Études des performances des schémas non-linéaires

L’obtention de la propriété de monotonie d’un schéma VF linéaire en présence de la diffusion croisée semble être compromise. Il faut donc songer à l’adoption d’une résolution non-linéaire de l’équation de diffusion locale. On va donc dans cette partie, mettre à l’épreuve les schémas non-linéaires NLTPFA, NLMPFA et le nouveau schéma NLMONOT sur des cas jouets numériques à forte anisotropie. On cherchera en particulier à évaluer leur précision, estimer le coût computationnel introduit par leur caractère non-linéaire et étudier la sensibilité de leurs paramètres de résolution non-linéaire. On finira sur une application de ces schémas dans un cadre diffusif réel en grille y, E et en grille K, V .

III.3.3.1 Le tenseur analytique avec une anisotropie paramétrée, comme base des cas jouets numériques

Les cas jouets numériques qu’on va présenter dans cette partie, se basent sur le tenseur de diffusion analytique suivant [151] : 1 x2+ y2  rx2+ y² (r − 1)xy (r − 1)xy x2+ ry2  (III.27)

Ce tenseur analytique a la particularité d’avoir comme valeurs propres 1 et r. Par conséquent, r permet de paramétrer son ratio d’anisotropie ¹_r. Bien que son évolution spatiale soit assez "régulière" (voir figure III.29), il présente une forte raideur au voisinage des bords y = 0 pour D_xx et x = 0 pour D_yy, qui n’est pas sans rappeler l’évolution raide du tenseur réel aux frontières du domaine de résolution.

Figure III.29 – Distribution des coefficients de diffusion Dxx,D_yy et D_xy du tenseur de diffusion anisotrope (III.27) sur le domaine Ω =]0, 0.5[×]0, 0.5[ pour r = 10⁻⁶.

Ce tenseur est d’autant plus pertinent qu’il permet une validation simple de l’ordre de convergence des schémas non-linéaires par la méthode MMS, tout en imposant une source positive quand f_{M M S}= sin(πx) sin(πy) sur le domaine Ω =]0, 0.5[×]0, 0.5[.

III.3.3.2 Étude de convergence des schémas non-linéaires NLTPFA, NLMPFA et NL-MONOT

On commence par étudier la convergence des 3 schémas, sur un problème de diffusion stationnaire avec Ω =]0, 0.5[×]0, 0.5[, mettant en jeu le tenseur (III.27) pour un ratio d’anisotropie de 10⁶, en fixant f_{M M S} = sin(πx) sin(πy) et des conditions aux limites de Dirichlet. L’algorithme de résolution non-linéaire est initialisé par une fonction unitaire sur tout le domaine et on fixe le critère de sortie de l’algorithme de résolution non-linéaire suivant :

||fs+1− fs||D ∞

||fs||D ∞

<  = 10⁻⁶ (III.28)

Comme attestée par la figure III.30, les trois schémas affichent une convergence spatiale d’ordre 2. Le schéma NLTPFA présente un niveau de précision au moins 2 fois meilleur que les deux autres schémas. Si on regarde maintenant le tableau III.1, on observe des niveaux de N_iter conséquents pour les trois schémas avec un léger avantage pour le schéma NLMONOT. On voit aussi que le raffinement du maillage alourdit le coût de la résolution, comme on part de la même information d’initialisation.

Figure III.30 – Étude de convergence des schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT dans le cadre du problème de diffusion stationnaire, avec le tenseur anisotrope analytique (III.27) pour un ratio d’anisotropie de 10⁶ et f_{M M S} = sin(πx) sin(πy).

Schéma Nu 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA 63 112 185 NLMPFA 79 134 216 NLMONOT 66 101 140

TABLEAU III.1 – Nombre d’itérations non-linéaires des schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT rapportés de l’étude de convergence.

