4.2 Algorithmes dans un groupe δ-hyperbolique
4.2.1 D´ efinition d’un groupe hyperbolique au sens de Gromov
Nous commen¸cons par d´efinir la notion de groupe hyperbolique selon Gromov (cf. [Gr], [CDP], [GdlH], [GHVS]). Pour cela nous ´equipons un groupe arbitraire d’une m´etrique, appel´ee m´etrique du mot. Cette m´etrique d´epend d’une famille g´en´eratrice du groupe. N´eanmoins, pour des groupes de type fini, nous verrons que la propri´et´e d’hyperbolicit´e ne d´epend pas d’une famille g´en´eratrice finie. Pour cette raison, nous nous restreindrons dans la suite `a des groupes de type fini.
Il existe de multiples fa¸con ´equivalentes de d´efinir la notion de groupe hyper-bolique. Initialement, M.Gromov d´efinit sa notion d’hyperbolicit´e pour un espace m´etrique quelconque, en introduisant un produit (appel´e depuis produit de Gro-mov). Il dit alors qu’un groupe est hyperbolique, si muni de la m´etrique du mot, il est hyperbolique en tant qu’espace m´etrique. Il g´en´eralise ainsi le cas du groupe fondamental d’une vari´et´e riemanienne compacte de courbure strictement n´egative. Nous avons choisi d’utiliser la caract´erisation de l’hyperbolicit´e dans un espace g´eod´esique, par des ((triangles fins)). Nous devons d`es lors, pour d´efinir l’hyperboli-cit´e d’un groupe, le plonger isom´etriquement dans un espace m´etrique g´eod´esique. Nous introduisons pour cela la notion de graphe de Cayley d’un groupe. C’est un espace g´eod´esique propre, sur lequel le groupe agit par isom´etrie de fa¸con propre-ment discontinue et cocompacte.
Soit G un groupe de type fini, et S une famille g´en´eratrice finie pour G. On d´efinit une distance sur G, appel´ee m´etrique du mot, de la mani`ere suivante :
Soit ω un mot sur S, i.e. ω ≡ a1· · · ai· · · an, avec pour tout i = 1· · · n, ai ∈ S∪ S−1, nous notons lgrS(ω), la longueur de ω en tant que mot, c’est `a dire l’entier n.
Soit g un ´el´ement de G. On d´efinit l’entier |g| par,
|g| = inf{lgrS(ω)|ω est un mot repr´esentant g}
Remarquons que puisque l’on consid`ere la borne inf´erieure d’un sous-ensemble non vide de N, cette borne est atteinte, c’est `a dire qu’il existe un mot ω de longueur |g|, repr´esentant g (il n’est en g´en´eral pas unique). Nous d´efinissons alors une distance sur G, en posant pour tout g1,g2 ∈ G,
dS(g1,g2) =|g1−1g2|
Il est trivial de v´erifier les axiomes de sym´etrie, de s´eparation, et l’in´egalit´e trian-gulaire. Il faut remarquer que cette d´efinition d´epend d’une famille g´en´eratrice.
Lorsqu’une famille g´en´eratrice S sera suppos´e fix´ee, nous aurons coutume de noter lgr et d au lieu de lgrS et dS. Nous commettrons aussi l’abus de langage consistant `a noter |ω| pour un mot ω. Plus g´en´eralement, donn´e un mot, nous le confondrons souvent avec l’´el´ement qu’il repr´esente dans le groupe.
4.2. Algorithmes dans un groupe δ-hyperbolique 85 Soit G un groupe muni d’une famille g´en´eratrice finie. On d´efinit un graphe orient´e, localement fini, appel´e le graphe de Cayley, not´e Γ(G,S) de la fa¸con suivante :
– Les sommets de Γ(G,S) sont en bijection avec les ´el´ements de G. Si g ∈ G, on note g le sommet de Γ(G,S) lui correspondant.
– Il existe une arˆete ayant pour origine g1 et pour extr´emit´e g2, lorsque il existe s ∈ S ∪ S−1 tel que g2 = g1.s dans G. On munit alors cette arˆete du label s. Trivialement, si une arˆete α est labell´ee par s, son arˆete oppos´ee −α sera labell´ee par s−1.
Etant donn´e deux sommets g1,g2, un chemin de g1 `a g2 est une suite fini d’arˆetes α1, . . . ,αn, telle que g1 est l’origine de α1, g2 est l’extr´emit´e de αn, et pour tout i = 1, . . . ,n−1, l’extr´emit´e de αi est l’origine de αi+1. Un chemin est alors naturellement muni d’un label. C’est le mot ω sur S obtenu par concat´enation des labels des arˆetes α1, . . . ,αn, i.e. ω ≡ s1· · · si· · · sn, o`u si est le label de αi. On a alors dans G la relation g2 = g1ω. Il faut remarquer que donn´e un sommet, l’ensemble des chemins ayant pour origine ce sommet est en bijection avec l’ensemble des mots sur S.
Un chemin bi-infini, est une suite (αn)n∈Z d’arˆetes, telle que pour tout i ∈ Z, l’extr´emit´e de αi est l’origine de αi+1.
On munit Γ(G,S) d’une m´etrique simpliciale, en imposant que la longueur d’une arˆete soit ´egale `a 1. Cela fait de Γ(G,S) un espace m´etrique g´eod´esique propre. Avec cette m´etrique, l’ensemble des sommets muni de la m´etrique induite, est naturelle-ment isom´etrique `a (G,dS). Si un chemin ayant pour label ω est une g´eod´esique, on dira que ω est un mot g´eod´esique.
