Diffusion d’ondes dans un milieu désordonné

Nous considérons ici la propagation d’une onde plane monochromatique de vecteur d’onde k se propageant dans un milieu désordonné statique de taille finie.

2.1 Localisation d’onde dans le désordre 53

Celui-ci est composé de diffuseurs ponctuels, élastiques, répartis aléatoirement aux positions ri. Pour décrire la diffusion de l’onde dans ce milieu aléatoire, il

est nécessaire d’introduire les différentes échelles spatiales intervenant dans le problème : la longueur d’onde λ = 2π/k, le libre parcours moyen l∗ caractéri- sant la distance entre deux diffuseurs du milieu désordonné et l’extension L de ce dernier. On distingue alors deux régimes de diffusion : le régime de diffusion simple lorsque L << l∗ où l’onde subit peu (ou pas) de diffusions et le régime de diffusion multiple lorsque l∗ << L : l’onde subit dans ce cas de nombreuses collisions avec le milieu désordonné avant d’en sortir.

Dans la suite, nous considérons le régime de diffusion multiple, dans le cas d’un faible désordre : kl? >> 1. On peut alors considérer que l’onde se pro- page de diffuseur en diffuseur, comme représenté Fig.2.1. L’amplitude complexe A(k, k0) de l’onde diffusée dans la direction k0 s’écrit alors comme la sommes des amplitudes diffusées sur tous les chemins de diffusion possibles :

A(k, k0) = X

r1,r2

f (r1, r2) ei(k.r1−k

0_.r

2) _(2.1)

où f (r1, r2) est l’amplitude complexe associée au chemin de diffusion multiple

entre les points r1 et r2 : elle tient compte de la phase accumulée par l’onde le

long de ce chemin de diffusion. L’intensité de l’onde s’écrit alors : |A(k, k0)|2 = X r1,r2 X r3,r4 f (r1, r2)f?(r3, r4) ei(k.r1−k 0_.r 2)_e−i(k.r3−k0.r4) _(2.2)

Le produit des amplitudes f (r1, r2)f?(r3, r4) fait intervenir la différence de phase

entre les deux chemins r1 → r2 et r3 → r4. Celle-ci varie aléatoirement avec les

chemins de diffusion. Ainsi le produit des amplitudes moyenné sur les différentes réalisations du désordre est nul sauf lorsque les chemins suivis correspondent à des trajectoires identiques (Fig.2.1) : ces dernières correspondent à un unique chemin parcouru dans le même sens de propagation (r1 = r3 et r2 = r4) ou dans

le sens opposé (r1 = r4 et r2 = r3).

L’intensité diffusée moyennée sur les différentes réalisations du désordre peut alors s’écrire sous la forme suivante :

h|A(k, k0)|2i = hX r1,r2 |f (r1, r2)|2 h 1 + ei(k+k0).(r1−r2) i i (2.3)

où h...i représente la moyenne sur les réalisations du désordre. L’intensité diffusée moyenne est la somme de deux termes : le premier, de phase nulle, correspond à des chemins de diffusion parcourus dans le même sens (Fig.2.1a). C’est le terme de diffusion "classique". Le deuxième terme correspond aux interférences entre des chemins parcourus dans des sens opposés (Fig.2.1b).

k’

r

r

k

k’

k

k

k’

r

r

Fig. 2.1: Chemins de propagation contribuant à l’intensité diffusée : les chemins par- courus dans le même sens de propagation (a) correspondent à la diffusion classique et ceux parcourus dans des sens opposés (b) donnent lieu aux interférences.

2.1.1.1 Diffusion "classique"

Elle fait l’objet des théories développées au début du XXième _{siècle : théorie}

du transfert radiatif pour les ondes électromagnétiques et modèle de Drude- Boltzman pour les ondes électroniques. Ces théories ne prennent pas en compte les phénomènes d’interférences : l’intensité moyenne diffusée est donnée par la somme des intensités suivant tous les chemins possibles. Elles décrivent néan- moins de nombreuses situations expérimentales. Elles donnent par exemple l’évo- lution du coefficient de transmission moyen hT i d’une onde à travers un milieu aléatoire de taille finie L (ou loi d’Ohm) : hT i ∝ l∗/L. Il est aussi possible de décrire la diffusion des ondes à l’aide d’une équation de diffusion, définissant ainsi une constante finie caractéristique du problème : la constante de diffusion D0 = vl∗/d où v est la vitesse de l’onde et d la dimension du système [107].

2.1.1.2 Interférences

Le deuxième terme de l’équation (2.3) contient un terme de phase dépendant des positions r1,2. La somme sur ces positions est généralement nulle et le pro-

blème correctement décrit par la théorie de la diffusion "classique". Néanmoins, ce terme d’interférences devient non nul dans deux cas particuliers et est alors responsable d’effets persistants après une moyenne d’ensemble :

- k + k0 ' 0 : l’intensité diffusée dans la direction exactement opposée à la direction incidente est égale au double de la valeur classique. Ce phénomène est appelé rétro-diffusion cohérente et a lieu dans un cône d’angle ∆θ ∝ 1/(kl∗) faible autour de la direction incidente. Cet effet, impossible à observer avec des ondes électroniques, a été mis en évidence expérimentalement avec des ondes

2.1 Localisation d’onde dans le désordre 55

lumineuses en 1984 [109, 110]1_{. Le facteur 2 sur l’intensité rétro-diffusée n’a lui}

été mesuré précisément qu’en 1995 [111], cette mesure nécessitant une très bonne résolution angulaire.

- le cas r1=r2 traduit l’existence de boucles de diffusion fermées. Chaque

boucle contribue d’un facteur 2 à l’intensité diffusée et ce indépendamment de la direction de diffusion. Néanmoins la contribution d’une unique boucle fermée est négligeable : un grand nombre de boucles est donc nécessaire pour modifier l’intensité diffusée par rapport à la valeur classique. L’existence de ces boucles fermées a pour conséquence d’augmenter la probabilité de retour de l’onde à sa position initiale. Ce phénomène, appelé localisation faible, se traduit par une "diminution" de la diffusion de l’onde dans le milieu désordonné. Par analogie avec la diffusion classique, on peut définir une constante de diffusion D et montrer qu’elle est finie et inférieure à la constante de diffusion classique : 0 < D < D0,

la correction ∆D = D0− D apportée à la constante de diffusion classique restant

faible devant cette dernière. Ce phénomène a été mis en évidence dans les années 1980 par des mesures de magnéto-résistance de films métalliques [108, 114] et observé avec différents types d’ondes dont par exemple les ondes sismiques [115].