Pour le test suivant, on réalise de nouveau une étude de convergence des 3 schémas, cette fois en fixant un ratio d’anisotropie plus faible, pris à 10². Les résultats rapportés dans le tableau III.2 montrent que N_iter diminue légèrement pour les trois schémas. Par conséquent, N_iter et par extension le coût computationnel vont croître plus le ratio d’anisotropie est grand. Ainsi, si on adopte la formu-lation (K, V, L^∗) de l’équation de diffusion, il faut s’attendre à un coût computationnel plus grand de la résolution de l’équation de diffusion locale qu’avec la formulation (E, y, L^∗) (voir I.4.3.2).

Schéma Nu 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA 57 93 132 NLMPFA 71 110 152 NLMONOT 60 84 105

TABLEAU III.2 – Nombre d’itérations non-linéaires des schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT rapportés de l’étude de convergence avec un de ratio d’anisotropie de 10².

III.3.3.3 Étude du coût de la représentativité physique des schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT

On passe maintenant à une série de tests numériques se focalisant sur le respect des principes du minimum, du maximum ainsi que la positivité par les schémas non-linéaires étudiés et leur répercussion sur le coût computationnel. On impose cette fois un ratio d’anisotropie conservatif de 10⁹. On adopte pour ces tests des conditions aux limites réalistes et on associe pour chaque propriété physique testée un terme source adapté. Les résultats de ces tests pour les schémas NLTPFA et NLMPFA ont été présentés dans l’article de journal "Nour Dahmen, François Rogier, Vincent Maget - On the modelling of highly anisotropic diffusion for electron radiation belt dynamic codes." [153] publié dans la revue Computer Physics Communications.

On commence par un premier test relatif à la positivité et réalisé sur le domaine Ω =]0, 1[×]0, 1[. On fixe des conditions aux limites réalistes (condition de flux nul en x = 1 et condition de Dirichlet homogène ailleurs) et on utilise le terme source suivant :

S(x, y) = 

1 si (x, y) ∈ [0.25, 0.75] × [0.25, 0.75]

0 sinon ^(III.29)

En fixant cette forme de source en créneau, on s’assure de l’établissement d’une diffusion dans le domaine (comme on ne dispose d’aucun "apport" depuis les bords du domaine), tout en ayant une zone conséquente du domaine avec S(x, y) = 0, là où on risque de perdre la positivité (contrairement à la source S_{M M S} qui va avoir tendance à "cacher" cet artefact). Les résultats rapportés dans le tableau III.3 confirme le respect de la positivité par les trois schémas au prix d’un coût computationnel conséquent, avec encore une fois une compétitivité meilleure pour le schéma NLMONOT.

Schéma Nu 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA fmin 6.44 · 10⁻¹⁰ 7.55 · 10⁻¹⁵ 2.52 · 10⁻²³ Niter 81 141 222 NLMPFA fmin 2.82 · 10⁻⁷ 9.15 · 10⁻¹⁰ 2.71 · 10⁻¹³ N_iter 153 310 433 NLMONOT f_min 1.57 · 10⁻⁷ 3.60 · 10⁻¹⁰ 8.85 · 10⁻¹⁴ N_iter 68 102 193 FD f_min −0.00083 −0.00064 −0.00041 Ru 0.04 0.06 0.05

TABLEAU III.3 – Résultats du test numérique relatif à la positivité pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT.

