II.2 Représentativité physique de la solution numérique de l’équation de diffusion
II.3.1 Principe de la méthode des volumes finis
On considère l’équation de diffusion stationnaire (II.1) (pour simplifier le développement), et on l’intègre dans un volume de contrôle noté C ∈ Ω. On applique ensuite la formule de la divergence, qui permet d’accéder à l’équation de conservation locale :
Z ∂C −D∇f · ~nCdl = Z C SdV = X σ∈∂C FC,σ (II.15)
L’équation (II.15) établit l’équilibre dans la cellule élémentaire C entre la création volumique et la somme des flux notée FC,σ venant de C et traversant les interfaces σ ∈ ∂C. Les flux sont définis comme suit : FC,σ= − Z σ D∇f · ~nC,σdl (II.16) ~
nC est le vecteur de la normale extérieure à ∂C et ~nC,σ le vecteur de la normale extérieure à l’interface σ (voir figure II.1). Par définition du flux dans l’équation (II.16), pour deux cellules voisines C et M partageant une interface σ, on a :
FC,σ+ FM,σ = 0 (II.17)
Il s’agit de la propriété de conservation des flux.
Une discrétisation par volumes finis va donc fournir une approximation numérique consistante de FC,σdu flux exactFC,σ, permettant d’assurer l’équation de bilan (II.15) et la propriété de conservation (II.17) dans une cellule C de petite taille (cellule d’un maillage)[139].
II.3.1.1 La construction du aux maillage volumes finis
Le domaine Ω est divisé en plusieurs cellules C ∈ T avec Ω = ∪C∈TC. On note d(., .) la distance entre les éléments du maillage. On pose mC, une quantité caractéristique de C qu’on assimile à son "volume" et hC la mesure de sa longueur caractéristique. Chaque cellule C est représentée par un point qui porte son nom et qui est souvent confondu avec son centre. On note fC la valeur de la solution numérique dans C. D’autre part, on pose ε l’ensemble des interfaces σ du domaine discrétisé et on note |σ| la mesure de σ. Pour toute cellule C, l’ensemble de ses interfaces εC est un sous-ensemble de ε, tel que ∂C = ∪σ∈εCσ. On note fσ, la valeur de la solution sur une interface σ. Pour σ ∈ ε, il ne peut appartenir qu’à un ou deux sous ensemble εC. Autrement dit, une interface est soit interceptée par deux cellules voisines et dans ce cas elle se trouve à l’intérieur du domaine, ou bien elle se trouve au bord. Par conséquent, ε est aussi la réunion des ensembles des interfaces intérieures εint et des interfaces extérieures εext tel que ∂Ω = Uσ∈εextσ.
La méthode des volumes finis s’adapte à différents types de maillage : structuré, non-structuré, conforme et non conforme (voir figure II.2). Elle offre aussi une large panoplie de choix de forme de la cellule (rectangulaire, triangulaire, hexagonale...) permettant de bien mailler des domaines de calcul avec des géométries complexes. Pour notre application, nous allons travailler avec un maillage VF cartésien (rectangle (c) de la figure II.2) comme ce dernier doit dériver directement de la grille DF cartésienne de Salammbô.
Figure II.2 – Exemples d’un maillage structuré (a), non structuré (b), conforme (c) et non conforme (d).
II.3.1.2 La consistance selon la méthode des volumes finis Définition 8. Un schéma volumes finis est dit consistant si :
FC,σ = FC,σ+ O(|σ|hC) (II.18)
Le flux numérique FC,σest estimé ici avec les valeurs de la solution exacte. La consistance d’un schéma VF est en réalité associée à la consistance de sa discrétisation du flux [136].
La méthode VF n’apporte pas une notion de consistance au sens différences finies (basée sur un dé-veloppement de Taylor) de l’opérateur de diffusion −∇·(D∇f ). C’est plutôt la quantitéR
C−∇·(D∇f ) qui est approchée par une expression consistante, étant égale à la somme des flux numériques consis-tants (II.18). On peut se référer à la section 3.3 de [140] pour plus de détails théoriques sur la définition de consistance au sens VF.
L’ordre d’un schéma VF ne se base pas sur l’ordre de troncature du développement de Taylor comme pour un schéma DF. On dit d’un schéma VF qu’il est linéairement exact s’il est exact pour les solutions linéaires par morceaux sur chacune des cellules du maillage, ce qui in fine, correspond à une convergence au second ordre [136].
II.3.1.3 La monotonie des schémas volumes finis
Bien que la méthode VF apporte plusieurs propriétés intéressantes, elle n’est pas pour autant mira-culeuse. En effet, jusqu’à présent il n’existe pas un schéma linéaire VF discrétisant un problème diffusif 2D sur un stencil de 9 points avec un maillage quadrangulaire, qui soit à la fois d’ordre 2 et monotone, et ceci sur tout type de maillage et pour tout tenseur de diffusion [136]. Et il se trouve que cette constatation est souvent admise comme un résultat général dans la littérature des schémas volumes finis [136] [141][142]. Par conséquent, la monotonie d’un schéma VF doit être prouvée à posteriori, et elle va dépendre du type de maillage utilisé et de la forme du tenseur de diffusion.
Prouver la monotonie d’un schéma VF passe généralement par une preuve de sa structure M -matrice [136] et souvent, on cherche à mettre sa discrétisation du flux FC,σ sous la forme suivante :
FC,σ =X
M
τC,σ,M(fC − fM) (II.19)
où τ > 0 est appelée transmissibilité. Cette structure de schéma, appelée structure LMP (Local Maxi-mum Principle)[143] est très prisée car elle permet une implémentation simple, optimise le coût com-putationnel et par dessus tout, elle garanti la monotonie par une structure M -matrice : les termes non diagonaux recevant −τk, les termes de la diagonale principale recevantP
kτket la dominance diagonale obtenue par |P
kτk| = P
k|τk| car τk > 0 (stricte pour les noeuds au bord). En plus de garantir la positivité de la solution, la structure LMP élimine grâce au théorème suivant, le risque d’oscillations internes sur la solution numérique et assure le principe du min-max dans sa forme discrète forte.
Théorème 6. Soit un schéma VF discrétisant l’équation de diffusion (II.1) stationnaire et dont l’équi-libre de flux pour une cellule C de Ω s’écrit :
X
σ∈∂C
X
M
τC,σ,M(fC− fM) = ˜SC (II.20)
avec τC,M > 0, et ˜SC construit à partir de S dans C et ayant le même signe que S, alors ce schéma respecte le principe du min-max dans sa formulation discrète forte i.e. le minimum/maximum n’est atteint que sur ∂Ω à moins que f ne soit constante sur Ω.
Démonstration. Soit S ≥ 0, on suppose que fC0 = minΩ(f ), alors fM− fC0 ≥ 0 ainsiP
MτCO,M(fC0− fM) ≤ 0 or ˜SC0 ≥ 0 ce qui est absurde à moins que f soit constante sur tout le domaine. Pour prouver le principe du maximum quand S ≤ 0 on suit le suit le même raisonnement par l’absurde en supposant fC0 = maxΩ(f ).
Évidemment, on doit bien se douter que la structure LMP ne s’obtient pas facilement à l’instar de la structure M -matrice et la dégradation de la monotonie des schémas est très liée à la structure du maillage ou au ratio d’anisotropie du tenseur de diffusion (à partir de ≥ 102 )[136][144]. On verra avec plus de détails dans la partie II.3.2.2, qu’une des solutions envisagées pour accéder à la monotonie est la relaxation de la linéarité et l’adoption d’une construction qui corrige les sources de la perte de monotonie.