécrire à l’aide de paramètres mesu- rables expérimentalement : la densité linéique n1D et la vitesse de propagation v.
La fonction d’onde longitudinale du laser à atomes s’écrit : φ = √n1D eiS où la
phase S est reliée à la vitesse v = ~ ∇S/m. On montre alors [80] que l’équation (1.16) est équivalente aux deux équations suivantes :
∂n1D ∂t = − ∂(n1Dv) ∂z , (3.11) m∂v ∂t = − ∂ ∂z 1 2mv 2+ V k+ ˜µ − ~ 2 2mn1/21D ∂2n1/21D ∂z2 ! . (3.12)
La deuxième équation (3.12) est équivalente à l’équation d’Euler en hydrodyna- mique. Le dernier terme de cette équation correspond à la "pression quantique" et peut être négligé dans le cas d’une configuration très allongée comme la nôtre. Dans le régime stationaire, ces deux équations (3.11) et (3.12) se réduisent aux équations suivantes, qui expriment la conservation du flux F et de l’énergie E :
n1D(z) v(z) = F , (3.13)
1 2mv(z)
2+ V
k(z) + ˜µ(z) = E . (3.14)
Finalement, dans le régime stationnaire, nous retrouvons que la propagation du laser à atomes est bien caractérisée par deux paramètres mesurables expé- rimentalement : l’énergie E et le flux F . Ces deux paramètres sont ajustables à l’aide du couplage radio-fréquence : l’énergie (et ainsi la longueur d’onde) du laser à atomes est contrôlée par la fréquence du couplage rf. Le flux du laser à atomes dépend, quant à lui, de l’amplitude du champ rf. Cette amplitude étant choisie faible, nos lasers à atomes sont dilués.
Rappelons néanmoins que cette image quasi-1D de la propagation du laser à atomes repose sur le suivi adiabatique parfait de la fonction d’onde transverse (Fig. 3.3). Ceci suppose que le guide optique est parfaitement centré sur le piège magnétique. Si ce n’est pas le cas, le potentiel transverse ressenti par le laser à atomes dans la zone de recouvrement avec le condensat n’est plus plat [76]. Des modes transverses du guide autres que le mode fondamental peuvent alors être excités lors de la propagation du laser à atomes. C’est ce qui est observé expérimentalement [54].