On passe maintenant au deuxième test relatif au principe du minimum. On reste sur le même domaine de résolution avec le même terme source et on considère cette fois la condition aux limites de Dirichletf = 1 sur tout le bord ∂Ω. Les résultats du test sont rapportés dans le tableau III.4. On s’aperçoit que le schéma NLTPFA ne parvient pas à préserver le minimum contrairement aux schémas NLMPFA et NLMONOT. Ce comportement est attendu car le caractère non-linéaire du schéma fait perdre l’équivalence entre la positivité et respect du principe minimum (voir II.3.2.2). Ainsi, la propriété de monotonie du schéma obtenue par sa construction M -matrice n’est plus suffisante pour assurer le respect du principe du minimum. Le schéma NLMPFA de son coté, préserve ce principe grâce à sa structure LMP et malgré la forte anisotropie introduite, sa valeur minimale respecte scrupuleusement la valeur minimale unitaire à l’erreur machine prés (notée ι dans le tableau). Le schéma NLMONOT semble lui aussi respecter le principe du minimum (à l’erreur machine près) grâce au caractère local de sa monotonie (voir la section II.4). Notons tout de même que le respect du principe du minimum n’est pas utile dans le cadre physique réel. En effet, il y aura tout le temps des conditions de Dirichlet homogènes sur le bord y_min relatif au cône de perte et sur le bord E_max (voir le tableau I.4 de la partie I.4), autrement dit min(f ) = 0. Par conséquent, on exige seulement la propriété de positivité (assurée par la monotonie) pour la frontière basse de la solution numérique, ce qui laisse au schéma NLTPFA toutes ses chances pour être retenu dans notre application.

Schéma Nu 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA f_min 0.9983 0.9984 0.9987 Niter 62 83 66 Ru 0.1425 0.1431 0.1396 NLMPFA f_min 1.00 ± ι 1.00 ± ι 1.00 ± ι N_iter 66 107 201 NLMONOT f_min 1.00 ± ι 1.0 ± ι 1.00 ± ι Niter 58 93 188 FD f_min 0.9981 0.9983 0.9987 Ru 0.090 0.127 0.128

TABLEAU III.4 – Résultats du test numérique relatif au respect du principe du minimum pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT.

Le troisième test relatif au respect du principe du Min/Max est conduit sur le domaine Ω = ]0, 0.5[×]0, 0.5[ avec cette fois un terme source nul. On impose f = sin(πx) sin(πy) aux bords x = y = 0 et y = 0.5 ainsi qu’une condition de flux nul à x = 1. Les résultats du test rapportés dans le tableau III.5 montrent une préservation des principes du Min/Max mais au prix d’un coût computationnel énorme (plus de 600 itérations pour le schéma NLMPFA). Les deux autres schémas sont plus compétitifs, avec un léger avantage pour le schéma NLMONOT. Notons que dans ce test, aucun overshoot n’a été observé avec le schéma NLTPFA, bien qu’il ne dispose pas d’argument sur le respect du principe du maximum.

Schéma Nu 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA fmin 2.22 · 10⁻¹⁵ 4.67 · 10⁻²⁷ 3.60 · 10⁻⁴⁴ f_max 0.9955 0.9988 0.9997 N_iter 95 181 338 NLMPFA f_min 2.10 · 10⁻⁹ 1.63 · 10⁻¹³ 3.73 · 10⁻¹⁸ fmax 0.9950 0.9988 0.9995 Niter 126 250 606 NLMONOT fmin 7.30 · 10⁻¹⁰ 4.94 · 10⁻¹⁴ 6.80 · 10⁻²⁰ f_max 0.9918 0.9982 0.9995 N_iter 63 127 271 FD f_min −0.023 −0.021 −0.0187 fmax 0.9872 0.9968 0.9992 Ru 0.121 0.124 0.132

TABLEAU III.5 – Résultats du test numérique relatif au respect des principes du Min/Max pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT.

Bien qu’on ait considéré un ratio d’anisotropie conservatif, les ordres de grandeur de N_iter obtenus dans les trois tests précédents, annoncent un coût computationnel conséquent dans le cas diffusif réel. On va donc chercher dans la partie suivante, à optimiser la résolution non-linéaire vis-à-vis des paramètres de l’algorithme de Picard (voir II.3.2.2) qui sont :

— Le seuil de sortie de l’algorithme de résolution non-linéaire . — La qualité de l’initialisation de l’algorithme de résolution f⁰. — Le calcul du résidu ||f^s+1− fs||.

