Principe de dimensionnement du drain thermique

Les contraintes géométriques de l’aimant font que le mandrin est distant de 1,4 m du 2ème étage du cryogénérateur. Pour le refroidir, il est donc nécessaire de les connecter thermiquement au 2ème

étage du cryogénérateur via un drain thermique.

L’insert froid étant essentiellement conçu pour réaliser des tests de courant critique, on ne considère donc pour le design du drain thermique que le cas du refroidissement du mandrin dédié aux mesures de courant critique. De fait, quelle que soit la masse connectée au 2ème étage du cryogénérateur, on arrivera toujours à le refroidir quelles que soient les dimensions du drain thermique. On risque juste d’avoir un temps de mise en froid qui soit long et éloigné du temps de refroidissement optimum. Néanmoins, le risque que l’on sous-dimensionne les drains thermiques pour le refroidissement des maquettes est faible car le mandrin, en raison de ses dimensions, représente déjà une masse significative à refroidir, à savoir 21 kg.

II.3.6.1.1 Refroidissement du mandrin de mesure de courant critique

Le temps de mise en froid d’un objet est donné par (II-5) en première approximation.

Avec :

 𝑡 le temps de refroidissement,

 ∆𝐻𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡 qui est la quantité d’énergie que l’on doit extraire (la variation de l’enthalpie donc)

 Et P la puissance froide disponible pour le refroidissement.

La présence d’un drain thermique entre la masse à refroidir et le cryogénérateur va naturellement générer un gradient thermique entre le 2ème étage et le mandrin, et ce d’autant plus que le drain thermique est long (II-6).

Avec :

 𝑃𝑑𝑟𝑎𝑖𝑛la puissance passant à travers le drain,  𝑆 sa section,  𝐿 sa longueur, 𝑡 =^{∆𝐻𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡} P ^(II-5) 𝑃_{𝑑𝑟𝑎𝑖𝑛}= ^𝑆 𝐿 ^{∫ 𝑘𝑑𝑇} 𝛥𝑇 (II-6)

 Et ∫ 𝑘𝑑𝑇_𝛥𝑇 l’intégrale de la conductivité thermique pour une différence de température 𝛥𝑇 donnée.

Ainsi, si la section du drain est trop faible alors il agit comme une isolation thermique. La température du 2nd étage du cryogénérateur va donc descendre tout en laissant la masse à refroidir à température élevée. Les diagrammes, cf. Figure II-6a et b, montrent que la puissance disponible diminue avec la température. Le temps de refroidissement de la masse à refroidir peut alors devenir très long d’après (II-5).

L’objectif de ce design est donc de choisir les dimensions géométriques du drain pour que le gradient qu’il génère soit le moins limitant possible pour le refroidissement. Dans notre cas, la longueur du drain étant fixe, on ne peut donc que modifier, pour un matériau donné, la section, du drain. Le premier réflexe est alors de prendre la section la plus importante possible (II-6).

Néanmoins plus la section du drain sera importante et plus il sera volumineux, ce qui entraînera une augmentation de la masse à refroidir et donc au final une augmentation du temps de mise en froid.

On voit donc qu’un optimum sur la section du drain se dessine car il faut que le drain soit suffisamment large pour exploiter le maximum de puissance du cryogénérateur et en même temps qu’il soit le plus fin possible pour limiter l’enthalpie à extraire.

Bien sûr, le gradient de température généré par le drain sera dépendant du matériau utilisé. Ainsi, si l’on souhaite refroidir jusqu’à 4 K, la majorité de l’enthalpie à absorber se situe entre 100 et 300 K, en dessous de 100 K elle chute rapidement, § III.4.2. Il faut donc, pour minimiser le temps de refroidissement prendre un matériau ayant une diffusivité thermique importante sur la gamme de température 100-300 K. Les candidats naturels sont donc le cuivre et l’aluminium.

II.3.6.1.2 Température finale du mandrin

Comparativement à la détermination de la section optimum pour le temps de mise en froid, le calcul de la température finale du mandrin est simple car il suffit d’appliquer la formule (II-5). La différence réside dans le fait que pour le refroidissement 𝑃𝑑𝑟𝑎𝑖𝑛 représentait l’enthalpie, alors que désormais il représente les pertes thermiques.

En application de la formule (II-5), il suffit d’avoir une grande section pour être certain d’atteindre les 4 K sur le mandrin. Néanmoins cette solution est en contradiction avec la recherche d’une section optimum pour le temps de mise en froid. Dans l’idéal, il ne faudrait pas à avoir à modifier la section optimum nécessaire au temps de mise en froid.

L’autre solution est donc d’obtenir une conductivité thermique importante à 4 K, ce qui est possible en utilisant des matériaux ultra-purs, typiquement du cuivre ou de l’aluminium, cf. Figure II-16.

