Pronostic à base de modèles empiriques simples et de ltre

particulaire

1 Prérequis . . . 48 1.1 Modèles empiriques de dégradation. . . 48 1.2 Outil d'estimation d'état et de pronostic . . . 49 2 Pronostic basé sur du ltrage particulaire . . . 50 2.1 Tracking bayésien . . . 50 2.2 Résolution par ltre particulaire . . . 51 3 Tests et discussion . . . 53 3.1 Données brutes ou données ltrées ? . . . 53 3.2 Paramétrage des simulations . . . 54 3.3 Résultats et discussions . . . 55 4 Synthèse partielle . . . 59

1 Prérequis

Les chapitres 3 et 4 proposent une mise en ÷uvre de pronostic de PEMFC utilisant une modélisation très simple de la dégradation de la PEMFC ne nécessitant aucune connaissance du système, et la version la plus basique du ltre particulaire. En eet, l'état de l'art vis à vis de l'approche choisie est totalement vierge et il est nécessaire d'établir une base de travail à partir de laquelle mieux cerner les dés scientiques et orienter les développements. Le travail sur le cas particulier d'une sollicitation en courant constant (J1, J2) ou de petites ondulations (J3) ore l'avantage de n'observer qu'une dégradation "naturelle" de la PEMFC, c'est à dire non inuencée par le prol de mission.

Par ailleurs, cette première étude de pronostic permet :

 d'aider à dénir le niveau de détails pour la modélisation de la PEMFC requis pour le pronostic ;

 de choisir et tester un outil pour le pronostic, le ltre particulaire, et d'en com- prendre les dicultés d'implémentation ;

 de discuter l'échelle de travail (stack ou cellules).

Note : Dans ce chapitre, certains résultats sont présentés sur la tension mesurée U et d'autres sur la puissance P . Étant donné que le stack est sollicité en courant constant I et que les deux grandeurs sont linéairement proportionnelles P = U.I, tous les résultats conduisent aux mêmes conclusions.

1.1 Modèles empiriques de dégradation

Nous avons vu précédemment que proposer une nouvelle modélisation de la puissance s'avère nécessaire pour faire du pronostic. Si on observe les données (jeux J1 à J3), on constate qu'elles montrent une tendance globale facilement modélisable par des fonctions mathématiques simples. Suite à ces constatations, trois modèles empiriques sont proposés pour suivre l'évolution de la tension :

 un modèle linéaire M1, car déjà proposé dans la littérature,

U1(t) = a1.t + b1 (6)

 un modèle exponentiel M2,

U2(t) = a2.eb2.t (7)

 et un modèle combinant parties logarithmique et linéaire M3,

U3(t) = −a3.ln(t) − b3.t + c3 (8)

Il est important de noter que les fonctions mathématiques choisies restent crédibles quant à une tentative future de justication du modèle. En eet, on constatera par la suite, que la forme exponentielle revient souvent dans l'évolution des dégradations du stack. Par exemple, un modèle polynomial aurait également pu être imaginé, cependant il n'y a aucune chance qu'une explication physique puisse lui être associée. En revanche, on

peut aisément voir des phénomènes de dégradation de la pile semblant suivre des lois exponentielles ou logarithmiques, telles que la perte de surface active des électrodes ou la perte de conductivité de la membrane (nous y reviendrons dans la Partie III). Cependant, il faut mentionner que le modèle polynomial ainsi qu'une forme plus simple du modèle M 3ont été testés dans un travail ultérieur par Kimotho et al. [135].

1.2 Outil d'estimation d'état et de pronostic

Maintenant que nous avons proposé des modélisations de la tension, il faut choisir une approche de pronostic adaptée. Les propositions de modélisation découlant directement des données, on sait d'ores et déjà d'après la taxonomie du Chapitre 1 que nous nous situons dans la catégories des approches guidées par les données. Il faut maintenant cher- cher quelle(s) caractéristique(s) l'outil de pronostic doit posséder.