III.3.3.4 Étude de sensibilité de la résolution non-linéaire en fonction de ses paramètres Effet du seuil de sortie de l’algorithme de résolution non-linéaire  : On reprend l’étude de convergence des trois schémas en imposant cette fois  = 10⁻⁵ et  = 10⁻⁷. On observe dans la figure III.31 une légère réduction de l’ordre de convergence quand  = 10⁻⁵, visible surtout pour le schéma NLTPFA. Certes, N_iter est réduit avec ce nouveau seuil, mais on perd de la précision. Pour  = 10⁻⁷, la précision et l’ordre du schéma sont conservés, mais le coût est d’autant plus conséquent comme on peut le voir dans le tableau III.6). Comme on cherche à conserver un second ordre de convergence sur la grille raffinée (y, E) de Salammbô, fixer un seuil de  = 10⁻⁶ sera suffisant pour notre application. En effet, l’étude de convergence réalisée avec ce seuil et dont les résultats sont présentés dans la figure III.30, rapporte la conservation du second ordre pour un raffinement de 80 × 80 = 6400 noeuds, du même ordre de grandeur que le raffinement du maillage fin de Salammbô 133 × 49 noeuds, et ceci pour les trois schéma.

Schéma Nu 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA 84 156 275 NLMPFA 101 183 318 NLMONOT 88 144 227

TABLEAU III.6 – Nombre d’itérations non-linéaires pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMO-NOT rapportés de l’étude de convergence pour  = 10⁻⁷.

Figure III.31 – Étude de convergence des schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT pour  = 10⁻⁵ et  = 10⁻⁷.

Effet de l’initialisation de l’algorithme de Picard : Les études de convergence précédentes ont été effectuées avec une initialisation grossière de l’algorithme de Picard (f = 1). On peut cependant "aider le schéma" à converger plus rapidement en l’initialisant avec la solution d’un schéma linéaire. Cependant, une initialisation "brute" par la solution d’un schéma linéaire peut contenir des valeurs négatives comme elle provient d’une résolution par un schéma non monotone. Cela risque de poser des problèmes à l’algorithme de Picard qui ne peut assurer la positivisté que si il est initialisé par une solution positive. Ainsi, la solution d’initialisation doit être filtrée des artefacts numériques afin ne pas déstabiliser la résolution non-linéaire.

Comme on peut le voir dans les tableaux III.7 et III.8, la réduction de N_iter est conséquente avec cette opération. De plus, on atteste une réduction de N_iterquand le maillage est raffiné de N_u= 40×40 à N_u = 80 × 80. Cela vient du fait que l’initialisation sur un maillage plus raffiné est plus précise et donc "plus proche" de la solution non-linéaire. Par conséquent, l’algorithme de Picard a besoin de moins d’itérations non-linéaires pour atteindre le seuil de sortie.

Schéma Nu 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA 34 38 23 NLMPFA 35 39 31 NLMONOT 37 25 19

TABLEAU III.7 – Nombre d’itérations non-linéaires pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMO-NOT rapportés de l’étude de convergence dans le cas d’une initialisation avec le schéma LIN 1.

Schéma Nu 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA 21 14 10 NLMPFA 34 33 29 NLMONOT 42 42 26

TABLEAU III.8 – Nombre d’itérations non-linéaires pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMO-NOT rapportés de l’étude de convergence dans le cas d’une initialisation avec le schéma LIN 2.

Pour voir autrement l’effet de l’initialisation sur la convergence de l’algorithme de Picard, on rapporte dans la figure III.32 l’évolution du résidu ||f^s+1 − fs|| à chaque itération pour les trois schémas (N_u = 80 × 80) et selon le type d’initialisation. L’initialisation avec le schéma linéaire fait débuter l’algorithme de Picard sur une norme proche du seuil de sortie (≈ 10⁻⁴ pour les schémas NLTPFA et NLMONOT) et permet de gagner un nombre d’itération conséquent.