On remarque que si la pureté a une très forte influence sur la conductivité thermique à basse température (comme sur la résistivité électrique) ce n’est pas le cas sur la gamme 100-300 K où elle reste (relativement) constante et indépendante de la pureté. Ainsi le temps de refroidissement ne sera que peu impacté (en première approximation) par la pureté. Cela permet de découpler dans un premier temps les deux problèmes en déterminant en premier la section optimum pour la mise en froid et ensuite la pureté. On pourrait aussi utiliser une solution hybride en mélangeant dans le drain deux puretés différentes pour chaque fonction, l’aluminium à basse pureté servant à haute température et celui à haute pureté à basse température; le seul intérêt étant économique.

Figure II-16 : a) Résistivité électrique de l’aluminium en fonction de la pureté b) Conductivité thermique en fonction de la pureté, à noter que 5N correspond à une pureté de 99.999% [70].

Optimisation du temps de refroidissement II.3.6.2

Les matériaux de haute pureté étant coûteux et difficile à approvisionner (surtout pour le cuivre), nous avons donc décidé d’utiliser des conducteurs CMS, cf. Figure II-17a dont nous avons plusieurs longueurs en stock. Ces conducteurs ont servi au bobinage de l’aimant CMS du détecteur du même nom sur le LHC, cf. Figure II-17b. Ces conducteurs sont composés de 3 trois éléments, un câble Rutherford cuivre/NbTi, un stabilisant en aluminium ultra-pur, 99,998 %-4N8, et un renfort mécanique en aluminium mécanique. En revanche les conducteurs à notre disposition sont seulement composés du câble Rutherford et du stabilisant en aluminium ultra-pur, le renfort mécanique en alliage d’aluminium étant absent.

Figure II-17 : a) Vue en coupe du conducteur CMS, b) Vue de l’aimant CM au CERN.

L’utilisation de ces conducteurs comme drain thermique permet d’une part de profiter de la très haute pureté du stabilisant et d’autre part du conducteur Rutherford, qui a un courant citrique astronomique de 60 000 A à 4,2 K et 5 T. Elle permettra également de transporter le courant des amenées de courant HTcà l’échantillon, sans effet joule en dessous de 9K. Au-dessus de 9 K le câble NbTi n’est plus supraconducteur, un effet joule est donc présent mais il demeure très faible en raison de la pureté et de la section de passage du drain thermique. De plus, à 9 K la puissance disponible sur

b) a)

le 2ème étage du cryogénérateur est de 8 W. Il n’aura donc aucun mal à absorbé le surcroit de puissance généré par effet joule.

Ainsi, le drain thermique ne sera pas seulement un vecteur de transfert thermique, mais un bus thermoélectrique transportant aussi bien le courant que la chaleur.

Etant désormais dans un cadre beaucoup plus strict qu’initialement envisagé, il ne reste donc plus qu’à déterminer quelle section de ces conducteurs permet un refroidissement optimum du mandrin de test. Il restera ensuite à confirmer que la température atteinte sur le mandrin est compatible avec notre objectif de 4 K.

Le calcul du temps de mise en froid a été réalisé par éléments finis sous Cast3m lors d’un stage s’étant déroulé avant le démarrage de la thèse [71]. Ce travail avait été réalisé pour la première version de l’insert froid lorsque le drain thermique faisait encore 2 m et il avait montré que la section optimum pour le refroidissement du mandrin était de 1,8 fois la section d’un conducteur CMS (sans renfort mécanique). Il avait également été mis en évidence que le temps de mise en froid est en réalité faiblement dépendant de la section de passage, cf. Figure II-18. Ce résultat très pratique, nous a permis de réaliser le bus thermoélectrique avec deux conducteurs CMS brut, un conducteur étant utilisé par polarité.

Figure II-18 : temps de mise en froid du mandrin de test pour la première version et de l’insert froid et la deuxième version en fonction de la section du drain thermique.

Lors de la construction de la deuxième version de l’insert froid, j’ai réutilisé le code développé pour recalculer le temps de mise en froid du mandrin en prenant en compte la nouvelle longueur des drains thermiques. Cette fois-ci, la section optimum est équivalente à la section d’un seul conducteur CMS. Néanmoins, comme le temps de mise en froid n’est augmenté que de 1h45 si on utilise deux conducteurs CMS, nous avons donc décidé de reprendre la même solution que pour la première version de l’insert froid car c’était la plus facile d’un point de vue pratique.

Avec cette configuration, on obtient une température finale sur le mandrin de 3,6 K, on a donc 0,1 K de gradient dans le drain, ce qui est largement suffisant et laisse même une marge de 0,4 K. A noter que pour les calculs, nous avons pris un RRR 1 000 [72] pour les conducteurs CMS qui est une valeur conservatrice. En effet, c’est le RRR du conducteur sous 3 T, à 0 T il est supérieur à 3 000.

22 22,5 23 23,5 24 24,5 14 14,5 15 15,5 16 16,5 17 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Tem ps de m is e en fr oi d (h) Tem ps de m is e en fr oi d (h)

Section du drain (en multiple de conductueur CMS)

Drain de 1,4 m Drain de 2 m