Principe de l’IFC et simulation d’interférogramme

3.2 Principe de l’Interférométrie à Faible Cohérence (IFC) et

simulation d’interférogramme

Cette partie présente tout d’abord le principe de la mesure d’épaisseur par IFC. Ensuite, un outil numérique est décrit puis comparé à une solution analytique obtenue dans un cas sim-plifié. Une fois l’outil validé dans ce cas de référence, une étude de faisabilité et de sensibilité de la mesure à différents paramètres a été menée.

3.2.1 Principe de l’interféromètre avec une source à faible cohérence Le principe de la mesure d’épaisseur par interférométrie reprend en grande partie celui de l’interféromètre de Michelson, tel que schématisé sur la Figure 3.1. Il est constitué d’une source à faible cohérence, d’un détecteur, d’un bras de référence (le Miroir Mobile - MM) et d’un bras test (un échantillon bicouche où chaque milieu j est séparé par des interfaces jouant le rôle de surfaces réfléchissantes M_i).

Figure 3.1 – Schéma de principe de l’interféromètre de Michelson utilisé avec une source à faible cohérence dans le cas d’un échantillon bicouche - les angles sont exagérés afin de suivre l’évolution des faisceaux.

Au passage au niveau de la lame séparatrice, une partie du rayonnement provenant de la source est transmise vers le bras test, et l’autre partie, réfléchie vers le bras de référence. Après réflexions dans chacun des deux bras, les faisceaux se recombinent au niveau du détecteur. La configuration du bras échantillon utilisée dans l’étude expérimentale est constituée d’un milieu bicouche avec trois interfaces M_i=1,2,3.

Dans le cas où les indices de réfraction n_j des deux milieux sont constants, le premier faisceau a parcouru avant interférence au niveau du détecteur depuis la source, une distance de L₀+ 2L + L⁰+ 2δ⁰ (bras de référence) et les autres (bras test), une distance de L₀+ 2L + L⁰,

L₀+ 2L + 2n₁d₁+ L⁰ et L₀+ 2L + 2n₁d₁+ 2n₂d₂+ L^0∗, où d_j est l’épaisseur géométrique du milieu j.

∗. L0, L et L⁰sont respectivement les longueurs de chemin optique entre la source et la lame séparatrice, entre la lame séparatrice et l’inteface M1, et, entre la lame séparatrice et le détecteur.

Les interférences apparaissent dès que la différence de marche entre les deux bras est inférieure à la longueur de cohérence de la source, le maximum de l’intensité mesurée cor-respondant au cas où la différence de marche entre les deux "miroirs" (MM et M_i) de l’in-terféromètre est nulle, c’est à dire, quand les chemins optiques parcourus dans les deux bras sont identiques. La différence de marche entre les deux bras est donc pilotée par la position de MM (δ⁰) par rapport à l’échantillon. Les Longueurs de Chemin Optique (LCO) séparant les interfaces M_i dépendent de l’épaisseur des milieux et peuvent être déterminées grâce à la connaissance de l’intensité I reçue par le détecteur en fonction de δ⁰. Cette représentation

I(δ⁰) est usuellement appelée interférogramme.

3.2.2 Interférogramme associé à une onde monochromatique

Cette partie présente l’interférogramme, puis le modèle développé afin d’évaluer la faisa-bilité de la mesure préalablement au développement du banc de test. Les notions essentielles dans la démarche menant au développement du code de calcul sont introduites. Dans un der-nier temps, une fonction explicite pour l’interférogramme est obtenue de façon analytique, ce qui a permis une confrontation aux résultats numériques de la simulation et, de fait, la validation du code.

3.2.2.1 Réflexions d’un milieu transparent multicouche

Le milieu que nous cherchons à caractériser est constitué par deux couches d’indices de réfraction réels n₁ et n₂ séparés par une interface plane. Lorsqu’une onde plane progressive rencontre l’interface, elle est partiellement réfléchie et transmise. Les coefficients de réflexion et de transmission (en amplitude), dans le cas d’une incidence normale, s’écrivent [74] :

r₁₂= n₁− n₂

n₁+ n₂ ^{= − r21} t₁₂= ^{2 n1}

n₁+ n₂ ⁼

n₁

n₂ ^{t21 (3.1)}

De plus, on a la relation suivante :

t₁₂ t₂₁− r₁₂ r₂₁= 1 (3.2)

Ces coefficients sont nécessaires au calcul de la transmittance et de la réflectance (en énergie) définies à partir des coefficients en amplitudes :

R = n₁− n₂ n₁+ n₂ 2 = I_R I₀ ^{T =} n₂ n₁  2 n₁ n₁+ n₂ 2 = I_T I₀ ^(3.3)

