Application des schémas non-linéaires sur un problème de diffusion 2D réelle

Les trois schémas non-linéaires sont maintenant testés sur une configuration de diffusion transitoire réelle similaire à celle adoptée dans III.2.5 pour un temps de simulation de 90000s. On associe les trois schémas à une intégration Euler implicite et on impose cette fois une condition de Dirichlet f = 10³⁰MeV⁻¹s⁻³ à basse énergie. On utilise le tenseur de diffusion sous sa forme complète comme la prise en compte de la diffusion croisée est maintenant permise. L’initialisation de l’algorithme de Picard s’opère avec le schéma LIN 1 et le résidu de l’algorithme de résolution non-linéaire est estimé par la norme 2, avec un seuil fixé à  = 10⁻⁶.

Schéma ∆t 100s 1000s 10000s NLTPFA P SDmin 3.96 · 10²⁶ 4.05 · 10²⁶ 4.97 · 10²⁶ P SD_max 1.000000973 · 10³⁰ 1.000000148 · 10³⁰ 9.99 · 10³⁰ N_iter,moy 1 1 2 NLMPFA P SD_min 3.95 · 10²⁶ 4.06 · 10²⁶ 4.96 · 10²⁶ P SDmax 9.99 · 10²⁶ 9.99 · 10²⁶ 9.99 · 10²⁶ Niter,moy 1.23 7.87 224.44 %_relax,moy 0 0.12 43.01 %no−conv 0 0 50 NLMONOT P SDmin 4.12 · 10²⁶ 4.34 · 10²⁶ 5.18 · 10²⁶ P SDmax 9.99 · 10²⁹ 9.99 · 10²⁹ 9.99 · 10²⁹ N_iter,moy 1 1.01 3.11

TABLEAU III.12 – Résultats des simulations transitoires au plan L^∗= 4.49 avec t_simu= 90000s pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT, avec la grille complète pour différents ∆t.

Le tableau III.12 présente les résultats de ces simulations transitoires et on y rapporte pour chacun des trois schémas et pour 3 pas de temps différents : les valeurs maximales et minimales de la fonction de distribution f notée P SD, le nombre d’itérations non-linéaire moyenné sur tous les incréments temporels et le pourcentage des itérations non-linéaires "perdues" dans les relaxations.

Tout d’abord, on observe pour les trois schémas, la diminution de N_iter,moy plus ∆t est faible. Cela est prévisible vu qu’un ∆t plus faible implique une évolution plus lente de la dynamique entre deux incréments temporels successifs, et la réduction du "chemin que doit parcourir" l’algorithme de Picard pour converger. On voit aussi qu’avec les schémas NLTPFA et NLMONOT, le coût de la résolution non-linéaire est pratiquement égale à une résolution linéaire (N_iter,moy ∼ 1) pour les pas de temps de 100s et 1000s. En revanche, on observe avec le schéma NLMPFA un nombre d’itérations non-linéaire 7 fois plus grand avec ∆t = 1000s. Pour ∆t = 10000s, la résurgence des relaxations du résidu font grimer N_iter,moy à 224.44 (plus de 40% des itérations non-linéaires "perdus" dans les relaxations). Pire, la convergence n’est pas atteinte avec ce schéma même après 300 itérations non-linéaires dans plus 50% des itérations temporelles, comme le montre la figure III.35.

Figure III.35 – Courbes d’évolution de la norme d’itérations non-linéaires pour les schémas NLTPFA, NLMPFA et NLMONOT à t_simu= 40000s et pour ∆t = 10000s.

Si on s’intéresse maintenant aux valeurs extrémales atteintes par la P SD pour les trois schémas, on voit que le schéma NLTPFA affiche une rupture du principe du maximum (max_∂Ω1(f ) = f (Emin) = 10³⁰), un phénomène qu’on a pas observé dans les cas jouets numériques. Toutefois, ces overshoots n’ont pas une grande incidence sur la fonction de distribution, car comme le montre la figure III.36, ils impactent au maximum la 4ème décimale de la fonction de distribution. De plus, ils s’estompent au fil de l’avancement de la simulation (le ratio d’overshoots Ro atteint un maximum 5% puis diminue au fil de la simulation pour atteindre moins de 0.5% à t_simu). En revanche, NLMONOT respecte ici aussi le principe du maximum, ce qui porte à croire que le caractère local des conditions de monotonie de Nordbotten l’aide à préserver le principe du maximum.

