Proc´ edures de r´ eduction de mots

Dans un produit amalgam´e, ou une extension HNN, tout mot sur les g´en´erateurs peut ˆetre r´eduit, ou cycliquement r´eduit, d`es lors que l’on dispose d’une solution au probl`eme de l’appartenance dans les sous-groupes, le long duquel se d´ecompose le groupe. Il n’est pas ´etonnant, que dans le cas du groupe d’un graphe de groupe, les proc´edures de r´eduction de mots se r´eduisent au probl`eme de l’appartenance dans les sous-groupes d’arˆete. Nous commencerons donc par ´etablir, sous les hypoth`eses que nous avons fix´ees :

7.2. Le cas Haken, non fibr´e en tores sur le cercle 192 Proposition 7.2.1 (Probl`eme du mot g´en´eralis´e) Soit G<sup>−</sup><sub>α</sub> un sous-groupe d’arˆete de π<sub>1</sub>(G,X). Le probl`eme du mot g´en´eralis´e de G⁻α dans π₁(G,X) est r´esoluble. D´emonstration Commen¸cons par montrer que l’on peut se donner un ´el´ement de G⁻_α, dont le centralisateur dans π₁(G,X) est G−

α.

Par construction, `a (G,X) est associ´ee une d´ecomposition minimale non triviale de la 3–vari´et´e M . Le groupe G⁻_α est un sous-groupe libre ab´elien de rang 2, d’un sous-groupe de sommet G_s de π₁(G,X) ; Gs est isomorphe au groupe fondamen-tal d’une 3–vari´et´e M₁, admettant soit une structure hyperbolique de volume fini, soit une fibration de Seifert, et l’image de G⁻_α dans π₁(M₁) est une composante p´eriph´erale.

Consid´erons un ´el´ement c ∈ G−

α, non trivial, et notons Z(c) son centralisateur dans π₁(G,X). Avec la proposition 6.2.1, soit Z(c) est aussi le centralisateur de c dans G_s, soit c est conjugu´e `a un ´el´ement de la fibre N<sub>i</sub> d’un groupe de sommet G<sub>si</sub>, groupe fondamental d’un fibr´e de Seifert. En particulier, dans ce dernier cas, il existe un trajet de c, `a un ´el´ement de N_i. Avec la proposition 6.2.1, qui caract´erise les trajets de (G,X), soit le trajet est trivial, soit si = e(α).

Si G_s est le groupe d’un fibr´e de Seifert. On choisit c ∈ G−

α, qui n’est pas dans la fibre N de G_s, et tel que si s_i = e(α), et G_si est le groupe d’un fibr´e de Seifert, alors ϕ_α(c) 6∈ Ni. Puisque la fibre est un sous-groupe cyclique infini, du groupe libre ab´elien de rang 2, G⁻_α, et que ϕ_α est un isomorphisme, un tel choix est possible. Avec ce choix, et la proposition 6.2.1, il n’existe pas de circuit non trivial en c, et donc Z(c) est aussi le centralisateur de c dans Gs, c’est `a dire, avec la proposition 5.4.2, Z(c) = G−

α.

Dans le cas o`u G<sub>s</sub> est le groupe d’une vari´et´e hyperbolique de volume fini, et si G<sub>si</sub> (o`u s_i = e(α)) est le groupe d’un fibr´e de Seifert, on prend c ∈ G−

α tel que ϕ_α(c) 6∈ Ni, sinon, on prend pour c n’importe quel ´el´ement de G⁻_α. Alors, avec la proposition 6.2.1, il n’existe pas de circuits non triviaux en c, Z(c) est donc le centralisateur de c dans G_s, c’est `a dire, avec la proposition 4.3.1, Z(c) = G−

α. Puisque M est Haken, avec la proposition 1.4.5, π₁(G,X) a un probl`eme du mot r´esoluble. Avec le choix que nous avons fait de l’´el´ement c ∈ G−

α, pour d´ecider si un ´el´ement ω ∈ π1(G,X) est dans G−

α, il suffit de d´ecider avec l’algorithme du mot si

[ω,c] = 1 dans π₁(G,X). 

Il est alors facile d’´etablir,

Proposition 7.2.2 (Ecriture sous forme r´eduite) Soit (G,Y ) un sous-graphe de groupe de (G,X). Si l’on d´ecompose (G,Y ) le long d’une arˆete α ∈ AY, π₁(G,Y ) se d´ecompose en une extension HNN ou un produit amalgam´e, le long de Z⊕ Z. Dans les deux cas, donn´e un mot ω sur les g´en´erateurs de π₁(G,Y ), il existe une proc´edure permettant de donner une ´ecriture sous forme normale pour ω et une ´ecriture cycli-quement r´eduite pour un repr´esentant de la classe de conjugaison de ω.

D´emonstration Remarquons tout d’abord que puisque (G,Y ) est un sous-graphe de (G,X), la proposition 7.2.1 fournit dans π1(G,Y ) une solution au probl`eme du mot g´en´eralis´e pour tout sous-groupe d’arˆete G⁻_α, avec α∈ AY.