Dans le cas d’un milieu non absorbant, la conservation de l’énergie se traduit par R + T = 1. Considérons, à présent, une succession d’ondes réfléchies et transmises dans une couche (Figure 3.2). Chaque réflexion engendre entre deux signaux une différence de phase, qui s’écrit pour tout milieu j et sous incidence normale (i.e. θ = 0) [74,75] :

φ_j = ^2πnjd_j

3.2 Principe de l’IFC et simulation d’interférogramme

Figure 3.2 – Ondes réfléchies et transmises successives (tiré de [^74])

Les amplitudes complexes des ondes successives réfléchies E_r dans le milieu (0) s’ob-tiennent par sommation des champs électriques associés à tous les signaux réfléchis et trans-mis, soit : Er E0 = r₀₁+ t₀₁r₁₂t₁₀e^2iφ1+ t₀₁r²₁₂r₁₀t₁₀e^4iφ1 + . . . c’est-à-dire, Er E0 = r₀₁+ t₀₁r12t10e^2iφ1P∞ q=0  r12r10e^2iφ1^q soit, Er E0 = r₀₁+ ^t01r12t10e2iφ1

1−r12r10e2iφ1 car, r₁₂r10e^2iφ1 < 1

En utilisant les équations (3.1) et (3.2), on obtient :

Er E₀ ⁼

r₀₁+ r₁₂e^2iφ1

1 + r₀₁r₁₂e2iφ1 = r₀₂ (3.5)

Le même raisonnement peut être suivi pour les ondes successives transmises E_t dans le milieu (2). La couche (1) peut être assimilée à une interface et permet d’écrire la dernière égalité de l’équation (3.5). Il est ensuite possible de réitérer la démarche afin de calculer les amplitudes complexes des ondes successives réfléchies d’un milieu bicouche r₀₃ (voir forme simplifiée donnée par l’eq. (3.10)).

3.2.2.2 L’interférogramme du milieu bicouche

Le champ électrique associé à une onde plane progressive incidente monochromatique selon le nombre d’onde σ = 1/λ, où λ est une longueur d’onde, est [74] :

E_σ(x, t) = E_σ⁰ e^i(ωt−kx) (3.6)

où x est le vecteur position, k le vecteur d’onde, ω la Pulsation et t le temps. En introduisant les variables δ = 2δ⁰ et l = L₀+ 2L + L⁰, on peut exprimer le champ électrique au niveau du

détecteur :

E_σ(δ, t) = ¹

2 E_σ⁰ r_MM e^{i(ωt−2πσ{l+δ})}

| {z }

Provenant du bras de référence

+ ¹

2 E_σ⁰ r₀₃ e^{i(ωt−2πσl)}

| {z }

Provenant du bras de test

(3.7)

L’intensité monochromatique du faisceau s’exprime comme la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting [74] :

I_σ(δ) ∝ ¹ T Z +^T₂ −T 2 E_σ(δ, t) × E_σ^∗(δ, t) dt (3.8)

où E_σ^∗ est le conjugué de E_σ. T désigne ici un temps de mesure.

La source à faible cohérence présente un spectre d’émission non pas monochromatique, mais étendu sur une gamme de nombres d’onde.

3.2.3 Développement d’un outil numérique pour l’étude d’une source réelle L’équation (3.9) représente l’intensité totale au niveau du détecteur. Elle s’obtient en sommant toutes les contributions monochromatiques de la source de l’équation (3.8) :

I(δ) = Z +∞

0

I_σ(δ) dσ (3.9)

Le calcul de cette intégrale n’est pas analytique dans le cas général. C’est pourquoi, un outil numérique a été développé. Il reprend en partie les résultats théoriques présentés dans les sections précédentes. Le principe général du calcul d’un interférogramme pour une source polychromatique est présenté sur la Figure 3.3.

Figure 3.3 – Principe général du calcul d’un interférogramme selon la longueur d’onde λ (= 1/σ)

3.2 Principe de l’IFC et simulation d’interférogramme

3.2.4 Cas de validation : source gaussienne

Pour valider le code de calcul, l’interférogramme d’une source gaussienne, qui peut être estimé de façon analytique, a été comparé à celui obtenu par l’outil numérique.

