3.2 Description du système simulé
3.2.1 Conditions aux limites
3.2.1.1 Conditions aux parois interne r = Rint et externe r = Rext
Les efforts de cisaillement sont transmis au matériau par le mouvement imposé de la paroi interne, défini par une vitesse angulaire Ω (voir figure 3.1), commune à chacun des disques, rigidement liés entre eux qui la composent : leur position radiale est fixée,
r = Rint, tandis que leur commune vitesse tangentielle, selon eθ, est Vθ = ΩRint. Dans
la pratique, afin que cette paroi se comporte comme un seul objet solide rugueux, il ne faut pas oublier d’attribuer aux grains qui la constituent une vitesse angulaire constante (vitesse de rotation autour de leur centre) égale à Ω.
La paroi externe n’a pas de mouvement angulaire. Les centres des disques qui la composent ne tournent pas sur eux-mêmes et gardent une coordonnée θ constante, tandis que leur rayon vecteur commun Rext, c’est-à-dire le rayon de la paroi externe, est variable,
car c’est une « pression radiale » constante que l’on cherche à imposer. On entend par pression radiale P la force généralisée conjuguée de la variable cinématique Rext, c’est-
à-dire : P = 1 RextΘ X j∈Ie n X i=1 Fji· e(i)r . (3.1)
Dans cette formule, l’indice j parcourt l’ensemble Ie repérant les disques qui constituent
la paroi externe, et qui transmettent aux disques i internes au système des forces Fji
(nulles, bien sûr, si i n’a pas de contact avec la paroi externe), et e(i)r est le vecteur
unitaire radial au centre du disque i.
3.2 Description du système simulé 49
régies par l’équation
dRext
dt =
P − Pe
ηp (3.2)
où intervient un paramètre d’asservissement ηp, qui a le sens d’un coefficient d’amortisse- ment visqueux. La valeur de Rextest déterminée par intégration de l’équation 3.2 à chaque
pas de temps du calcul. Ainsi, si P < Pe, la paroi externe se contracte (dRext/dt < 0)
et comprime le matériau, ce qui conduit à augmenter P . Il y a au contraire dilatation si
P > Pe, ce qui diminue P . Le taux de dilatation radiale donné par (3.2) tend à s’annuler
lorsque la condition P = Peest satisfaite, et on a alors un rayon externe Rextconstant. La
comparaison avec le contrôle de la contrainte normale dans les simulations de cisaillement plan [56, 58] suggère d’utiliser le nombre adimensionnel (ηp/
√
mkn) pour caractériser le
mouvement de la paroi extérieure. Des valeurs petites signifient que les fluctuations de
Rext sont imposées par le matériau et non par la paroi elle-même (celle-ci « colle » au matériau et le suit dans son évolution dans le sens de la dilatance ou de la contractance). 3.2.1.2 Périodicité en θ
Afin de réduire le volume de calculs, nous avons mis en œuvre dans nos simulations des conditions de périodicité selon l’angle θ, ce qui constitue un développement original. Des conditions aux limites périodiques sont très souvent utilisées en simulations numé- riques, tant dans le régime quasi-statique [47, 48] que pour des écoulements (cisaillement plan, plan incliné) [58, 70, 83, 202, 203]. Une motivation essentielle en est l’étude de systèmes homogènes, dépourvus d’effets de bords. Les conditions périodiques habituel- lement employées reviennent à considérer la région de l’espace occupée par le système simulé comme un élément d’un ensemble infini de cellules se correspondant par un groupe de translations, et réalisant un pavage de l’espace tout entier. L’idée de base exploitée par ce choix de conditions aux limites est que le système objet de l’étude par simulation sera, au niveau global, c’est-à-dire statistique, invariant par translation : chaque particule ou chaque arrangement local de particules se trouve, statistiquement, dans le même état, avec le même environnement. Les configurations locales, dans un très grand système, ne font que répéter les mêmes motifs qui se correspondent par translation.
L’application de conditions de périodicité selon l’angle θ à la géométrie annulaire de notre étude est similaire, mais présente cette différence qu’il s’agit maintenant d’une
invariance par rotation autour du centre commun aux deux parois circulaires. Les confi-
gurations locales, dans un très grand système, ne font que répéter les mêmes motifs qui se correspondent par rotation. De ce fait, au lieu de traiter le système tout entier, 0 ≤ θ < 2π, on peut ne considérer qu’un secteur angulaire 0 ≤ θ < Θ avec Θ < π. On réduit ainsi le nombre de degrés de liberté à traiter dans les calculs. À chaque grain dont le centre a pour coordonnées r, θ, avec θ entre zéro et Θ, est associée une collection de copies, dont les coordonnées sont r, θ + kΘ, où k est un entier relatif, les vitesses, les accélérations et les forces subies se correspondant par les rotations d’angles kΘ.
De même que dans le cas des conditions périodiques par translation, toute sortie d’une particule hors de la cellule de simulation s’accompagne de l’entrée de l’une de ses copies par la face opposée ; cependant, il faut veiller à appliquer la rotation d’un angle
±Θ aux vitesses et aux forces, alors que ces vecteurs ne subissent aucune modification
dans le cas de la périodicité en translation.
On doit tout particulièrement prendre garde à la situation de deux grains i et j en contact, avec θi proche de zéro, tandis que θj est proche de Θ. Plus exactement, i est
en contact avec la copie j0 de j, obtenue par rotation d’angle −Θ, et dont la coordonnée
θ est négative, tandis que j est en contact avec l’image i0 de i par la rotation d’angle
Θ. On doit alors utiliser les vecteurs unitaires normaux et tangentiels nij0, tij0, et le
mouvement de j0 pour évaluer les forces sur i d’une part ; et, d’autre part, utiliser les
vecteurs unitaires normaux et tangentiels nji0, tji0, et le mouvement de i0 pour évaluer
les forces sur j. Le vecteur nji0, qui pointe du centre de j vers le centre de i0 n’est plus,
c’est inhabituel, égal à −nij0, mais à son image par la rotation d’angle Θ. Cette situation
est illustrée par la figure 3.2.
conditions aux limites périodiques position virtuelle position virtuelle i i' j' j position réelle conditions aux limites périodiques
Fig. 3.2 – Schéma du contact des particules au niveau des frontières périodiques.