Caractérisation du rôle de la diffusion croisée dans un cas physique simple

On simule avec le coeur numérique 2D, la diffusion locale à l’extérieur de la plasmasphère à L^∗ = 4.58, avec le tenseur de diffusion complet, pendant 90000s et avec un pas de temps de 100s. Le jeu de coefficients de diffusion utilisé est représenté dans la figure IV.12 et il est figé au cours de la simulation. La fonction de distribution est initialisée par un remplissage radial à Kp = 4 pendant 1 jour ce qui impose un gradient en énergie. Grâce à cette initialisation, on part d’un état de remplis-sage représentatif de la réalité pendant une période d’activité calme. La diffusion radiale est ensuite désactivée pour ne pas entacher l’interprétation. Le temps de simulation de 90000s permet d’atteindre alors un état presque stationnaire piloté par la diffusion croisée.

On représente dans la figure IV.13 la distribution 2D des électrons au bout de 90000s pour la si-mulation avec diffusion croisée et sans diffusion croisée et on représente dans la figure IV.14 les coupes des deux simulations à deux énergies différentes (100 keV et à 1 MeV) et à deux angles d’attaques différents (proche de l’atmosphère à y = 0.15 et proche de l’équateur à y = 0.99). On s’intéresse tout d’abord aux coupes de la figure IV.14 et à celle de la partie gauche. Dans le cas de la simulation sans diffusion croisée, la fonction de distribution est plate sur une large bande en y qui s’étend de l’équateur jusqu’à des angles d’attaque faibles, puis le gradient en y s’accentue rapidement au voisi-nage de l’atmosphère. Dans la partie droite, on observe un plateau de la fonction de distribution à faible énergie moins étendue et l’apparition graduelle d’un gradient sur E quand l’énergie augmente. Dans le cas de la simulation avec diffusion croisée, on voit que la distribution plate en angle d’attaque est légèrement inclinée à partir de l’équateur, ce qui fait qu’elle se trouve en-dessous de la fonction de distribution simulée sans la diffusion croisée, sauf au voisinage de l’équateur. La distribution en énergie en revanche est moins impactée par l’ajout de la diffusion croisée. Sur les deux coupes en angle d’attaque de la partie droite de la figure IV.14, on voit que les distributions à très basse énergie et très haute énergie des deux simulations sont pratiquement les mêmes. Par contre, un changement se produit entre 10 keV et 1 MeV. Pour y = 0.15 la fonction de distribution avec diffusion croisée passe en-dessous de celle sans diffusion croisée, alors que pour y = 1 le phénomène inverse se produit légèrement.

Figure IV.13 – De gauche à droite et du haut en bas, Fonctions de distribution des électrons dans le plan L^∗= 4.58 à l’instant initial, à 90000s sans diffusion croisée, à 90000s avec diffusion croisée, et ratio entre les deux fonctions de distributions finales.

Figure IV.14 – Coupes à 100 keV et 1 MeV (à gauche), à y = 0.15 et y = 1 (à droite) de la fonction de distribution à 90000s, évaluée sans diffusion croisée (en trait discontinu) et avec la diffusion croisée (en trait plein).

Maintenant si l’on regarde le ratio 2D des deux fonctions de distribution représenté dans la figure IV.13, on voit que ce dernier présente un profil complexe, mais qui peut être divisé en 3 régions principales selon la valeur du ratio :

— Une première région avec des ratios très inférieurs à 1, qui s’étend du cône de perte jusqu’à y = 0.8 en angle d’attaque et de 10 keV jusqu’à Emax en énergie.

— Une deuxième région, avec des ratios légèrement supérieurs à 1, proche du cône de perte pour des énergies inférieurs à 10 keV.

— Une troisième région de ratio supérieur à 1 proche de l’équateur, morcelée le long de E, avec un pic de ratio entre 10 keV et 100 keV.

On constate rapidement que la valeur du ratio par rapport à 1 dans ces régions suit approxima-tivement le signe de la diffusion croisée. En plus de cela, les différences entre les deux simulations s’accentuent au voisinage des bords du domaine et atteignent des valeurs extrêmes là où le déséquilibre entre la diffusion croisée et les diffusions normales est très prononcé.

