Procédure et algorithme retenus

Les éléments précédents nous ont amené à la procédure suivante d’analyse12. Le champ de vitesse est uniforme dans le plan de mesure, puisque l’image est prise dans un plan parallèle aux surfaces inférieures et supérieures, qui sont homogènes13. On peut alors travailler avec un ensemencement en traceurs très réduit, ce qui minimise la pertur- bation du système à étudier, un écoulement d’eau pure sur une surface lisse hydrophile ou hydrophobe. On évite ainsi de polluer la surface ou de modifier les caractéristiques de la solution.

La procédure suivie pour une paire d’images comporte trois étapes principales : préparation des images, calcul des corrélations, mesure du déplacement.

Préparation des images

L’image initiale, codée sur 8 bits est entrelacée. Elle est séparée en deux sous-images séparées d’un intervalle de temps δt = 1/50 s. On les seuille à une valeur S fixée pour

11_{C’est encore une fois la conséquence du rôle accru des interfaces en situation miniaturisée.} 12

Les calculs sont effectués par le logiciel Matlab.

3.3. L’imagerie de vitesse par corrélations d’intensité ou PIV 55

chaque expérience :

I_1,2s = max{I1,2− S; 0}; (3.7)

S est choisi à une valeur typique de 2₃I0, où I0 est l’intensité de traceurs focalisés. Le

bruit de fond (contributions de particules défocalisées, fluorescence naturelle du PDMS, et bruit thermique et électronique de la caméra) est ainsi majoritairement éliminé.

Pour s’affranchir de la contribution de motifs brillants fixes sur l’image sans lien avec l’écoulement (en particulier les particules adsorbées) et corriger la non-uniformité de l’éclairement, on peut retrancher l’intensité moyenne de plusieurs images. Cependant cette méthode n’est pas très robuste aux fluctuations d’intensité (liées par exemple à la source d’illumination et à la caméra). Nous avons adopté la méthode récemment proposée par Honkanen [66]. On construit à partir des deux images – seuillées ou non – une image de différence Id= I2s− I1s. Ainsi les pixels de Id correspondant à un motif

fixes ont une valeur quasi nulle, les particules focalisées de l’image n◦2 donnent une contribution positive et celles de l’image n◦1 sont en négatif. On reconstruit alors la nouvelle image n◦2 «sans fond» en y plaçant les pixels de Idqui ont une valeur positive,

et les pixels de valeur négative de I_d sont placés après un changement de signe dans l’image n◦1.

Id= I2s− I1s, (3.8)

I₂sf = max{Id; 0}, (3.9)

I₁sf = max{−Id; 0}. (3.10)

Un deuxième seuillage, dont la valeur correspond cette fois à un écart à la valeur moyenne de l’image seuillée est alors réalisé sur ces images corrigées. On enlève enfin la valeur moyenne juste avant le calcul de corrélations pour éviter un pic correspondant à un déplacement nul, que l’on peut voir dans l’espace de Fourier comme la présence d’une fréquence spatiale nulle sur chacune des images.

Calcul des corrélations

Cette étape, qui est la plus coûteuse en temps de calcul, est réalisée en utilisant un algorithme de transformée de Fourier rapide déjà implémenté dans matlab. On calcule la transformée de Fourier inverse du produit des transformées de Fourier des images modifiées, d’abord amenées à un nombre de pixels égal à la puissance de 2 supérieure à la somme de leurs tailles, pour profiter de l’efficacité de l’algorithme de FFT tout en évitant le repliement discuté précédemment.

Mesure du déplacement

Puisque l’allure du champ de vitesse – un écoulement de Poiseuille à bas nombre de Reynolds– est connu, un «filtre de vitesse» est appliqué à la matrice de corrélation14. La recherche du pic de la matrice de corrélation n’est réalisée que sur les pixels correspon- dant à un déplacement dans le sens de l’écoulement, avec une tolérance dans la direction perpendiculaire au déplacement supérieure aux fluctuations browniennes des particules, au défaut d’alignement du canal à la caméra, et aux variations de vitesse dans la tranche de mesure. L’intérêt principal de cette démarche est d’éliminer une partie des vitesses aberrantes, correspondant aux corrélations de deux particules différentes.

14

On se trouve pour le critère de robustesse de la mesure dans une situation bien plus simple que celle, pour laquelle la PIV a été initialement développée, où la méthode est utilisée pour caractériser des écoulements turbulents dont la structure est complexe et présente des fluctuations spatio-temporelles d’amplitude et de direction.

56 Chapitre 3. Mesure de profil de vitesse par PIV

La détermination précise du déplacement pour cette paire d’image est alors obtenue par une minimisation sur une petite région de la matrice de corrélation autour de son maximum. Ceci permet d’atteindre une résolution bien inférieure au pixel. La démarche généralement retenue, qui permet de ne rajouter qu’un temps de calcul minime, est de déterminer {x0; y0} à l’aide de deux ajustements par des gaussiennes unidimensionnelles

selon les axes x et y respectivement, en ne sélectionnant que le pixel de corrélation maximum et ses deux plus proches voisins. Dans ce cas, en effet, l’ajustement sur trois points peut se faire sans calcul supplémentaire en prenant comme valeur sub-pixel le barycentre des logarithmes de l’intensité des trois points retenus. Cependant, l’efficacité du programme n’étant pas l’objectif premier ici, une minimisation par une gaussienne à deux dimensions est réalisée sur une matrice 3 × 3 autour du pic. Pour chaque paire d’images, on obtient la valeur du déplacement {x₀; y0}, ainsi que l’amplitude et les

variances selon les deux axes de la corrélation. L’ajustement du pic de corrélation par une gaussienne est justifié par le fait que si les particules apparaissent comme des gaussiennes sur l’image15, alors la corrélation est elle-même une gaussienne. La largeur selon x et y de la matrice de corrélations est proportionnelle à la taille des particules corrélées. Dans notre cas, un marqueur focalisé s’étend sur deux à trois pixels, le pic de Φ a donc une taille – l’écart-type de la gaussienne – similaire.

Remarque – La statistique est utilisée dans notre expérience pour diminuer la barre d’erreur. L’opération de moyennage est réalisé sur les déplacements obte- nus plutôt que directement sur les corrélations, selon la méthode introduite plus haut [165]. Ceci est lié au fait que le mouvement brownien induit un bruit sur chaque mesure supérieur à la taille des particules, donc à la largeur des gaussiennes sur les matrices de corrélation. Même en ajoutant les {Φg1,g2}kpour différentes réa-

lisations k, les pics de corrélation de chaque mesure ne se recouvrent pas ou peu, et le gain en fiabilité et en précision est plus faible qu’en moyennant les mesures individuelles.

Notre mesure est très fortement conditionnée par les caractéristiques du volume de mesure. Pour comprendre l’origine de son extension et ses propriétés optiques, on rappelle rapidement la distribution d’intensité d’un montage de microscopie optique, et ses effets sur la résolution axiale : la finesse de la tranche de mesure, et la détermination de la position du mur solide.