On commence par un test tout simple : l'identication du modèle. Cette identication est réalisée grâce un algorithme des moindres carrés. On réalise l'ajustement avec dif- férentes quantités de données pour voir si la longueur d'apprentissage a une inuence sur l'identication des paramètres pour chacun des modèles. Un exemple est illustré en Figure 20. Ce graphe représente l'ajustement du modèle exponentiel aux données J2 pour des longueurs d'apprentissage de 200, 500 et 985 heures (soit toutes les données disponibles). Il n'est nul besoin de calculer le coecient de détermination R2 pour se rendre compte qu'avec un paramétrage xe pour une longueur d'apprentissage donnée, le modèle ne suit pas bien l'évolution de la tension. Cela nous permet de tirer une première conclusion :

Conclusion 4.1 L'outil d'estimation d'état et de pronostic doit être capable d'adapter les paramètres du modèle au cours du temps.

Cette première conclusion n'élimine que très peu d'approches et les éléments à disposi- tion permettent dicilement de trancher entre l'exploitation de réseaux de neurones, de méthodes probabilistes, de méthodes de ltrage ou autres régressions. Pour guider notre choix, on peut se tourner vers la littérature portant sur un autre système électrochimique sur lequel les applications de pronostic sont déjà nombreuses : la batterie. Certes, la pile à combustible et la batterie ont des principes de fonctionnement diérents (approvision- nement en réactif, capacité de stockage de l'énergie, etc.), mais également d'importantes similarités (structure, transformation d'énergie chimique en électrique, etc). On peut supposer qu'on outil capable d'être performant avec un système peut l'être avec l'autre. Sans entrer dans une revue de littérature très détaillée, on peut rapidement constater qu'un outil phare dans ce domaine est le ltre particulaire [92,223,225,226,289,301]. En s'intéressant de plus près à cet outil, on constate que ses caractéristiques sont en accord avec les contraintes imposées par la PEMFC. En eet, le ltre particulaire est un outil de résolution de problème de tracking bayésien (nous dénissons ce type de pro- blème dans la section2) permettant de gérer des modèles non-exactes, non-stationnaires,

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 224 226 228 230 232 234 236 Temps(heures) P u iss a n c e (W ) PuissanceJ2 Ajustementavecdonnéescomplètes Ajustement200heuresdedonnées Ajustement500heuresdedonnées

Figure 20  Ajustement du modèle exponentiel sur J2 pour diérentes longueurs de données

non-linéaires et/ou aectés par des bruits non-gaussiens [7,55]. Si on fait la correspon- dance avec les modèles proposés M1 à M3, toutes ces caractéristiques sont remplies :

 les modèles proposés sont bien inexactes : ils sont empiriques et contiennent des coecients inconnus,

 ils sont non-stationnaires (cf. conclusion 4.1),  ils sont, pour certains, non-linéaires,

 rien n'indique qu'ils seront aectés par un bruit gaussien quand ils seront refor- mulés dans un contexte de tracking bayésien.

Nous reviendrons cependant sur la justication du ltre particulaire dans la PartieIV.

2 Pronostic basé sur du ltrage particulaire

Le but de ces premières applications est avant tout de tester le ltre en n'ayant qu'une connaissance sommaire de son fonctionnement. Par conséquent, seules les informations de base sont données ici. Davantage d' explications ainsi qu'une analyse plus ne sont présentées dans la PartieIV.

2.1 Tracking bayésien

Un problème de tracking bayésien est déni par deux équations [7,55]. La première, le modèle d'état, considère l'évolution de l'état du système. Dans le cas présent, l'état est la dégradation du stack perçue dans sa perte de tension (ou de puissance). Cet état noté { xk, k∈N } évolue suivant l'équation :

où f est la fonction, pouvant être non-linéaire, de transition entre l'état xk−1 à l'instant

k − 1 et l'état suivant xk, ϑk est le vecteur de paramètres inconnus du modèle et νk

un bruit indépendant identiquement distribué. L'objectif du tracking est d'estimer xk

de manière récursive à partir de mesures introduites par la seconde équation, le modèle d'observation { yk, k∈N } :

yk= h(xk, µk) (10)

où h est la fonction d'observation liant les mesures prises sur le système à l'instant k et µk un bruit indépendant identiquement distribué.