A partir de ces observations, nous proposons une explication qualitative de l’effet de la diffusion, schématisée dans la figure IV.16 qui regroupe une représentation spatiale simplifiée des 3 régions à laquelle on ajoute le signe de D_yE, l’intensité relative des coefficients de diffusion entre eux (déduite de la figure IV.15) et l’effet des conditions aux limites sur les gradients.

Figure IV.16 – Schéma explicatif du rôle de la diffusion croisée dans la diffusion locale.

On s’intéresse tout d’abord à la région 1 et on se positionne au voisinage du cône de perte. Sans diffusion croisée, la condition f = 0 impose un gradient ^∂f_∂y accentué par le fort niveau de D_yy. L’ajout de la diffusion croisée apporte un terme D_yE^∂f_∂y provenant de la diffusion selon la direction E, qui avec un D_yE > 0 dans cette région, va renforcer le vidage vers le cône de perte. Dans la région 2, comme D_yE < 0, le terme D_yE^∂f_∂y va au contraire tendre à atténuer le vidage vers le cône de perte. Mais comme |D_yE| est dominé par D_yy (voir partie centrale de la figure IV.15), alors son effet est limité et la diffusion vers le cône de perte s’en trouve peu ralentie. Dans la région 3, le gradient en angle d’attaque est très faible et n’apporte aucune contribution. C’est le gradient en énergie _∂E^∂f imposé par la condition à E_max qui va dans ce cas induire l’effet de la diffusion croisée. Entre 10 keV et 100 keV, le coefficient de diffusion croisée est négatif, mais comme on peut le voir dans la figure IV.15, il domine D_EE. Du coup, le terme D_yE∂E^∂f provenant de la diffusion le long de y, atténue fortement la diffusion le long de E et produit un effet d’accumulation qui explique le ratio supérieur à 2. A forte énergie, D_EE se renforce par rapport à D_yE, la diffusion en y est donc moins impactée et le ratio est légèrement supérieur à 1. Le morcellement de la région 3 est cependant difficile à expliquer avec cette représentation simple, mais il est très probablement lié aux transitions brusques du signe de D_yE dans cette région et aux effets de couplages induit par la diffusion croisée (voir figure IV.17). Notons que cette représentation permet aussi d’expliquer des régions secondaires comme le coin supérieur gauche du domaine de résolution (proche du cône de perte et à très haute énergie), où se combine l’effet des gradients ^∂f_∂y, _∂E^∂f avec un D_yE > 0.

Figure IV.17 – Évolution spatiale du coefficient de diffusion croisée et de sa valeur absolue, au voisinage de l’équateur.

Plus généralement, l’explicitation du rôle de la diffusion croisée dans l’équilibre des processus est une tâche très complexe et sa caractérisation par la communauté des ceintures de radiation est restée limitée à des études comparatives de simulation avec et sans ce terme. On note tout de même l’analyse qualitative de Albert J.M de l’effet de la diffusion croisée par le biais des fonctions de Green (fonction de base de l’équation de diffusion) et qui met en évidence une forte dépendance de l’effet de la diffusion croisée avec l’évolution de la fonction de distribution aux bords, ce qui concorde avec l’explication que nous proposons ici [111]. Les études comparatives s’accordent sur le rôle de D_yEdans l’intensification du vidage vers le cône de perte qu’on vient d’observer [158][159][112][121]. En revanche, ces simulations n’ont pas signalé un rétro effet de la diffusion croisée à très basse énergie quand elle est négative. Cela s’explique par le fait que dans ces études, les simulations sont réalisées sur un domaine limité à Emin =100 keV ce qui coupe cet effet. D’une manière générale, ce phénomène est à considérer avec précaution car l’incertitude des coefficients à basse énergie est très grande et peut être plus grande que l’incertitude de la prise en compte ou non de la diffusion croisée [112].

IV.3.2 Observation du rôle de la diffusion croisée dans l’orage magnétique de