4.3 Algorithmes dans le cas hyperbolique de volume fini
4.3.2 V´ erifier l’hyperbolicit´ e
Pour r´esoudre les algorithmes ´el´ementaires dans le groupe d’une vari´et´e M hy-perbolique de volume fini, la stat´egie consiste `a effectuer des obturations de Dehn sur toutes les composantes (toriques) de ∂M . Avec le th´eor`eme de chirurgie hyper-bolique de Thurston (th´eor`eme 4.1.2), ((presque toutes)) les vari´et´es obtenues sont ferm´ees hyperboliques, et dans ce cas, leur groupe est Gromov-hyperbolique. On peut d`es lors esp´erer se donner un nombre fini de telles vari´et´es, afin de r´esoudre des probl`emes algorithmiques dans leur groupe, (les groupes hyperboliques s’y prˆetent particuli`erement bien, cf. section 4.2), ce qui permettrait de donner une solution aux probl`emes consid´er´es dans π1(M ).
Les deux premiers probl`emes auxquels nous sommes confront´e, afin de trouver de tels bons candidats, sont les suivants : d’une part, si Γ est Gromov-hyperbolique, nous devons en d´ecider, d’autre part nous avons besoin pour travailler algorithmique-ment sur Γ de connaˆıtre sa constante d’hyperbolicit´e δ, ou du moins une majoration de celle-ci.
Avec le travail dˆu `a Markov, Adjan, et Rabin (cf. [Mi2]), il est clair que dans la classe des pr´esentations finies de groupes la propri´et´e d’ˆetre hyperbolique est r´ecursivement inreconnaissable. Il s’agit en effet d’une propri´et´e dite de Markov (un groupe hyperbolique ne peut contenir Z⊕ Z). Nous travaillons cependant, dans la classe des groupes de 3–vari´et´es, et nous devons prendre garde de ne pas en d´eduire que dans cette classe ˆetre hyperbolique est inreconnaissable. En effet la propri´et´e d’ˆetre un groupe de 3–vari´et´e, est ´egalement une propri´et´e de Markov (le groupe d’une 3–vari´et´e ne peut contenir Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z (cf. [He]). De toute fa¸con, nous n’avons pas besoin de d´ecider de l’hyperbolicit´e, mais de le le d´eterminer lorsque c’est le cas, i.e., que la sous-classe des groupes hyperboliques, dans la classe des groupes de 3–vari´et´es soit r´ecursivement ´enum´erable.
Nous donnons deux approches diff´erentes pour r´esoudre ces probl`emes. La pre-mi`ere utilise des m´ethodes ´elabor´ees par D.epstein et D.Holt, utilisant la notion d’automaticit´e d’un groupe. La seconde utilise la structure plus restrictive de groupe de 3–vari´et´e hyperbolique ferm´ee, et les travaux de R.Riley, (snap-pea) (cf. [Th2]). Dans le premier cas, nous n’avons besoin que d’une pr´esentation finie du groupe, alors que dans le second cas, il est n´ecessaire de se donner la vari´et´e, par une triangu-lation, une d´ecomposition de Heegard, ou une chirurgie sur un entrelac. Cependant, dans la pratique, on se donnera souvent – sinon toujours – une vari´et´e avant de se donner un groupe de 3–vari´et´e. Dans les deux cas, les algorithmes s’av`erent ˆetre ef-ficients, sur des machines de capacit´es relativement modestes, dans des cas simples. Seule une ´etude de la complexit´e - que nous ne ferons pas - pourraˆıt nous permettre d’en dire davantage.
Nous commen¸cons par exposer la m´ethode due `a D.Epstein et D.Holt. Concer-nant les notions d’automaticit´es (que nous noterons en italique), et tous les faits ´enonc´es, nous renvoyons le lecteur `a l’ouvrage de r´ef´erence [CEHLPT]. Tous les algo-rithmes sont impl´ementables avec le logiciel KBMAG [Ho]. Un groupe hyperbolique est automatique. De plus, pour toute famille finie de g´en´erateurs, il est short-lex
auto-4.3. Algorithmes dans le cas hyperbolique de volume fini 106 matique. Donn´ee un pr´esentation finie, d’un groupe, s’il est short-lex automatique, il existe un algorithme qui permet de se donner des automates d´efinissant cette structure (la pratique, montre mˆeme une ´etonnante efficience de cet algorithme). P.Papasoglu, a r´ecemment d´emontr´e l’´equivalence entre la propri´et´e d’ˆetre Gromov-hyperbolique, et la propri´et´e d’ˆetre strongly geodesically automatic ([Pa]). Il suffit ainsi de d´ecider si l’on a une telle structure. Ceci peut-ˆetre r´ealis´e, en utilisant les algorithmes donn´es dans [EH1] et [EH2]. Dans le cas o`u le groupe consid´er´e n’est pas hyperbolique, cette proc´edure tourne ind´efiniment, sans donner aucune r´eponse, mais dans le cas o`u le groupe est hyperbolique, cette proc´edure s’arrˆete. On peut alors utiliser l’algorithme figurant dans [EH1] et [EH2] pour d´eterminer la constante δ d’hyperbolicit´e (ou une majoration de celle-ci). Nous r´esumons ces faits dans la proposition suivante.
