3.4 Régime stationnaire
3.4.4 Profil de vitesse tangentielle
Le profil radial de vitesse moyenne des grains vθ(r) renseigne sur la disposition du
matériau à transmettre et à dissiper les efforts de cisaillement appliqués par la paroi interne. Du fait de l’hétérogénéité du champ de contraintes (voir le § 2.6.1, ou simplement l’équation 3.5), on observe une localisation des déplacements à proximité de la paroi intérieure, plus au moins prononcée selon la géométrie, la distribution des contraintes et les caractéristiques du matériau : voir les figures 3.35, 3.36 et 3.38.
Influence de la vitesse à la paroi Vθ
La figure 3.35 montre l’influence de la vitesse à la paroi Vθsur le profil de vitesse dans
un système donné (R50). La normalisation des profils vθ(r) par la vitesse à la paroi Vθ
permet d’observer le changement de forme (approximativement exponentielle : vθ/Vθ = exp (a(r − Rint)/d)). À mesure que l’on entre dans le régime inertiel (en imposant des
niveaux des vitesses à la paroi Vθ ≥ 0, 25 pour cette étude), on observe un changement
de la forme du profil de vitesse [111], avec un affaiblissement de la localisation pour des vitesses Vθ croissantes.
Pour mieux visualiser l’augmentation de la largeur de la bande de cisaillement décrit sur la figure 3.35, on trace la valeur de λ (défini au § 2.7.1) en fonction de Vθ pour la géométrie R50. On voit clairement l’augmentation de λ pour Vθ > 0, 025, ce qui est une
autre manifestation de la transition du régime quasi-statique vers le régime inertiel. Influence de la géométrie Rint
3.4 Régime stationnaire 81 0 10 20 30 40 50 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 (a) v / V (r-R int )/d V 0 5 10 15 20 25 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 (b) v / V (r-R int )/d V
Fig. 3.35 – Profils de vitesse normalisée par la vitesse à la paroi vθ/Vθ pour différentes
vitesses à la paroi Vθ. (H) Vθ = 0, 0025, (•) Vθ= 0, 025, (I) Vθ = 0, 5, (¨) Vθ = 1, (J) Vθ= 1, 5. (a) Échelle linéaire, (b) Échelle logarithmique. Géométrie R50.
différents Rint dans le régime quasi-statique (Vθ= 0, 025) sur la figure 3.36. On observe
un élargissement de la zone cisaillée lorsque Rint augmente.
0 10 20 30 40 50 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 (a) v / V (r-R int )/d R int /d 0 5 10 15 20 25 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 (b) v / V (r-R int )/d R int /d
Fig. 3.36 – Profils de vitesse normalisée par la vitesse à la paroi vθ/Vθ pour différentes
géométries. (¥) R25, (•) R50, (N) R100, (H) R200. (a) Échelle linéaire, (b) Échelle loga-
rithmique. Vitesse à la paroi Vθ= 0, 025.
La figure 3.37 montre la largeur de la bande de cisaillement en fonction de Rint dans
le régime quasi-statique (Vθ = 0, 025). Cette évolution est très bien décrite par une loi de puissance du type λ/d = a(Rint/d)b.
Le choix de d comme échelle de longueur met en évidence l’influence de Rint sur des
10 1 10 2 10 20 30 40 / d R int /d V
Fig. 3.37 – Largeur de la bande de cisaillement λ en fonction de Rint pour différentes
vitesses à la paroi Vθ : (•) Vθ = 0, 025, (¨) Vθ= 0, 25, (N) Vθ= 2, 5.
des grains pour une géométrie donnée. On trace alors les mêmes profils en normalisant par la longueur Rint sur la figure 3.38. On vérifie ainsi que plus les particules sont petites,
plus le profil de vitesses vθ/Vθ se localise près de la paroi (relativement à Rint).
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 (a) v / V r/R int R int /d 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 10 -2 10 -1 10 0 (b) v / V r/R int R int /d
Fig. 3.38 – Profils de vitesse normalisée par la vitesse à la paroi vθ/Vθ pour différentes
géométries. (¥) R25, (•) R50, (N) R100, (H) R200. (a) Échelle linéaire, (b) Échelle loga-
rithmique. Vitesse à la paroi Vθ = 0, 025. Coordonnée r normalisée par le rayon interne Rint.