Soit g ∈ G. Si h est un sommet, on d´efinit g.h comme le sommet gh, et si α est l’arˆete de label s, entre h1 et h2, g.α est l’arˆete de label s entre g.h1 et g.h2. On d´efinit ainsi une action G×Γ(G,S) −→ Γ(G,S). Cette action se fait par isom´etrie. Si l’on consid`ere un chemin C, son image sous l’action de g ∈ G est encore un chemin, que l’on note g.C. Si C est un chemin de g1 `a g2, alors g.C va de gg1 `a gg2 et a mˆeme label que C.
Le graphe de Cayley d’un groupe peut aussi se d´efinir de mani`ere plus concr`ete. Soit G un groupe admettant la pr´esentation finie < S | R >. Il existe une fa¸con stan-dard de construire un 2-complexe simplicial fini, ayant un sommet, une arˆete pour chaque ´el´ement de S, et pour groupe fondamental G. Consid´erons son revˆetement universel ˜K, et fixons un point de base. Alors le 1-squelette K1 de ˜K est naturel-lement isomorphe au graphe de Cayley Γ(G,S). L’action pr´ec´edemment d´efinie, est la restriction sur K1 de l’action de G sur ˜K comme groupe d’automorphisme du revˆetement. Il est alors clair que G agit de fa¸con libre et proprement discontinue sur Γ(G,S). L’action est cocompacte, car l’espace quotient est le 1-squelette de K.
Nous en arrivons maintenant `a la d´efinition de l’hyperbolicit´e selon Gromov. Soit E un espace m´etrique g´eod´esique. Nous appelons triangle g´eod´esique [x,y,z], la donn´ee de 3 points distincts x,y,z de E, et de g´eod´esiques les reliant deux `a deux, [x,y],[y,z],[x,z] (elles ne sont en g´en´eral pas uniques).
Etant donn´e un triangle g´eod´esique [x,y,z] de E, on peut toujours le plonger isom´etriquement dans un triangle [A,B,C] de l’espace euclidien 2-dimensionnel.
Ap-4.2. Algorithmes dans un groupe δ-hyperbolique 86 pelons Ψ l’isom´etrie Ψ : [x,y,z] −→ [A,B,C], telle que Ψ(x) = A,Ψ(y) = B,Ψ(z) = C.
Fig. 4.1 – Le tripˆode ∆ et l’application Θ◦ Ψ.
Notons I le centre du cercle inscrit dans [A,B,C], et a,b,c ses points de contact (voir la figure 5.1). Consid´erons le tripˆode ∆ constitu´e des segments [A,I],[B,I], [C,I]. On construit l’application continue Θ de [A,B,C] dans ∆ de la fa¸con sui-vante : la restriction de Θ sur [A,c] est l’unique application affine qui pr´eserve A, et qui envoie c sur I. De la mˆeme fa¸con, la restriction de Θ sur [A,b] est l’application affine qui pr´eserve A et envoie b sur I. On d´efinit de fa¸con similaire Θ sur [C,b],[C,a], [B,a], [B,c]. Ceci d´efinit Θ sur [x,y,z]. Remarquons que Θ est bijective sur A,B,C, la pr´e-image de I est {a,b,c}, et que tout autre point admet deux pr´e-images. On construit ainsi l’application Θ◦ Ψ de [x,y,z], qui est unique, `a composition par une isom´etrie du plan, pr`es. Soit δ ∈ R+. Nous dirons que E est δ-hyperbolique, si pour tout triangle g´eod´esique, et pour tout point m ∈ ∆ (o`u ∆ est obtenu par cette construction), le diam`etre de (Θ ◦ Ψ)−1(m) dans E est major´e par δ. Nous dirons que E est hyperbolique si il existe δ ∈ R+, tel que E soit δ-hyperbolique.
Un groupe de type fini G, muni d’une famille g´en´eratrice S sera dit δ-hyperboli-que, si son graphe de Cayley Γ(G,S) est δ-hyperbolique. Cette d´efinition d´epend du choix de S. N´eanmoins, si S0 est une autre famille g´en´eratrice finie pour G, et si Γ(G,S) est δ-hyperbolique, alors Γ(G,S0) est δ0-hyperbolique pour un certain δ0. Nous dirons qu’un groupe est hyperbolique si pour une (toute) famille g´en´eratrice S finie, il existe un r´eel positif δ tel que Γ(G,S) soit δ-hyperbolique. Ainsi ˆetre hy-perbolique ne d´epend pas du choix d’une famille g´en´eratrice finie.
Consid´erons un groupe δ-hyperbolique G, et Γ(G,S) son graphe de Cayley pour cette famille g´en´eratrice. Soit [x,y,z] un triangle g´eod´esique dans Γ(G,S). Soit ∆ le tripˆode, et l’application Θ◦ Ψ, comme d´efinis plus haut. Par d´efinition, si u,v sont deux sommets dans [x,y,z], ayant mˆeme image par Θ ◦ Ψ, alors ils sont reli´es dans Γ(G,S) par un chemin de longueur au plus δ. La donn´ee d’un chemin g´eod´esique
4.2. Algorithmes dans un groupe δ-hyperbolique 87
Fig. 4.2 – Foliation d’un triangle g´eod´esique dans le graphe de Cayley.
pour tout couple de sommet de [x,y,z] ayant mˆeme image par Θ◦ Ψ, s’appelle une foliation de [x,y,z].
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