Proposition 4.3.4 Soit Γ un groupe finiment pr´esent´e donn´e par une pr´esentation finie. Il existe un algorithme, qui, si Γ est hyperbolique, en d´ecide, et explicite une constante d’hyperbolicit´e δ de Γ pour cette pr´esentation.
Nous donnons maintenant la deuxi`eme approche. Elle est bas´ee sur une proc´ e-dure, due `a R.Riley, permettant, donn´ee une vari´et´e hyperbolique de volume fini, par une triangulation (par exemple), de d´eterminer une structure hyperbolique compl`ete. Bien qu’efficient que dans des cas relativement simple (snap-pea), il s’av`ere qu’une telle proc´edure est toujours th´eoriquement r´ealisable. L’algorithme fournit un poly` e-dre fondamental fini et les applications de recollement (applications de pairage de face). Rappelons qu’une 3–vari´et´e hyperbolique de volume fini, admet toujours un poly`edre fondamental convexe, exact, fini (cf [Ra]). Nous r´esumons cette discussion dans la proposition suivante (cf. [Th2]).
Proposition 4.3.5 Donn´ee une vari´et´e hyperbolique de volume finie (par une tri-angulation par ex.), il existe un algorithme qui fournit une stucture hyperbolique, ainsi qu’un poly`edre fondamental fini.
Une vari´et´e hyperbolique ferm´ee, est le quotient de H3 par un sous-groupe dis-cret sans torsion de P SL(2,C), agissant de mani`ere cocompacte. Le r´esultat suivant, d´ej`a remarqu´e par Milnor, permet de d´eduire que son groupe fondamental est hy-perbolique au sens de Gromov.
Th´eor`eme 4.3.1 Soit X un espace g´eod´esique propre, et Γ un groupe discret d’iso-m´etrie de X. Si X/Γ est compact, alors Γ est de type fini, et Γ muni de la m´etrique du mot (pour une famille g´en´eratrice quelconque), est quasi-isom´etrique `a X.
En affinant ce r´esultat, on peut, donn´e un poly`edre fondamental fini, estimer la constante d’hyperbolicit´e δ.
Proposition 4.3.6 Soit Γ un sous-groupe discret de P SL(2,C), agissant par iso-m´etrie, de fa¸con cocompacte sur H3. Alors Γ est Gromov-hyperbolique. Si l’action de Γ sur H3 admet un poly`edre fondamental fini P , et si l’on munit Γ de la famille g´en´eratrice associ´ee aux pairages de faces, alors Γ est δ-hyperbolique, et connaissant P , on peut trouver m,M > 0, tels que m < δ < M .
4.3. Algorithmes dans le cas hyperbolique de volume fini 107 D´emonstration La premi`ere partie de la proposition provient du th´eor`eme 4.3.1. On suppose que l’on connaˆıt un poly`edre fini P , et les applications de pairage de face, donnant une structure hyperbolique pour H3/Γ. Si l’on consid`ere le sous-ensemble S de Γ, obtenu `a partir des pairages de face, il est facile de v´erifier que S est une famille g´en´eratrice (finie) pour Γ. Posons,
R = max{d(x0,x)|x ∈ P } m = min{d(x0,x)|x ∈ ∂P }
Si A et B sont des faces de P , on pose ](A,B) qui est soit π si A et B n’ont pas d’arˆete en commun, soit, si A et B ont une arˆete e en commun, l’angle di´edral entre A et B en e. Remarquer que A et B ne peuvent pas avoir plus d’une arˆete en commun. On pose
α = min{](A,B)|A,B faces de P } On pose
S ={γ ∈ Γ| γ.P ∩ P 6= ∅}
Puisque Γ est discret, S est fini, et bien sˆur, S ⊂ S. Soit N le plus petit entier tel que N.α ≥ 2π. Alors il est facile de voir qu’un ´el´ement de S se d´ecompose en un produit de moins de N ´el´ements de S.
On pose r = inf{d(P,γ.P )|γ ∈ Γ\S}. Alors, on a m ≤ r ≤ R. On pose λ = min{d(x0,γ.x0)|γ ∈ S}, alors 2m ≤ λ ≤ 2R.
La d´emonstration du th´eor`eme 4.3.1 consiste en fait `a montrer (sous l’hypoth`ese plus faible que P est une boule ferm´ee de rayon R), que
(a) S engendre Γ, et que pour tout γ ∈ Γ, dS(1,γ) ≤ 1
r|x0− γ.x0| + 1 (b) |x0 − γ.x0| ≤ λdS(1,γ) pour tout γ ∈ Γ.
(c) l’injection Γ.x0 −→ H3 est R-quasi-surjective.
Nous renvoyons le lecteur `a [GdlH] pour une d´emonstration de ces r´esultats. Puisque dS(1,γ) ≤ dS(1,γ) ≤ N.dS(1,γ) on a 1 2R|x0 − γ.x0| ≤ dS(1,γ) ≤ N m|x0− γ.x0| + N
Ainsi l’application (Γ,S)−→ H3 donn´ee en c) est une quasi-isom´etrie, dont on peut exprimer les coefficients en fonction de R,N,m. Connaissant P , on peut d´eterminer R,N,m, et alors , sachant que H3 est log 2-hyperbolique, d´eterminer δ tel que (Γ,S)
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