Mon travail de thèse s’inscrit dans le projet de refonte du coeur numérique de Salammbô-Électron, initié récemment [130][131][132][133] dans l’optique de relever ses limitations présentées dans la section I.4.2. On cherche en particulier à rendre la nouvelle résolution de Salammbô :
— Plus précise, vis-à-vis de la forte inhomogénéité spatiale des processus physiques et conservant la masse du système.
— Plus robuste, vis-à-vis des artefacts numériques générés par la diffusion croisée et disposant d’un argument de stabilité inconditionnelle.
— Plus rapide, justifiant l’utilisation du code dans des outils de prédiction de la météorologie spatiale, ou dans le cadre de l’assimilation de données.
Pour cela, on plaide pour l’adoption d’une nouvelle discrétisation de type volumes finis - implicite. Comme on le verra avec plus de détails dans la partie II.3, la méthode des volumes finis est particulière-ment adaptée pour les lois de conservation (comme la diffusion) du fait de sa propriété de conservation et régit mieux à une diffusion fortement inhomohène. L’intégration implicite assurera une stabilité inconditionnelle de la résolution, qui relaxera la contrainte sur le pas de temps et accélérera la réso-lution numérique. Cependant, on ne se contentera pas de l’argument de stabilité du schéma implicite pour résoudre la problématique de la diffusion croisée. En effet, j’ai décidé d’analyser finement l’origine théorique de la perte de la représentativité physique de l’approximation numérique et les éventuelles pistes à adopter pour une prise en compte fiable et sûre de la diffusion croisée. On décide de rester sur une formulation du problème diffusif avec le jeu de coordonnées (y, E, L∗), comme la formulation (V, K, L∗) risque d’imposer des contraintes numériques trop fortes.
Pour pouvoir étudier les performances des éventuels schémas à considérer, il a fallu surmonter la contrainte d’absence d’une solution physique de référence et de l’absence d’une procédure de validation numérique représentative des challenges numériques que peut imposer la physique des ceintures de ra-diation électrons. Ainsi, j’ai mis en place différentes configurations de tests numériques réalistes appelés "cas jouets", ayant permis d’isoler chacune des particularités numériques de la diffusion et d’évaluer le comportement des schémas numériques testés. Garantir ces nouvelles propriétés au nouveau coeur de Salammbô assurera une mise à niveau indéniable du code physique en permettant une restitution de la dynamique des ceintures d’une meilleure qualité, dans les limites de la compréhension actuelle de la physique mise en jeu et dans le cadre de l’incertitude actuelle sur les données et sur les mesures in-situ.
Chapitre II
Caractérisation du nouveau coeur
numérique de Salammbô-Électron
II.1 Éléments d’analyse fonctionnelle et algébrique . . . 54 II.1.1 Notations, définitions et espaces fonctionnels . . . 54 II.1.2 Formulation mathématique du problème diffusif étudié . . . 54 II.2 Représentativité physique de la solution numérique de l’équation de
dif-fusion . . . 55 II.2.1 Formulations continues des principes du maximum, du minimum et de la
po-sitivité . . . 55 II.2.2 Formulations discrètes des principes du maximum, du minimum et de la positivité 56 II.2.3 Préliminaires algébriques : M -matrice, matrice monotone et Weakly regular
splitting . . . 56 II.2.4 Préserver le principe du maximum et la positivité par la monotonie du schéma 59 II.2.5 Exemples de perte de la monotonie du schéma par perte de la structure M
-matrice . . . 59 II.3 La méthode des volumes finis comme alternative pour la discrétisation
spatiale . . . 61 II.3.1 Principe de la méthode des volumes finis . . . 61 II.3.2 Les différentes familles de schémas aux volumes finis . . . 64 II.4 Conditions de monotonie alternatives pour un schéma aux volumes finis :
les conditions de Nordbotten . . . 75 II.5 Mise en place du socle de la nouvelle résolution numérique . . . 79
II.5.1 Application de la méthode des volumes finis au problème de diffusion avec la formulation (y, E, L∗) de l’équation de diffusion . . . 79 II.5.2 Construction du nouveau maillage aux volumes finis (y, E, L∗) . . . 79 II.5.3 Sélection des schémas pour l’étude numérique . . . 80 II.5.4 Une intégration inconditionnellement stable . . . 80
Ayant cerné les différentes contraintes pratiques auxquelles fait face le coeur numérique actuel de Salammbô, nous allons dans ce chapitre chercher à caractériser une discrétisation adéquate à notre problème physique particulier. Pour cela, nous allons commencer par rappeler les principes mathéma-tiques régissant la solution de l’équation de diffusion à savoir les principes de positivité, le principe du maximum et le principe du minimum. Ces principes sont très importants car ils procurent une représentativité physique de la solution continue. Ne pas assurer ces principes au niveau discret risque de faire apparaître des artefacts numériques dans le profil de la solution numérique, qui vont fortement dégrader sa qualité (comme c’est la cas avec l’ancien coeur quand DyE 6=). On verra en particulier que le respect de ces principes est obtenu par la propriété de monotonie de la matrice de discrétisation. Ensuite, nous présenterons en détail la méthode des volumes finis qui sera le socle de la discrétisation
spatiale du nouveau coeur numérique ainsi ces différentes variantes utiles à notre application. Nous décrirons aussi une stratégie alternative permettant d’obtenir la monotonie d’un schéma volumes fins. Ce chapitre sera clos par l’exposition des choix préliminaires adoptés dans la nouvelle résolution.