3.2.4.1 Détermination analytique de l’interférogramme associé à un bicouche À des fins de simplifications, les indices de réfraction (n_j) sont considérés réels et constants dans le milieu bicouche. En outre, les multi-réflexions dans le milieu sont négligées. En effet, les premières réflexions représentent les contributions les plus importantes en matière d’intensité. Rappelons que : ∀(i, j)          rij   ≤ 1 et   tij   ≤ 1

Ainsi, à chaque réflexion, l’intensité du signal diminue. Ceci permet d’écrire :

r03= r₀₁+ t₀₁r13t10e^2iφ1

avec, r₁₃= r₁₂+ t₁₂r₂₃t₂₁e^2iφ2 (3.10)

En introduisant l’équation (3.10) dans l’équation (3.7), il vient :

Eσ(δ, t) = ¹ 2 E_σ^0hrMM e^{i(ωt−2πσ{l+δ})} + r01+ t₀₁r12t10e^2iφ1 + t₀₁t12r23t21t10e^2i(φ1+φ2) e^{i(ωt−2πσl)i} (3.11)

En multipliant par les conjugués et en utilisant la définition de la phase (équation (3.4), page 41), on aboutit à l’expression de l’intensité totale :

I(δ) = k ¹ 4 Z +∞ 0   E_σ⁰  2_ C + C₁cos(2πσδ) + C₂cos(2πσ[2d₁n1− δ]) + C₃cos(2πσ[2(d₂n₂+ d₁n₁) − δ]) dσ (3.12) avec,

– k une constante de proportionnalité ;

– C la composante continue de l’interférogramme, fonction des coefficients de réflexion et de transmission ; – C1= 2 rMMr01; – C2= 2 rMMt₀₁r₁₂ t₁₀; – C₃= 2 r_MMt₀₁t₁₂r₂₃ t₂₁ t₁₀; – δ = 2δ⁰ (m) ; – σ le nombre d’onde (cm⁻¹).

Dans le cas d’une répartition spectrale d’intensité donnée par la fonction gaussienne, J (σ) = J0exp " −π σ − σ0 ∆σ 2# = k  E_σ⁰  2 (3.13) Avec,

– J0 l’intensité maximale de la gaussienne (W.cm) ; – σ0le nombre d’onde moyen de la source (cm−1) ; – ∆σ l’ecart-type de la gaussienne (cm⁻¹).

on peut aboutir à une formulation analytique dont le détail du calcul de l’intégration est donné en annexeC et qui s’écrit, en posant d⁰₂n⁰₂= d₁n₁+ d₂n₂ et en remplaçant δ = 2δ⁰ :

I(δ⁰) = ¹ 4J0∆σ^C + C1cos(4πδ⁰σ0) exp^h−4π δ⁰∆σ
2i + C₂cos(4π d1n1− δ⁰ σ0) exp^h−4π  d1n1− δ⁰ ∆σ
2i + C₃cos(4π d⁰₂n⁰₂− δ⁰ σ0) exp^h−4π  d⁰₂n⁰₂− δ⁰ ∆σ
2i (3.14)

L’équation (3.14) montre que, dans cette démarche théorique simplifiée, l’interférogramme est formé de sinusoïdes modulées en amplitudes par des gaussiennes, placées à certaines positions bien déterminées par rapport au point de différence de marche nulle (δ⁰ = 0), qui correspondent au produit entre l’épaisseur et l’indice de réfraction des milieux. En d’autres termes, les sinusoïdes modulées en amplitudes par des gaussiennes sont centrées sur δ⁰ = 0 ;

δ⁰ = d₁n₁; δ⁰ = d⁰₂n⁰₂ = (d₁n₁ + d₂n₂). Les courbes passent par des maxima que nous appellerons "pics" dans la suite de cet exposé.

Ce résultat montre aussi l’importance des caractéristiques de la source. Plus la source aura un spectre large (∆σ grand), ce qui correspond à une perte de cohérence, plus la détection des pics sera simple.

3.2.4.2 Validation de l’outil de simulation par comparaison à une solution ana-lytique

Pour confronter ce résultat analytique à l’outil numérique, les caractéristiques d’un même bicouche, qui dépendent de chaque milieu qui le compose, ont été imposées (en entrée) et sont résumées dans le Tableau 3.2. Ils présentent une faible épaisseur afin de pouvoir observer la forme et l’intensité des pics.

Tableau 3.2 – Caractéristiques du bicouche sélectionné pour le cas de validation

Milieu 1 (silice) 2 (heptane)

Indice de réfraction (constant) 1,45 1,38

Épaisseur (µm) 25 25

Longueur de Chemin Optique imposée (LCOentrée) (µm) 36,25 34,50

La Figure3.4présente une comparaison entre des interférogrammes simulés I_S (équation (3.9), page43) et théorique I_{T H} donné par l’équation (3.14). L’écart maximal entre l’inter-férogramme théorique et celui issu de la simulation est inférieur à 1% en valeur absolue, ce qui indique un très bon accord simulation/théorie. Les écarts proviennent essentiellement