7.2. Le cas Haken, non fibr´e en tores sur le cercle 193 Supposons d’abord que α soit T -s´eparante, et notons (G,Y1) et (G,Y2) les graphes de groupe obtenus en d´ecomposant (G,Y ) le long de α. La famille g´en´eratrice S = Gen(Y ) de π1(G,Y ) donn´ee par sa pr´esentation canonique, se partitionne en S1 = Gen(Y1) et S₂ = Gen(Y2), familles g´en´eratrices respectives de π₁(G,Y1) et π₁(G,Y2).

Consid´erons un ´el´ement de π₁(G,Y ), donn´e par un mot ω (non trivial) sur l’al-phabet S∪ S⁻¹. Alors ω s’´ecrit ω = ω₁ω₂· · · ωn o`u les ω_i sont des mots non triviaux, soit sur l’alphabet S₁∪ S1⁻¹, soit sur l’alphabet S₂∪ S2⁻¹, et les mots successifs ω_i et ω_i+1 s’´ecrivent sur des alphabets diff´erents.

On peut supposer que l’origine de α est un sommet de Y₁. On transforme alors le mot w de la fa¸con suivante. Si ω_i est un mot sur S₁∪ S1⁻¹. On utilise la proposition 7.2.1, pour d´ecider si ω_i ∈ G⁻¹α . Si c’est le cas on change le sous-mot ω_i−1ω_iω_i+1 de ω par le mot ω_i⁰ = ω_i−1ϕ_α(ω_i)ω_i+1; ce dernier s’´ecrivant sur l’alphabet S₂∪ S2⁻¹. Sinon on passe au sous-mot suivant ω_i+1. En r´ep´etant ce proc´ed´e on obtient une ´ecriture ω⁰ = ω⁰₁ω₂⁰ · · · ωp⁰, avec p < n, sous forme r´eduite, les mots ω et ω⁰ repr´esentant le mˆeme ´el´ement de π₁(G,Y ).

Si ω₁⁰ et ω_p⁰ sont dans des facteurs distincts, alors ω⁰ est cycliquement r´eduit. Sinon on consid`ere le mot ω<sup>00</sup> = (ω<sub>p</sub><sup>0</sup>ω<sub>1</sub><sup>0</sup>)ω<sub>2</sub><sup>0</sup> · · · ωp<sup>0</sup>, que l’on r´eduit, on obtient un mot de longueur au plus p− 1. Si le mot obtenu n’est pas cycliquement r´eduit, on lui applique le mˆeme proc´ed´e, et successivement, jusqu’`a obtenir un mot cycliquement r´eduit. Il repr´esente un conjugu´e de ω dans π₁(G,X).

Si α est T -s´eparante, alors π₁(G,Y ) est une extension HNN de π1(G,Y1), de lettre stable t_α, et S = S₁∪ {tα}, o`u S1 = Gen(Y1) est une famille g´en´eratrice de (G,Y1). Un mot ω sur S ∪ S⁻¹, s’´ecrit ω = ω₁t^p1

α ω₂t^p2

α · · · tpn

α ω_p, o`u les ω_i sont des mots sur S₁∪ S1⁻¹, et ∀ i = 1, . . . ,n,pi ∈ Z∗.

On transforme le mot ω de la fa¸con suivante. Si p_i < 0 et p_i+1 > 0, On utilise la proposition 7.2.1, pour d´ecider si ω_i+1 ∈ G⁻α. Si c’est le cas on change le sous-mot t^pi

αω_i+1t^pi+1

α en t^1+pi

α ϕ_α(ω_i+1)t^−1+pi+1

α . Si p_i > 0 et p_i+1 < 0, On utilise encore la proposition 7.2.1, pour d´ecider si ω_i+1 ∈ G+

α. Si c’est le cas on change le sous-mot t^pi

αω_i+1t^pi+1

α en t^−1+pi

α ϕ_−α(ω_i+1)t^1+pi+1

α . On obtient un mot de longueur strictement inf´erieure. Dans tous les autres cas, on laisse ce sous-mot inchang´e. En r´ep´etant ce proc´ed´e tant que cela est possible, on finira par trouver un mot r´eduit, ω⁰ = ω₁⁰t^q1

a ω₂⁰ · · · tqm

α ω_m+1 repr´esentant dans π₁(G,Y ), le mˆeme ´el´ement que ω. Si ω⁰ n’est pas cycliquement r´eduit, alors un de ses conjugu´es cycliques n’est pas r´eduit, et on le r´eduit. Soit le mot obtenu est cycliquement r´eduit, soit on poursuit le mˆeme proc´ed´e. On finira par trouver le conjugu´e souhait´e, et son ´ecriture cycliquement r´eduite. 

Enfin, si l’on consid`ere un ordre de d´ecomposition de (G,X), on peut ´etablir une proc´edure de r´eductions cycliques successives (cf. §3.2.3).

Proposition 7.2.3 (R´eductions cycliques successives) Donn´e un ordre de d´ e-composition de (G,X), on peut algorithmiquement appliquer la proc´edure de r´educ-tions cycliques successives.

D´emonstration Pour ˆetre appliqu´ee, la proc´edure d´ecompose le graphe de groupe successivement le long d’arˆetes, et n´ecessite `a chaque d´ecomposition, d’´ecrire un mot

7.2. Le cas Haken, non fibr´e en tores sur le cercle 194 sous forme cycliquement r´eduite (cf. §3.2.3). On peut faire cela avec la proposition