Figure III.36 – Évolution temporelle du ratio PSD maximale observée et la limite fixée par la physique, pour la simulation transitoire avec le schéma NLTPFA, pour différents ∆t.

Nous avons vu dans la partie III.3.3.4 que l’estimation du résidu était meilleure avec la norme 2 et qu’elle serait adaptée à une évolution transitoire raide. Ce choix est confirmé dans le cas réel par les résultats de l’investigation numérique suivante. A la configuration de diffusion étudiée dans cette partie III.3.4 qui impose une condition aux limites de Dirichlet f (E_min) = 10³⁰, on considère une deuxième configuration qui impose une condition aux limites de Dirichlet f (E_min) = 0. Les deux configurations sont ensuite simulées avec le schéma NLMPFA, en calculant le résidu de l’algorithme de Picard par la norme ∞ d’un premier temps et par la norme ∞ dans un second temps. On rapporte dans la figure III.37 l’évolution du résidu de la dernière itération temporelle (n = 90) des 4 simulations décrites précédemment, en fonction du nombre d’itérations non-linéaire. On voit que les deux simulations dans lesquelles la norme 2 est utilisée ont pratiquement la même évolution de résidu, alors qu’avec la norme ∞, les courbes du résidu sont différentes. Cela s’explique par le fait que les solutions numériques des deux configurations sont différentes (deux conditions aux limites différentes). Par conséquent, comme la norme ∞ est liée au profil de la fonction, le résidu réagit différemment entre les deux simulations. Cependant, les deux configurations ont la même matrice de discrétisation et leurs seconds membres sont dominés par le terme temporel (le vecteur de f à l’instant n). Ainsi, la norme 2, liée au système matriciel à résoudre, va pratiquement voir la même évolution, dans les deux configurations. Par conséquent, il serait judicieux de conserver le choix de la norme 2 pour le calcul du résidu, comme elle sera moins impactée par les inhomogénéités locales.

Comme les schémas NLTPFA et NLMONOT ont présenté de meilleurs résultats de convergence de la résolution non-linéaire, on décide d’étendre avec eux la simulation 2D sur tous les plans L^∗ à l’extérieur de la plasmasphère pour Kp = 6. On rapporte dans la figure III.38, les cartographies de N_iter à chaque itération temporelle, sur chaque plan L^∗, pour trois différents ∆t. On y observe que les niveaux de N_iter des deux schémas sont très raisonnables et ne changent pas radicalement sur un même plan L^∗. De plus, le schéma NLTPFA présente des résultats légèrement plus compétitifs.

Figure III.38 – Cartographie de Niter des simulations (en grille complète (y, E)) avec les schémas NLTPFA et NLMONOT, en fonction de t et de L^∗ pour ∆t = 100, 1000, 10000s avec Kp = 6 et t_simu= 90000s.

Le test précédent est reproduit sur le problème diffusif 2D formulé avec les coordonnées (V, K, L^∗) et on rapporte dans la figure III.39 les cartographies de N_iter pour différents ∆t.

Figure III.39 – Cartographie de Niter des simulations (en grille complète (K, V )) avec les schémas NLTPFA et NLMONOT, en fonction de t et de L^∗ pour ∆t = 100, 1000, 10000s avec Kp = 6 et tsimu= 90000s.

Comme on l’a vu précédemment, cette transformation introduit des niveaux d’anisotropie plus forts. On se trouve donc avec N_iter plus grands. En particulier, les grandes valeurs sont localisées principalement aux plans L^∗ à l’extérieur de la plasmasphère. Pour de faibles valeurs de L^∗, le coût

de la résolution non-linéaire est beaucoup plus faible, mais reste plus coûteux qu’avec la formulation (y, E, L^∗) (traitée avec un schéma linéaire). Le schéma NLTPFA reste légèrement plus compétitif que le schéma NLMONOT, mais ses overshoots sont beaucoup prononcés que dans le cas de la formulation (y, E, L^∗) (f_max ≈ 1.1 · 1030). On observe aussi l’émergence du phénomène de relaxation avec le schéma NLMONOT, voire même une non-convergence (après 300 itérations) y compris avec ∆t = 1000s. Ces relaxations se produisent sur les plans L^∗ à l’extérieur de la plasmasphère, où l’incertitude sur l’estimation de l’interaction avec les ondes est conséquente. Cela peut avoir un impact sur le modèle diffusif, qui peut se répercuter sur la résolution non-linéaire.

III.3.5 Obtient-on la monotonie du schéma LIN 2 si on généralise sa