II.1 Éléments d’analyse fonctionnelle et algébrique
II.1.1 Notations, définitions et espaces fonctionnels
Soit Ω un ouvert borné de Rn, n ≥ 0 de classe C1. On pose pour la suite du manuscrit :
— f : la solution du problème différentiel continu. Cette notation réfère aussi à la solution numé-rique du problème différentiel discrétisé.
— ∇ : l’opérateur gradient défini dans Rnpar ∇ := (∂x∂
1, · · · ,∂x∂
n). — ∇· : l’opérateur divergence défini dans R par ∇· := ∂x∂1 + · · · +∂x∂
n. — ∆ : l’opérateur Laplacien défini dans Rn par ∆ :=Pn
i=1 ∂
2
∂x2 i
.
— C0(Ω) l’ensemble des fonctions continues de Ω → R avec une trace.
— Ck(Ω) l’ensemble des fonctions Ω → R dont la kème dérivée est continue sur Ω.
— L2(Ω) := {f : Ω → R,RΩf2 < ∞}, l’ensemble des fonctions de carré intégrable. Cet espace vectoriel contient les fonctions continues par morceaux quand Ω est borné.
— Di la dérivée au sens des distributions par rapport à la variable xi. — H1(Ω) := {f : Ω → R, f ∈ L2(Ω), Dif ∈ L2(Ω) ∀i = 1..n}.
— (.|.) : le produit scalaire défini dans Rn.
— ||.|| : la norme associée au produit scalaire ci-dessus.
— Soit b : Ω × Ω → Rn×n une forme bilinéaire, b est coercive si ∃α > 0, ∀x ∈ Ω b(x, x) ≥ α||x||2. — On note 0 le vecteur nul de Rn et O la matrice carrée nulle de taille n × n.
— Pour U = (ui)1≤i≤n et V = (vi)1≤i≤n deux vecteurs de Rn, on écrit U ≤ V ( respectivement U < V ) si ∀i ∈ {1 . . . n} ui ≤ vi (respectivement ui< vi).
— Pour A = (ai,j)1≤i,j≤n et B = (bi,j)1≤i,j≤n deux matrices carrées réelles, on écrit A ≤ B (respectivement A < B) si ∀i, j ∈ {1 . . . n}2 ai,j ≤ bi,j (respectivement ai,j < bi,j).
— ρ(A) est le rayon spectral de la matrice A.
— ||.||∞: la norme infinie matricielle telle que A = (ai,j)1≤i,j≤n une matrice carrée réelle, ||A||∞= max1≤i≤n(P
1≤j≤n|ai,j|).
II.1.2 Formulation mathématique du problème diffusif étudié
Soit Ω ⊂ Rnun ouvert borné ouvert de classe C1, ∂Ω sa frontière et ∂Ω1∪ ∂Ω2= ∂Ω (on supposera également que ∂Ωi est de classe C1, i = 1, 2). On note ~next la normale extérieure à ∂Ω. Soit T ∈ R∗+
et t ∈ [0..T ]. Le problème de diffusion s’écrit : Trouver f tel que :
∂f ∂t = O · (DOf ) + S sur Ω × [0, T ] f (x, t) = f (x, t) sur ∂Ω1× [0, T ] DOf · ~next= 0 sur ∂Ω2× [0, T ] f (x, t = 0) = f0(x) sur Ω
(II.1)
— D = (dij)1≤i,j≤n : Ω × [0, T ] → R est une matrice carrée n × n qui représente le tenseur de diffusion. On suppose que D est symétrique, définie positive avec des valeurs propres bornées et la forme bilinéaire qui lui est associée x → (Dx, x) est coercive. De plus, on suppose que dij ∈ C0(Ω × [0, T ]), ∀1 ≤ i, j ≤ n.
— S est le terme source.
— f : Ω × [0, 1] → R+ la restriction de f au bord ∂Ω1. — f0 : Ω → R+ la distribution initiale de f sur Ω.
La théorie des équations paraboliques (voir [134]) permet d’affirmer, sous des hypothèses de régula-rité suffisantes des données S, f0 et f , que la solution f existe et est unique dans l’espace fonctionnel C0(Ω × [0, T ]). Ainsi, on peut démontrer que la solution faible de l’équation f : Ω × [0, T ] → R appar-tient à H1(Ω × [0, T ]) ∩ C(Ω × [0, T ]) [REF].
Puis, on s’intéresse à la discrétisation temporelle de II.1 par un schéma de type Euler implicite. En supposant que le temps d’évolution t = n∆t avec n ∈ N, on obtient l’équation semi-discrétisée suivante :
− ∆t∇ · (D∇fn+1) + fn+1= fn+ ∆tS (II.2)
avec fn= f (n∆t). Cette équation possède beaucoup de propriétés analogues à l’équation de diffusion. On se rapportera dans toute la suite essentiellement à cette formulation implicite.