Le but du problème de tracking est d'estimer, non l'état du système directement, mais une distribution de probabilité de l'état à la date k en construisant une fonction de densité de probabilité (probability density function - pdf) p(xk|y1:k). Pour cela, on suppose que

la pdf initiale de l'état p(x0|y0) ≡ p(x0) est disponible. p(xk|y1:k) peut être obtenue de

manière récursive en répétant deux étapes :  la prédiction : p(xk|y1:k−1) = Z p(xk|xk−1)p(xk−1|yk−1)dxk−1 (11)  la mise à jour : p(xk|y1:k) = p(yk|xk)p(xk|y1:k−1) p(yk|y1:k−1) (12)

Ces équations donnent la solution optimale du problème. Cependant, dans la majorité des cas, elles ne peuvent être résolues de manière analytique. Une solution approximée peut être obtenue grâce à un outil de ltrage choisi en fonction des hypothèses du problème. Une classication de ces méthodes est reproduite en Annexe F, nous aurons l'occasion d'y revenir.

Note : dans la suite, l'étape de prédiction présente dans le processus de ltrage est à ne pas confondre avec l'étape de prédiction du pronostic.

2.2 Résolution par ltre particulaire

.Principe de fonctionnement. Le ltre particulaire utilise le principe des méthodes de Monte-Carlo et le théorème de Bayes. A la date initiale (k = 1), la distribution initiale de l'état p(x0) est éclatée en n échantillons, appelés des particules. Ensuite, les étapes

suivantes sont répétées jusqu'à l'utilisation de la dernière donnée disponible (Figure21). 1. Prédiction Les particules sont propagées de l'état k − 1 à l'état k en utilisant le

modèle d'état. On obtient une nouvelle distribution.

2. Mise à jour L'arrivée d'une nouvelle mesure yk permet de calculer la likelihood

p(yk|xk). Cette probabilité mesure le degré de concordance entre la prédiction et

avec les poids les plus élevées sont celles censées représenter les états les plus probables.

3. Ré-échantillonnage Cette étape apparaît pour éviter une dégénérescence du ltre. En eet, après plusieurs itérations, les particules avec des poids faibles deviennent trop nombreuses, altérant l'étape de prédiction. Les particules de poids faibles sont donc éliminées et celles avec des poids élevées sont dupliquées.

Nous verrons par la suite qu'il existe des multiples variantes de ltres particulaires. Dans un premier temps, par soucis de simplicité mais aussi de rapidité, nous utilisons le ltre proposé par le tutoriel présenté dans [3] dont le processus est disponible en code Matlab et utilisable avec peu de modications.

Initial distribution Split distribution  into n particles Propagate particles  using state model Distribution at step k Calculate likelihood Weighted particles Resample  Final distribution at step k Initial particles PREDICTION UPDATE RESAMPLING Last step  reached Enters the process:  Propagate particles  using state model

Figure 21  Principe de fonctionnement du ltre particulaire

. Utilisation du ltre dans le contexte du pronostic. Le ltre est utilisé lors de la phase d'apprentissage du pronostic. Le comportement de la PEMFC est appris et les coecients inconnus du modèle d'état sont ajustés par le ltre en conséquence. Lorsque toutes les données disponibles ont été utilisées, seul le modèle d'état est alors utilisé pour

propager l'état xk jusqu'à atteindre le seuil de défaillance. Ce processus est illustré en Figure22. Initialize filter Propose initial population ‹ x0, w0› Propagate particles using state model,  xk‐1 → xk Resample Weights  degenarated ? Yes No Update weights, wk‐1 → wk tpreached ? Measurements   yk No k = k+1 Start prediction at tp Estimate initial population  ‹ xp, wp› Propagate particles using state  model, xp+k‐1 → xp+k Generate RUL pdf from {wp} Threshold  reached ? Yes No Learning Prediction 

Figure 22  Pronostic intégrant le ltre particulaire