Figure III.32 – Courbes d’évolution des résidus de la résolution non-linéaires pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT rapportés pour l’étude de convergence et pour trois types d’initia-lisation.

D’autre part, cette courbe montre aussi l’occurrence d’un phénomène de relaxation du résidu du schéma NLMPFA avec une évolution en dents de scie et ceci indépendamment du type d’initialisation. La relaxation du résidu est un phénomène numérique récurrent dans les schémas non-linéaires mais faiblement exploré dans la littérature. Des observations numériques montrent qu’il peut être aggravé en présence de certaines contraintes mathématiques (comme la dégénérescence du tenseur de diffusion), ou numériques (comme une anisotropie très forte, des coefficients de diffusion très raides) ou pratiques (incertitude sur l’estimation des coefficients). Ce phénomène risque donc de se produire dans le cas réel, sur les plans L^∗ où l’interaction onde-particule est présente et conséquente.

Effet de l’estimation du résidu : Le phénomène de relaxation peut avoir un effet néfaste sur le coût de la convergence de la résolution non-linéaire. En effet, son estimation utilisée jusqu’à présent se base sur la norme ∞ qui suit l’évolution de la solution d’une façon ponctuelle. Cette estimation est cependant très sensible aux instabilités non-linéaires et on risque d’avoir une norme oscillante à cause d’un fort gradient localisé, bien que la solution soit stable partout ailleurs et que le système matriciel ait pratiquement convergé. Comme alternative moins restrictive, on adopte la norme suivante qui prend en compte l’évolution globale du système matriciel non-linéaire à résoudre M (f )f = B(f ) :

norme = ||M (fk+1)f^k+1− B(fk+1)||2

||B(fk+1)||₂ ^(III.30)

Ce changement de norme ne doit pas cependant dégrader la qualité de la solution de l’algorithme de résolution itératif. Pour cela, on vérifie d’abord la conservation du second ordre de convergence des trois schémas pour  = 10⁻⁶ (voir figure III.33).

Figure III.33 – Étude de convergence des schémas NLTPFA et NLMPFA avec la nouvelle norme.

On présente ensuite dans les tableaux III.9 et III.10 les nouveaux N_iter et on rapporte l’évolution de la nouvelle norme dans la figure III.34.

Schéma Nu 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA 26 17 8 NLMPFA 27 23 25 NLMONOT 27 16 10

TABLEAU III.9 – Nombre d’itérations non-linéaires pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMO-NOT rapportés de l’étude de convergence dans le cas d’une initialisation avec le schéma LIN 1 et en adoptant la nouvelle norme.

Schéma N_u 20 × 20 40 × 40 80 × 80 NLTPFA 15 8 4 NLMPFA 30 21 21 NLMONOT 34 18 6

TABLEAU III.10 – Nombre d’itérations non-linéaires pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NL-MONOT rapportés de l’étude de convergence dans le cas d’une initialisation avec le schéma LIN 2 et en adoptant la nouvelle norme.

Le gain computationnel est observé sur les trois schémas à des degrés différents. Il est beaucoup plus prononcé pour les schémas NLTPFA et NLMONOT sur le maillage le plus fin (N_u = 80 × 80). Alors que pour le schéma NLMPFA, la nouvelle norme a permis d’atténuer le phénomène de relaxation sans le faire disparaître (voir tableau III.11).

Norme

N_u

20 × 20 40 × 40 80 × 80

norme ∞ 6 11 12

norme 2 4 8 12

TABLEAU III.11 – Nombre d’itérations non-linéaires du schéma NLMPFA ayant subi des relaxations dans l’étude de convergence selon le choix de la norme du résidu.

Figure III.34 – Courbes d’évolution de la norme d’itérations non-linéaires pour les schémas NLTPFA et NLMPFA rapportés de l’étude de convergence et en fonction de la norme ∞ et la norme 2.

III.3.4 Application des schémas non-linéaires sur un problème de diffusion 2D