4.6 Profils de vitesse
4.6.3 Profils de vitesse tangentielle v θ stationnaires
4.6.3.1 Comportement général
On compare maintenant les différents profils de vitesse tangentielle vθ obtenus pour
les essais : 2, 3, 4, 5 et 6 (et pour les 3 chargements : C1, C2 et C3). On considère les
profils considérés comme stationnaires, évalués du point 3 au point 4, pour les essais non rugueux, et du point 3b au point 4, pour les essais rugueux.
D’une manière générale, les particules ont des vitesses tangentielles vθdécroissantes à
partir de la paroi suivant une forme approximativement exponentielle ([40, 93, 112, 128]. Si la décroissance des vitesses avec la distance à la paroi interne est plus élevée, le profil correspondant est plus localisé.
On n’observe pas d’influence du chargement sur les profils de vitesse tangentielle. Ce résultat est visible sur les figures 4.25, 4.26 et 4.27. Par contre, des effets d’ordre géométrique sont présents : la taille des particules, la valeur de la rugosité normalisée Rn
4.6 Profils de vitesse 153 0 5 10 15 20 25 30 35 40 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 profil stationnaire de réference [-3cm ; 5cm] (a) v / V (r-R int )/d 2 + 3a + 3b + D 0 5 10 15 20 25 30 35 40 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (b) + / d (D-D 0 )/d 2 + 3b + 3a + -6 -4 -2 0 2 4 6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -120 -80 -40 0 40 80 120 (c) S / P z D (cm) 1 + 2 + 4 + 3b + 3a + D/d -6 -4 -2 0 2 4 6 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 -120 -80 -40 0 40 80 120 (d) V n D (cm) 4 + 1 + 2 + 3a + 3b + D/d
Fig. 4.24 – (a) Profils de vitesse tangentielle normalisée par la vitesse à la paroi vθ/Vθ
en fonction de la distance à la paroi normalisée par la taille des particules (r − Rint)/d à différents stades du régime transitoire. (b) Épaisseur de la zone cisaillée λ+. La ligne
pointillée indique la valeur stationnaire de référence, tandis que la ligne continue indique la fonction λ+/d = 5, 6(1 + 1, 5e−0,17(D−D0)/d). (c) Contrainte de cisaillement à la paroi
S et (d) variation volumique normalisée ∆Vnen fonction du déplacement tangentiel de la
paroi D. Les flèches sur les trois figures indiquent le sens de croissance de D. Les lignes pointillées verticales sur les figures (c) et (d) indiquent les intervalles de découpage du demi-cycle (10 × 0, 2 cm + 1 × 8 cm) d’obtention des profils de vitesse de la figure (a). Détail sur les points de référence d’un cycle (1+, 2+, 3a+, 3b+ et 4+) et les profils de
vitesse correspondants. Essai 4.
4.6.3.2 Glissement
La figure 4.25a (et plus en détail la figure 4.25b) montre les profils de vitesse tangen- tielle normalisée vθ/Vθ. On remarque un effet de glissement plus fort lorsque la rugosité
0 5 10 15 20 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 (a) v / V (r-R int )/d 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 (b) v / V (r-R int )/d
Fig. 4.25 – (a) Profils de vitesse tangentielle normalisée vθ/Vθ en fonction de la distance à la paroi normalisée (r − Rint)/d ((b) détail de la région proche de la paroi). Différents
essais : (¤, ¥,−¥−) essai 2, (◦,•, − • −) essai 3, (M, N, −N−) essai 4, (O, H,−H−) essai 5, (♦, ¨, −¨−) essai 6. Les symboles creux correspondent au chargement C1, les
figures pleines au chargement C2 et les figures pleines liées par une ligne au chargement
C3.
normalisée Rnest plus faible. Pour quantifier le rapport entre le glissement et la rugosité
normalisée Rn, on trace les valeurs de Vθ+/Vθ en fonction de Rn(figure 4.26). On observe un palier de Vθ+/Vθ ≈ 0, 75 pour des rugosités normalisées Rn≥ 0, 7. Pour Rn< 0, 7 la
dépendance de Vθ+/Vθ semble être linéaire selon la figure 4.26a, par contre on observe des déviations sur la figure 4.26b qui suggèrent des dépendances plus complexes de Vθ+/Vθen fonction de la rugosité normalisée Rn. On représente son comportement (entre les paliers
minimal et maximal) avec une simple loi de puissance du type : Vθ+/Vθ = a(Rn)b.