3.4 Régime stationnaire 83
Influence de la rugosité
L’influence de la rugosité sur le profil de vitesse est montrée sur la figure 3.39 pour une vitesse à la paroi Vθ = 0, 025 (régime quasi-statique). À mesure que la rugosité
diminue, on observe une discontinuité plus forte entre la vitesse à la paroi Vθ et la vitesse maximale dans le milieu granulaire Vθ+. La forme des profils dépend elle aussi de la rugosité à la paroi. Sur la figure 3.39b, les profils correspondant aux rugosités maximales étudiées (dp = 2 et dp = 4) ont une allure moins simplement exponentielle
que les profils correspondants à des rugosités plus faibles. Des profils exponentiels en cisaillement annulaire sont observés dans des expériences ([93] en 2D et [40] en 3D) et des simulations ([112]). [128] décrit plutôt l’effet d’un terme quadratique à ajouter au terme linéaire dans la forme exponentielle.
0 10 20 30 40 50 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 (a) v / V (r-R int )/d R n 0 5 10 15 20 25 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 (b) v / V (r-R int )/d R n
Fig. 3.39 – Profils de vitesse normalisée par la vitesse à la paroi vθ/Vθ. Influence de la rugosité. (N) dp 0,25, (¥) dp 0,5, (•) dp 1, (¨) dp 2, (H) dp 4. (a) Échelle linéaire, (b)
Échelle logarithmique. Géométrie R50.
La figure 3.40 montre comment le rapport Vθ+/Vθdépend de la rugosité, pour plusieurs géométries. Cela confirme la tendance au glissement des particules en contact avec des parois peu rugueuses. Cette influence ne se fait plus sentir pour Rn > 0,1 où la vitesse
de glissement tend alors vers zéro. On représente la variation du glissement à la paroi en fonction de Rnavec une fonction du type Vθ+/Vθ= (Vθ+)min+ [(Vθ+)max− (Vθ+)min](1 − exp(aR 2
n)).
L’influence de la rugosité sur la largeur de la bande de cisaillement λ est visible sur la figure 3.41. D’une manière générale, de plus fortes valeurs de Rn conduisent à des
épaisseurs de bande de cisaillement λ plus importantes. Cette comportement se couple à des effets géométriques.
Les effets les plus marquants des rugosités sur les profils de vitesse tangentielle sont liés au glissements des particules et au décalage en r des profils en fonction de la grande taille des rugosités. On confirme ces observations en exprimant l’épaisseur de la bande de cisaillement à l’aide de λ+ sur la figure 3.41b. On vérifie, dans ce cas, une minimisation
10 -3 10 -2 10 -1 10 0 0,1 1 V + / V R n (V + ) m in (V + ) m ax
Fig. 3.40 – Rapport entre la vitesse maximale des particules et la vitesse à la paroi Vθ+/Vθ
pour différentes géométries dans le régime quasi-statique. (¥) R25, (•) R50, (N) R100, (H)
R200. La ligne continue représente la fonction Vθ+/Vθ= 0, 085 + 0, 7(1 − exp(−120R 2
n)).
des effets de Rn sur l’épaisseur de la bande de cisaillement.
10 -2 10 -1 10 0 10 0 10 1 (a) / d R n R int /d 10 -2 10 -1 10 0 10 0 10 1 (b) / d R n R int /d
Fig. 3.41 – Épaisseur de la zone cisaillée en fonction de la rugosité de la paroi Rn pour différentes géométries Rint/d : (¥) R25, (•) R50, (N) R100, (H) R200. (a) λ/d, (b) λ+/d
en comparaison avec λ/d en lignes pointillés.
Rapport entre les variations volumiques normalisées ∆Vn et l’épaisseur de la
zone de cisaillement λ
3.4 Régime stationnaire 85
volumiques sont corrélées à l’évolution de la zone de cisaillement. On confirme cette re- lation sur la figure 3.42, où on trace les variations volumiques totales ∆Vmax
n comme
fonction de l’épaisseur de la zone de cisaillement λ. Naturellement, plus épaisse est la région cisaillée, plus ∆Vmax
n est grande dans la situation étudié. Malgré une petite dé-
viation pour la géométrie R25, ∆Vnmax s’exprime bien comme λ sous la forme d’une loi
de puissance : ∆Vmax n = a(λ/d)b. 10 0 10 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ∆ V m a x n λ/d
Fig. 3.42 – Variation volumique normalisée ∆Vmax
n en fonction de l’épaisseur de la zone
de cisaillement λ/d : (¤) R25, (•) R50, (N) R100. La ligne continue représente la fonction
∆Vmax
n = 0, 175(λ/d)0,57. Vθ=0,025.
3.4.5 Profils du taux de cisaillement et de vitesse de rotation des grains