4.6.3.3 Vitesse tangentielle normalisée par la vitesse maximale des particules Sur la figure 4.27a, on trace les profils de vitesse tangentielle normalisée par la vitesse maximale du milieu granulaire vθ/Vθ+en fonction de la coordonnée radiale normalisée par
le rayon du cylindre interne (Ri = 10 cm). Sur la figure 4.27b on trace les mêmes profils,
mais en fonction de la distance à la paroi normalisée par le diamètre des particules. En échelle relative à la dimension du cylindre interne (figure 4.27a), on observe une localisation du cisaillement plus grande pour des particules de petite taille. Cependant, la largeur caractéristique de la zone cisaillée est plus importante en nombre des particules pour les diamètres plus petits (figure 4.27b).
4.6.3.4 Épaisseur de la zone de cisaillement
Dans les expériences à l’ACSA, l’effet de la rugosité Rn est couplé à la géométrie
4.6 Profils de vitesse 155 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 (a) V + / V R n 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 -2 10 -1 10 0 (b) V + / V R n
Fig. 4.26 – Vitesse maximale des particules normalisée par la vitesse à la paroi Vθ+/Vθ
(glissement à la paroi) en fonction de la rugosité normalisée Rn (a) en échelle linéaire,
(b) en échelle bilogarithmique pour différents chargements : (¥) C1, (•) C2, (N) C3. La ligne pointillée est la fonction puissance Vθ+/Vθ= 0, 85(Rn)0,75.
1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 (a) v / V + r/R int 0 2 4 6 8 10 12 14 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 (b) v / V + (r-R int )/d
Fig. 4.27 – Profils de vitesse tangentielle normalisée par la vitesse maximale des particules vθ/Vθ∗ en fonction (a) de la coordonnée radiale normalisée par le rayon interne de la paroi
r/Rintet (b) de la distance à la paroi normalisée par la taille des particules (r − Rint)/d.
Différents essais : (¤,¥,−¥−) essai 2, (◦,•,− • −) essai 3, (M, N, −N−) essai 4, (O,
H,−H−) essai 5, (♦, ¨, −¨−) essai 6. Les symboles creux correspondent au chargement C1, les figures pleines au chargement C2 et les figures pleines liées par une ligne au
chargement C3.
Plus la taille des particules est petite, plus Rint/d et Rn sont grands, plus la taille de la
L’épaisseur de la zone de cisaillement exprimée par λ+ (définie au § 2.7.1) minimise
les effets de la rugosité. Les valeurs sur la figure 4.28a représentent la moyenne de λ+
pour les trois chargements (C1, C2 et C3). Les barres d’erreur sont calculées à partir de l’écart maximale entre la moyenne et le résultat de chaque chargement. On vérifie, de cette manière, l’influence apparente de la géométrie sur l’épaisseur de la zone de cisaillement. Cette influence apparente peut être exprimée sous la forme d’une loi de puissance. Toutefois, compte tenu du couplage de Rint/d et de Rn, il n’est pas possible
de conclure.
4.6.3.5 Rapport entre les variations volumiques et l’épaisseur de la zone de cisaillement
On définit la variation volumique normalisée ∆Vn (§ 2.7.2) avec l’hypothèse que la
plupart des variations volumiques se passent à proximité de la paroi intérieure, dans la zone de cisaillement. Partant de ce principe, on vérifie le rapport entre ∆V2−4
n et
l’épaisseur de la zone cisaillée λ. On détermine les valeurs moyennes de λ et les barres d’erreur de la même façon que pour l’exemple précédente (λ+(R
int)). Le résultat est
représenté approximativement sous la forme d’une loi de puissance du type : ∆V2−4
n = a(λ/d)b. 50 100 150 200 250 3 4 5 6 7 (a) + / d R int /d 1 2 3 4 5 6 7 10 -2 10 -1 (b) V 2 - 4 n /d
Fig. 4.28 – (a) Épaisseur de la zone cisaillée λ+ en fonction du rapport géométrique
Rint/d. La ligne continue indique la fonction : λ+/d = 1, 15(Rint/d)0,29. (b) Variation
volumique normalisée ∆V2−4
n en fonction de l’épaisseur de la zone cisaillée λ. La ligne
continue indique la fonction : ∆V2−4
n = 0, 0165(λ/d)1,65.
Le nombre réduit de points sur les figures 4.28a et 4.28b se donne à cause du fort glissement à la paroi présenté durant les essais 5 et 6, qui rend l’évaluation de λ et de
λ+ incohérente pour ces essais. On discutera les similarités des comportements observés
4.6 Profils de vitesse 157